Aspetti importanti da conoscere con sicurezza: Potenziale: Atomi idrogenoidi: Aspetti importanti da conoscere con sicurezza: - numeri quantici e livelli energetici - funzione d’onda e distribuzione spaziale - eccitazione e transizioni (termiche e radiative) sono la base per capire la fisica degli atomi a molti elettroni, delle molecole e dello stato solido

Atomi idrogenoidi: descrizione classica Potenziale: Atomi idrogenoidi: descrizione classica Costanti del moto: - energia totale E=Ecin+Ep - momento angolare (modulo) direzione del momento angolare sono permessi tutti i valori di E e, a parità di E, sono permessi tutti i valori di L, in modulo e direzione

Atomo di idrogeno: energie in funzione di r nel moto classico di un elettrone con orbita circolare di raggio pari al raggio di Bohr (0,53 Å) Orbita classica potenziale effettivo Ep+EL potenziale centrifugo EL ao energia totale E energia coulombiana Ep

Orbita classica Atomo di idrogeno: energie in funzione di r nel moto classico di un elettrone con orbita ellittica di semiasse maggiore pari al raggio di Bohr (0,53 Å) potenziale effettivo Ep+EL potenziale centrifugo EL energia totale E perielio afelio energia coulombiana Ep

Atomo di idrogeno: moto di un elettrone con semiasse maggiore dell’ellisse pari al raggio di Bohr (0,53 Å) Orbita classica nucleo orbita con L inferiore al massimo orbita con L massimo afelio perielio pper p paf

Atomi idrogenoidi: descrizione quantistica Potenziale: Atomi idrogenoidi: descrizione quantistica Numeri quantici: - n  energia totale En= - ERZ2/n2 - l  momento angolare L2 = l(l+1) 2 - ml  componente di L lungo z Lz= ml - mz  componente dello spin lungo z Sz= ms sono permessi solo i valori di E, L2, Lz corrispondenti ai valori interi dei numeri quantici n1 ; 0  l < n ; -l  ml  l

Livelli energetici: diagramma di Grotrian E (eV) -13.6 -1.5 -3.4 -0.85 rappresentazione n,l,ml ,ms> n 1 2 3 4 (2) (6) (10) s 1 p 2 d -1 0 +1 -2 -1 0 +1 +2 l ml

Atomo di idrogeno: equazione di Schrödinger

interpretazione fisica della “funzione d’onda y x   probabilità di trovare l’elettrone nell’elemento di volume intorno al punto (x,y,z) |u(r)|2 dr probabilità di trovare l’elettrone a una distanza fra r e r+dr Oggi il valore medio di si può misurare direttamente, ad es. con un Microscopio a Forza Atomica (AFM)

Funzione d’onda radiale termine cinetico termini di energia “di posizione” coefficiente di proporzionalità curvatura della funzione d’onda funzione d’onda Eeff = EL + Ep

Le dimensioni atomiche conviene introdurre la “distanza ridotta ”, tale che: ao è il “raggio di Bohr” dipende solo dalle costanti naturali (h, c, e, me) che compaiono nell’equazione di Schrödinger nao/Z determina la rapidità della caduta esponenziale della funzione d’onda dopo il flesso

Atomo di idrogeno: n=1 n=1 Eeff =Ep punto di flesso punto di inversione n=1 Eeff =Ep i punti di inversione del moto classico sono punti di flesso della funzione d’onda perché E-Eeff=0 - dopo il flesso, la curvatura della funzione d’onda cambia segno e la funzione tende a zero asintoticamente

Atomo di idrogeno: l=0, n=1, 2, 3 punti di flesso Eeff =Ep n=1 n=3 n=2 - i punti di inversione del moto classico sono punti di flesso della funzione d’onda perché E-Eeff=0 il numero di “nodi” della funzione d’onda aumenta con n dopo l’ultimo flesso, la funzione d’onda tende a zero asintoticamente n=1 n=3 n=2 punti di inversione

Atomo di idrogeno: livelli energetici ed energia potenziale n=2, l=0 e 1 EL per l=1 Eeff per l=1 flessi di l=1 flesso di l=0 n=1 n=3 n=2, l=1

Funzione d’onda radiale n=2, l=0, 1 punti di flesso Eeff =EL+ Ep - i punti di inversione del moto classico sono punti di flesso della funzione d’onda perché E-Eeff=0 - il numero di “nodi” della parte radiale della funzione d’onda diminuisce con l, a parità di n n=1 n=3 n=2 punti di inversione

Espressione di u(r) per n=1, 2 r =  nao/Z, quindi nao/Z determina la rapidità della caduta esponenziale della funzione d’onda dopo l’ultimo flesso il flesso si “allontana” al crescere di n si “avvicina” al crescere di Z l’andamento per r 0 va come rl+1 (quello di R(r) va come rl)

Andamento vicino all’origine della funzione d’onda radiale n=2, l=0 n=1 l=0 n=2 l=1 n=2 l=1 n=1 l=0 n=2, l=0 - al crescere di n, la funzione d’onda si sposta verso l’esterno - l’andamento per r 0 va come rl

Andamento vicino all’origine della funzione d’onda radiale n=1, 2, 3 n=3, l=2 n=3, l=0 n=1 l=0 n=2 l=1 n=3, l=1 n=2 l=0 n=3 l=1 n=3 l=2 n=3, l=0 - al crescere di n, la funzione d’onda si sposta verso l’esterno - l’andamento per r 0 va come rl

Dipendenza angolare: “orbitale” 1s

andamento in funzione di z per x = 0, y = 0 andamento in funzione di x a z>0 andamento in funzione di x a z<0 andamento in funzione di z per x = 0, y = 0 “orbitale” atomico 2p0

parte immaginaria parte reale + _ + _ “orbitale” atomico 2p+