La Geometria Iperbolica “LA GEOMETRIA DELL’UNIVERSO”

Girolamo Saccheri, il 5°postulato e le origini delle geometrie non euclidee Il 5° postulato di Euclide, enigma e frustrazione di generazioni di matematici fin da quando il suo creatore lo introdusse, racchiude in sé l’idea che il mondo sia perfettamente piatto, poiché in un mondo perfettamente piatto le parallele esistono e possono essere prolungate all’infinito. Così, quando Saccheri lesse gli ELEMENTI mentre ancora insegnava, fu colpito moltissimo dal metodo di dimostrazione detto Reductio ad Absurdum e tentò una dimostrazione. Non ottenne alcuna contraddizione, ma raggiunse un risultato bizzarro: poteva esserci più di una parallela ad una retta data e ad un punto fuori da essa. Tuttavia, Saccheri non si accorse che il proprio sistema era in realtà perfettamente coerente e solo nell’ottocento ci si rese conto della possibilità di formulare una geometria in cui viene negato il 5° postulato, ovvero una geometria non euclidea.

La nascita della geometria iperbolica Se immaginiamo di deformare una superficie piatta “iperbolicamente”, cioè stirandola un po’ verso il basso ed un po’ verso l’alto, otterremo una nuova struttura a forma di sella dove esistono infinite parallele ad una retta data e triangoli la cui somma degli angoli interni è minore di 180°. Questo è quello che si ottiene dalla dimostrazione di Saccheri ripresa poi da 2 geniali matematici: il russo Nikolaj Lobacevskij e l’ungherese Jànos Bolyai. Entrambi, nel corso di anni diversi, raggiunsero le stesse conclusioni: partendo dalla versione di Playfair del 5° postulato ( data una linea, per un punto a essa esterno passa una sola parallela ) e supponendo che ciò non è vero, si arriva alla conclusione che, in tal caso, o non c’è nessuna parallela o ce ne sono più di una. Però, una linea retta, ( secondo un altro postulato di Euclide ) è infinita il che contraddice la prima possibilità lasciando solo la seconda come alternativa praticabile al 5° postulato. Pertanto, otteniamo un mondo del tutto nuovo, dove la somma degli angoli interni di un triangolo non è 180° e dove il rapporto tra una circonferenza ed il suo diametro non è π.

I padri della geometria iperbolica

I modelli della geometria iperbolica A differenza di Riemann per la geometria ellittica, sia Bolyai che Lobacevskij non hanno fornito modelli per la loro. Un modello è importante, perché garantisce l’effettiva esistenza della nuova geometria. I più famosi sono: il disco di Poincaré e il modello di Klein. Il primo fu ideato dal matematico francese Jules Poincaré. In esso, sono validi tutti gli assiomi di Euclide tranne il quinto; è un disco in cui i segmenti (geodetiche) sono archi di circonferenza o di rette ortogonali al bordo del disco. L’altro modello fu introdotto da Eugenio Beltrami e, successivamente, approfondito da Felix Klein. A differenza dell’altro, in questo le rette sono segmenti veri e propri, ma la maggiore semplicità nella descrizione delle geodetiche è però controbilanciata da una maggiore complicazione nella descrizione degli angoli tra queste, di fatti gli angoli non sono quelli del piano euclideo.

FINE