A.S.E.4.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 4 Conversione da base N a base 10Conversione da base N a base 10 Conversione da base 10 a base NConversione da base 10 a base N ModuloModulo Modulo MModulo M Rappresentazione di numeri con segnoRappresentazione di numeri con segno Modulo e segno (MS)Modulo e segno (MS)

A.S.E.4.2 Conversione di base Un numero è un simbolo che rappresenta una quantitàUn numero è un simbolo che rappresenta una quantità Una quantità che può essere espressa in una base, può essere espressa in qualunque altra baseUna quantità che può essere espressa in una base, può essere espressa in qualunque altra base Un intero espresso in base b1 è un intero anche in base b2Un intero espresso in base b1 è un intero anche in base b2 Un numero frazionario espresso in base b1 è un numero frazionario anche in base b2Un numero frazionario espresso in base b1 è un numero frazionario anche in base b2 Esistono due tecniche di conversione da una base ad unaltraEsistono due tecniche di conversione da una base ad unaltra –Metodo polinomiale (le operazioni si fanno nella base darrivo) –Metodo iterativo (le operazioni si fanno nella base di partenza)

A.S.E.4.3 Metodo polinomiale Il numero N espresso in base b1 ha la forma:Il numero N espresso in base b1 ha la forma: In base b1 si ha:In base b1 si ha: In base b2 il numero N risulta:In base b2 il numero N risulta: Secondo questultima equazione è possibile convertireSecondo questultima equazione è possibile convertire

A.S.E.4.4 Esempio 1 Convertire 1101 in base 2 nellequivalente in base 10Convertire 1101 in base 2 nellequivalente in base 10

A.S.E.4.5 Esempio 2 Convertire il numero binario nellequivalente in base 10Convertire il numero binario nellequivalente in base 10 Convertire il numero ternario nellequivalente in base 10Convertire il numero ternario nellequivalente in base 10

A.S.E.4.6 Esempio 3 Convertire il numero esadecimale D3F nellequivalente in base 10Convertire il numero esadecimale D3F nellequivalente in base 10 OSSERVAZIONEOSSERVAZIONE Il metodo polinomiale è conveniente per la conversione da base b a base 10Il metodo polinomiale è conveniente per la conversione da base b a base 10

A.S.E.4.7 Metodo iterativo (numeri interi) Tecnica delle divisioni successiveTecnica delle divisioni successive –Perché dividendo un numero per la sua base, il resto è lultimo digit

A.S.E.4.8 Esempio 1 Convertire il numero 52 in base 10 nellequivalente in base 2Convertire il numero 52 in base 10 nellequivalente in base 2 QuindiQuindi

A.S.E.4.9 Esempio 2 Convertire il numero in base 10 nellequivalente in base 16Convertire il numero in base 10 nellequivalente in base 16 QuindiQuindi (A) (A) (8) (8)4 14 (4) (E) (E)

A.S.E.4.10 Esempio 3 Convertire il numero in base 10 nellequivalente in base 8Convertire il numero in base 10 nellequivalente in base 8 QuindiQuindi

A.S.E.4.11 Osservazione Il metodo iterativo è particolarmente conveniente per la conversione da base 10 a base bIl metodo iterativo è particolarmente conveniente per la conversione da base 10 a base b

A.S.E.4.12 Metodo polinomiale [richiamo] (numeri frazionari) Conversione da base b a base 10Conversione da base b a base 10 Non presenta problemiNon presenta problemi EsempioEsempio Convertire il numero binario Convertire il numero binario

A.S.E.4.13 Metodo iterativo (numeri frazionari) Conversione da base 10 a base bConversione da base 10 a base b La parte intera procedimento prima vistoLa parte intera procedimento prima visto Per la parte frazionaria in base b si haPer la parte frazionaria in base b si ha Moltiplicando per la base si haMoltiplicando per la base si ha La conversione può non avere fine, si arresta una volta raggiunta la precisione desiderataLa conversione può non avere fine, si arresta una volta raggiunta la precisione desiderata

A.S.E.4.14 Esempio Conversione da base 16 a base 10Conversione da base 16 a base 10

A.S.E.4.15 ERRORE Avendo arrestato la conversione al quarto passaggio si commette un certo erroreAvendo arrestato la conversione al quarto passaggio si commette un certo errore Lentità dellerrore si può valutare converetedo il risultato in base dieciLentità dellerrore si può valutare converetedo il risultato in base dieci

A.S.E.4.16 Osservazione È vera la seguente uguaglianzaÈ vera la seguente uguaglianza QuindiQuindi –Per convertire da a un numero frazionario lo si può moltiplicare per, effettuare la conversione con il metodo delle divisioni successive e quindi moltiplicare vil risultato per

A.S.E.4.17 Convertire il numero da base 10 a base 8Convertire il numero da base 10 a base 8 Risulta m =2, quindi si moltiplica per 10 2 =100Risulta m =2, quindi si moltiplica per 10 2 =100 Il risultato si divide per 10 2 (10) = 144 (8), quidi risultaIl risultato si divide per 10 2 (10) = 144 (8), quidi risulta N = / 144 =75.2N = / 144 =

A.S.E.4.18 Binario => Ottale Dato un numero binarioDato un numero binario FattorizzandoFattorizzando

A.S.E.4.19 Metodo Basta raggruppare i digit del numero binario (bit) tre a tre e convertire ciascun gruppo nel corrispondente digit ottaleBasta raggruppare i digit del numero binario (bit) tre a tre e convertire ciascun gruppo nel corrispondente digit ottale EsempioEsempio NotaSono stati aggiunti degli zeri in testa e in coda affinché si avessero due gruppi di digit multipli di treNotaSono stati aggiunti degli zeri in testa e in coda affinché si avessero due gruppi di digit multipli di tre

A.S.E.4.20 Binario => Esadecimale Stesso procedimento del caso precedente, però ora si raggruppano i bit quattro a quattroStesso procedimento del caso precedente, però ora si raggruppano i bit quattro a quattro EsempioEsempio Per le conversioni ottale => binario e esadecimale => binario si opera in modo simile convertendo ciascun digit nel corrispondente numero binarioPer le conversioni ottale => binario e esadecimale => binario si opera in modo simile convertendo ciascun digit nel corrispondente numero binario

A.S.E.4.21 Ottale => Esadecimale (Esadecimale => Ottale) Conversione intermedia in binarioConversione intermedia in binario EsempioEsempio –Ottale => Esadecimale –Esadecimale => Ottale

A.S.E.4.22 Numeri binari con segno Il numero massimo di bit usato da un calcolatore è noto e fissoIl numero massimo di bit usato da un calcolatore è noto e fisso Solitamente è : 4 o 8 o 16 o 32 (Word)Solitamente è : 4 o 8 o 16 o 32 (Word) 8 bit formano un Byte8 bit formano un Byte Non esiste un apposito simbolo per il segnoNon esiste un apposito simbolo per il segno Si usa il bit più significativo per indicare il segnoSi usa il bit più significativo per indicare il segno 0 = +0 = + 1 = -1 = - Si hanno varie tecniche di codificaSi hanno varie tecniche di codifica Modulo e segnoModulo e segno Complemento a 2Complemento a 2 Complemento a 1Complemento a 1 In traslazione ( cambia la codifica del segno)In traslazione ( cambia la codifica del segno)

A.S.E.4.23 Modulo Il modulo di un numero è il valore assoluto del numero stessoIl modulo di un numero è il valore assoluto del numero stesso –si indica con due barre verticali Risulta:Risulta: EsempioEsempio Graficamente si ha:Graficamente si ha: x |x|

A.S.E.4.24 Osservazione Dati due numeri arbitrari X e Y, con Y 0, alloraDati due numeri arbitrari X e Y, con Y 0, allora Se R = 0 allora X è divisibile per YSe R = 0 allora X è divisibile per Y Si può dimostrare che R e Q esistono e sono uniciSi può dimostrare che R e Q esistono e sono unici EsempiEsempi

A.S.E.4.25 Modulo M (1) X modulo M è il resto della divisione di X diviso M (intero positivo); si indica con due barre verticali e pedice MX modulo M è il resto della divisione di X diviso M (intero positivo); si indica con due barre verticali e pedice M R è detto anche residuo e risultaR è detto anche residuo e risulta EsempioEsempio Intero di X diviso M

A.S.E.4.26 Modulo M (2) Altra interpretazione: dato un numero X e detto R il modulo M di XAltra interpretazione: dato un numero X e detto R il modulo M di X 1° caso 0 X < M segue R = X1° caso 0 X < M segue R = X 2° caso X M si togli tante volte M in modo che risulti 0 R < M2° caso X M si togli tante volte M in modo che risulti 0 R < M 3° caso X 0 si somma tante volte M in modo che risulti 0 R < M3° caso X 0 si somma tante volte M in modo che risulti 0 R < M

A.S.E.4.27 Alcune proprietà Dati due numeri X e Z risultaDati due numeri X e Z risulta

A.S.E.4.28 Osservazione 1 Loperazione modulo M in generale non è biunivoca, ovvero dato il numero X è univocamente determinato R = |X| MLoperazione modulo M in generale non è biunivoca, ovvero dato il numero X è univocamente determinato R = |X| M Dato R esistono infiniti numeri che hanno per residuo R stesso Loperazione modulo M è biunivoca se risultaLoperazione modulo M è biunivoca se risulta

A.S.E.4.29 Osservazione 2 Data una base B, se si dispone di un numero limitato di digit (K), se si esegue laddizione di due numeri la cui somma eccede B K, allora la somma S assume il valoreData una base B, se si dispone di un numero limitato di digit (K), se si esegue laddizione di due numeri la cui somma eccede B K, allora la somma S assume il valore

A.S.E.4.30 Numeri binari con segno Il numero massimo di bit usato da un calcolatore è noto e fissoIl numero massimo di bit usato da un calcolatore è noto e fisso Solitamente è : 4 o 8 o 16 o 32 (Word)Solitamente è : 4 o 8 o 16 o 32 (Word) 8 bit formano un Byte8 bit formano un Byte Non esiste un apposito simbolo per il segnoNon esiste un apposito simbolo per il segno Si usa il bit più significativo per indicare il segnoSi usa il bit più significativo per indicare il segno 0 = +0 = + 1 = -1 = - Si hanno varie tecniche di codificaSi hanno varie tecniche di codifica Modulo e segnoModulo e segno Complemento a 2Complemento a 2 Complemento a 1Complemento a 1 In traslazione ( cambia la codifica del segno)In traslazione ( cambia la codifica del segno)

A.S.E.4.31 Modulo e segno (1) AssumendoAssumendo –Digit a disposizione (lunghezza della parola) N –X numero di cui si vuole eseguire la conversione –X MS rappresentazione di X in M.S. RisultaRisulta In Base 2 risultaIn Base 2 risulta

A.S.E.4.32 Esempio 1 Disponendo di 3 digit in base 10Disponendo di 3 digit in base 10 –Stabilire il max min rappresentabile –Convertire in MS i numeri 25, 147, -13, -258

A.S.E.4.33 Esempio 2 Disponendo di 8 digit in base 2Disponendo di 8 digit in base 2 –Stabilire il max min rappresentabile –Convertire in MS i numeri 1111 (15), (117), (-23), (-89)

A.S.E.4.34 Modulo e segno (2) Se si dispone di n bitSe si dispone di n bit Il corrispondente in base 10 èIl corrispondente in base 10 è Il renge dei numeri risultaIl renge dei numeri risulta Esempio n = 4Esempio n = 4

A.S.E.4.35 Conclusioni Conversione da base N a base 10Conversione da base N a base 10 Conversione da base 10 a base NConversione da base 10 a base N ModuloModulo Modulo MModulo M Rappresentazione di numeri con segnoRappresentazione di numeri con segno Modulo e segno (MS)Modulo e segno (MS)