Retta passante per un punto P di direzione u Lezione del 15 novembre 2006 Retta passante per un punto P di direzione u Equazione vettoriale : X=ku+P, k Esempio: u=(1,1), P=(3,0) k=1 u P+u P

Retta passante per un punto P di direzione u Esempio: u=(1,1), P=(3,0) 3u P+3u u P+u P k=1 k=3

Retta passante per un punto P di direzione u Esempio: u=(1,1), P=(3,0) 5u P+5u 3u P+3u u P+u P k=1 k=3 k=5 k=-1 -u P-u

Retta passante per un punto P di direzione u Esempio: u=(1,1), P=(3,0) 5u P+5u 3u P+3u u P+u P k=1 k=3 k=5 k=-1 k=-4 -u P-u -4u P-4u

Combinazione lineare di due vettori linearmente indipendenti w=1u+2v u v 10, 20 10, 2  0 1  0, 2  0 1  0, 2  0 -u -v

Funzioni di più variabili – Lezione introduttiva Testi di riferimento per questa parte di programma Cambini A., Martein L. Introduzione all'algebra lineare. Funzioni di più variabili reali - Ed. Libreria Sc. Pellegrini, Pisa, 1994 Cambini A., Carosi L., Martein L. Esercizi di Matematica Generale. Funzioni di più variabile. - Giappichelli 2003.

Elementi di topologia in n Sia . L'intorno circolare di centro e raggio R è l'insieme dei punti aventi da una distanza minore di R R Se n=2. L'intorno circolare di centro e raggio R coincide con il cerchio di centro e raggio R, con esclusione dei punti della circonferenza che lo delimitano.

Elementi di topologia in n Sia è detto punto interno ad A se esiste un intorno di contenuto in A. Sia è detto punto di frontiera di A se ogni intorno di contiene sia punti appartenenti ad A che punti che non appartengono ad A. Punto interno Punto di frontiera

Elementi di topologia in n I punti interni di S sono i punti appartenenti alla regione colorata di giallo. Analiticamente:

Elementi di topologia in n I punti di frontiera di S sono i punti colorati di blu. Analiticamente: N.B. I punti di frontiera non necessariamente appartengono all’insieme

Elementi di topologia in n Sia A è un insieme aperto se ogni punto di A è interno. Sia A è un insieme chiuso se contiene tutti i suoi punti di frontiera. Nell’esempio precedente, S non è né aperto né chiuso

Elementi di topologia in n Sia A è un insieme limitato se esiste un intorno di raggio R e centro l’origine che lo contiene. Sia A è un insieme illimitato se non è limitato. Insieme limitato Insieme illimitato

Elementi di topologia in n Sia A è un insieme compatto se è chiuso e limitato. Esempio: A

Attenzione!!!!!!! Non confondere aperto con illimitato e chiuso con limitato. I seguenti esempi mostrano che esistono insiemi chiusi ed illimitati ed insieme aperti e limitati. H G H è chiuso e illimitato. G è aperto e limitato.

Elementi di topologia in n Sia A è un insieme convesso se per ogni

Funzioni di più variabili a valori reali Consideriamo una funzione Dato un sottoinsieme una funzione f definita in A e a valori in R è una legge che associa ad ogni elemento associa uno ed un solo numero reale f(x). Se n=2, con un leggero abuso di notazione, per indicare gli elementi di useremo indistintamente i simboli oppure (x,y). Se n=3, con un leggero abuso di notazione, per indicare gli elementi di useremo indistintamente i simboli oppure (x,y,z).

Esempi di Funzioni di più variabili a valori reali dalla geometria: area del rettangolo dalla matematica finanziaria: la rata che pago per estinguere un debito dipende dall’ammontare del debito, dal numero delle rate, dal tasso di interesse pagato: R=f(D,i,n) dall'economia: se un'impresa produce due beni, il costo totale dell'impresa dipende dalle quantità prodotte dei due beni. Funzioni Cobb-Douglas : la produzione di un bene dipende dai due fattori produttivi K (capitale) ed L (lavoro).

Campo di esistenza Campo di esistenza: è l’insieme più grande di dove è possibile calcolare f(x). Esempi

Campo di esistenza

N.B. x,x0 sono due vettori e non due numeri reali. Limiti e Continuità Sia f una funzione a valori reali definita su un sottoinsieme Diremo che se per ogni intorno circolare U di l esiste un intorno circolare V di x0 tale che N.B. x,x0 sono due vettori e non due numeri reali.

Limiti e Continuità Definizione di continuità: Sia x0A. Diremo che f è continua in x0 se f è continua in A se è continua in ogni punto di A. Proprietà delle funzioni continue. La somma, la differenza ed il prodotto di funzioni continue sono funzioni continue; Il rapporto di funzioni continue è una funzione continua con esclusione dei punti che annullano il denominatore. l prodotto di composizione di funzioni continue è una funzione continua.