Esempio – Manipolatore Antropomorfo p0  p1 p2 p (tre giunti rotativi) Nota: lo Jacobiano è funzione dello stato del sistema, ovvero della postura Esempio – Manipolatore Antropomorfo

Si hanno solo 3 gradi di mobilità } Dello Jacobiano trovato, solo 3 righe possono essere linearmente indipendenti Consideriamo (ad esempio) le prime tre che esprimono la relazione che esiste tra le velocità dei giunti e le velocità lineari dell’organo terminale La velocità angolare dell’organo terminale non potrà essere specificata in maniera indipendente Si hanno solo 3 gradi di mobilità Esempio – Manipolatore Antropomorfo

Singolarità Cinematiche Lo Jacobiano, che consente di definire la trasformazione lineare tra velocità ai giunti e velocità dell’organo terminale, è in generale funzione della configurazione (postura) q Quelle configurazioni per cui J diminuisce di rango, vengono definite singolarità cinematiche La caratterizzazione delle singolarità cinematiche è di fondamentale interesse: le singolarità rappresentano configurazioni in corrispondenza delle quali si ha una perdita di mobilità della struttura quando la struttura è in una configurazione singolare, possono esistere infinite soluzioni al problema cinematico inverso nell’intorno di una singolarità, velocità ridotte nello spazio operativo, possono indurre velocità molto elevate (e quindi non realizzabili) nello spazio dei giunti Singolarità Cinematiche

Singolarità Cinematiche Le singolarità si classificano nelle seguenti due tipologie: ai confini dello spazio di lavoro raggiungibile: si presentano quando il manipolatore è tutto steso o tutto ripiegato su se stesso. In generale non rappresentano un inconveniente in quanto è in generale possibile evitare che il manipolatore lavori in prossimità dei confini dello spazio di lavoro all’interno dello spazio di lavoro raggiungibile: si generano tipicamente con l’allineamento di due o più assi di moto od in corrispondenza di particolari posture. Queste rappresentano un problema oggettivo in quanto, essendo all’interno dello spazio di lavoro, possono essere incontrate nelle tipiche traiettorie pianificate senza volerlo! Singolarità Cinematiche

Esempio - Singolarità Cinematiche Manipolatore planare a due bracci: Considerando solo le componenti di velocità nel piano lo Jacobiano è pari a: In cui il determinante è pari a: Singolarità di confine dello spazio operativo Singolarità interna allo spazio operativo Esempio - Singolarità Cinematiche

e1 e2 Esempio - Singolarità Cinematiche Manipolatore planare a due bracci: In corrispondenza della singolarità di confine lo jacobiano diviene: Che vuol dire che sia azionando il motore del primo che del secondo braccio, il manipolatore ha la possibilità di muoversi solamente lungo e1 e non lungo e2, e quindi non è in grado di seguire una generica traiettoria Esempio - Singolarità Cinematiche

e1 e2 Esempio - Singolarità Cinematiche TARGET Quale delle due traiettorie è percorribile ??? Traiettoria percorribile Traiettoria NON percorribile Esempio qualitativo di traiettorie percorribili e NON percorribili Esempio - Singolarità Cinematiche

Disaccoppiamento delle Singolarità Cinematiche Per strutture complesse ed a molti gradi di libertà, l’individuazione delle singolarità cinematiche basata sull’annullamento del determinante dello Jacobiano può risultare complessa (soluzioni multiple, non in forma chiusa, etc.) Una maniera di disaccoppiare le singolarità è quella di impiegare un polso sferico montato su di un robot antropomorfo, cartesiano, etc. In tale maniera infatti la struttura (i primi tre bracci) si occupano di portare il polso in posizione, il polso si occupa di orientare l’organo finale In una configurazione del genere è possibile articolare il problema nei due sottoproblemi indipendenti: calcolo delle singolarità della struttura portante (moto dei primi 3 bracci) calcolo delle singolarità del polso (moto dei giunti di polso) Manipolatore antropomorfo con Polso Sferico Disaccoppiamento delle Singolarità Cinematiche

Disaccoppiamento delle Singolarità Cinematiche Partizioniamo lo Jacobiano in blocchi 3x3: p = p3 = p4 = p5 origine delle terne di polso p’ = origine della terna organo terminale (convenzione usuale) Nota: così lo Jacobiano non rappresenta le velocità dell’organo terminale ma del centro del polso Essendo il polso sferico costituito da tre giunti rotativi, i due blocchi a destra dello jacobiano ovvero quelli relativi agli ultimi 3 assi risultano: p-pi = 0 In cui, scegliendo l’origine della terna che esprime posizione ed orientamento dell’organo terminale in corrispondenza dell’intersezione degli assi di polso, quindi p e non p’, si ha: J12 = 0 NOTA: ci mettiamo nel centro del giunto sferico che può solo ruotare e non traslare Disaccoppiamento delle Singolarità Cinematiche

Disaccoppiamento delle Singolarità Cinematiche In tale caso la matrice diviene triangolare inferiore a blocchi (blocco in alto a destra nullo), ed il determinante si semplifica in: Singolarità di struttura portante Singolarità di polso Disaccoppiamento delle Singolarità Cinematiche

Dunque si hanno singolarità di polso quando due tra z3 z4 z5 risultano allineati: zx In questo caso non si possono avere rotazioni attorno a zx Poiché tale singolarità può incontrarsi ovunque all’interno dello spazio raggiungibile dal manipolatore, particolare cura va posta all’atto della pianificazione del moto Singolarità di Polso

Singolarità di Struttura portante - Antropomorfo 11 Nota: lo Jacobiano non dipende dall’angolo del giunto di base il quale semplicemente determina rispetto a z0 l’orientazione del robot, ma non ne cambia la postura relativa dei bracci Singolarità di Struttura portante - Antropomorfo

Singolarità di gomito – Manip. Antropomorfo Si verifica quando il gomito è tutto steso o ripiegato su se stesso. Vengono definite singolarità di gomito ed è concettualmente analoga a quella del manipolatore planare a due bracci Singolarità di gomito – Manip. Antropomorfo

Singolarità di spalla – Manip. Antropomorfo L’asse z0 rappresenta infiniti punti di singolarità px = py = 0 11 Per la prima colonna si ha che un movimento del giunto di base q1 non muove l’organo terminale 11 3 permette un movimento nel piano ortogonale agli assi z1 e z2 e passante per z0 Per la seconda si ha che un movimento della spalla (q2) non produce un moto lungo z0 Singolarità di spalla – Manip. Antropomorfo

Singolarità di spalla – Manip. Antropomorfo Per la prima colonna si ha che un movimento del giunto di base q1 non muove l’organo terminale (il polso) 11 3 permette un movimento nel piano ortogonale agli assi z1 e z2 e passante per z0 Per la seconda si ha che un movimento della spalla (q2) non produce un moto lungo z0 Singolarità di spalla – Manip. Antropomorfo

Singolarità di spalla – Manip. Antropomorfo 11 L’asse z0 rappresenta infiniti punti di singolarità z1 z0 S0 S1 Per convenzione z1 si trova allineato con –y0 (con variabile di giunto 1 nulla) Singolarità di spalla – Manip. Antropomorfo

Singolarità di spalla – Manip. Antropomorfo 11 z0 L’asse z0 rappresenta infiniti punti di singolarità In singolarità di spalla il manipolatore Antropomorfo non ha possibilità di muoversi lungo z1 z1’ z1 Singolarità di spalla – Manip. Antropomorfo

Analisi della Ridondanza n: gradi di mobilità (lunghezza vettore q) m: numero di variabili necessarie a caratterizzare lo spazio operativo r: numero di variabili necessarie a specificare il compito Lo Jacobiano determina il legame tra le n componenti del vettore velocità ai giunti (dq/dt) con le r  m componenti del vettore velocità generalizzata v necessarie a specificare il compito I gradi di mobilità ridondanti si definiscono R = n - r Il manipolatore è ridondante se R > 0 Ad esempio nel caso del manipolatore planare a tre bracci, esso non è intrinsecamente ridondante (m = n = 3) e lo Jacobiano ha rango 3 Ma, se il compito non impone vincoli sull’assetto, r = 2 e quindi n > r il manipolatore risulta funzionalmente ridondante Analisi della Ridondanza

Analisi della Ridondanza R(J) immagine di J (Jacobiano) è il sottospazio in Rr che individua le velocità dell’organo terminale che possono venire generate dalle velocità di giunto N(J) nullo di J è il sottospazio di Rn a cui appartengono le velocità di giunto che non producono alcuna velocità all’organo terminale: Spazio delle variabili di giunto Spazio operativo Se lo Jacobiano ha rango pieno: dim(R(J)) = r dim(N(J)) = n-r = R (gradi di mobilità ridondanti) dim(R(J)) + dim(N(J)) = n (indipendentemente dal rango della matrice J) Analisi della Ridondanza

Analisi della Ridondanza L’esistenza per i manipolatori ridondanti di un sottospazio N(J) ≠ 0 consente di individuare procedure sistematiche per la gestione dei gradi di ridondanza Se con si indica un vettore soluzione della cinematica differenziale (che consente di raggiungere le velocità desiderate nello spazio operativo), e se P è una matrice tale che: (R: ‘range’) ovvero che P · q0 appartiene al nullo di J per ogni q0 Anche il vettore è soluzione della cinematica differenziale E risulta: Analisi della Ridondanza

Analisi della Ridondanza La possibilità di aggiungere al moto dei giunti un moto dei giunti sovrapposto che non ha influenza sul moto nello spazio operativo (ovvero genera dei moti interni alla struttura), è di fondamentale importanza per i seguenti motivi: consente di aggirare ostacoli minimizzare l’energia far assumere posture destre al manipolatore … Analisi della Ridondanza

Impiego della Ridondanza – Aggiramento ostacoli

Impiego della Ridondanza – Minimizzazione Energia Supponiamo che il compito sia lo spostamento degli ingranaggi dalla posizione iniziale a quella mostrata in figura Si potrebbero muovere tutti i giunti in maniera coordinata, oppure … Impiego della Ridondanza – Minimizzazione Energia

Impiego della Ridondanza – Minimizzazione Energia … assumere una postura tale da avere la possibilità di raggiungere la posizione desiderata con il solo moto dell’ultimo braccio (e quindi con minima coppia applicata) Impiego della Ridondanza – Minimizzazione Energia

Impiego della Ridondanza – Minimizzazione Energia

Impiego della Ridondanza – Posture Destre Quale delle due posture consente maggiore destrezza ??? Impiego della Ridondanza – Posture Destre

Impiego della Ridondanza – Posture Destre