PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 3. CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 3.

Argomenti della lezione Forme quadratiche. Criteri per i punti d’estremo liberi. Differenziazione di funzioni da Rm a Rn.

FORME QUADRATICHE.

Vogliamo dare condizioni sufficienti per l’esistenza di punti d’estremo (max o min) relativi. A questo scopo definiremo e studieremo brevemente le forme quadratiche. Una forma quadratica su Rm è un polinomio omogeneo di grado due nelle variabili h1, h2, … , hm.

Con notazione vettoriale, si scrive q(h1, h2, … , hm) =  aijhihj i,j=1 m Con notazione vettoriale, si scrive q(h1, h2, … , hm) = hTAh, h Rm È facile riconoscere che una forma quadratica si può pensare generata da una matrice simmetrica, cioè con aij=aji e quindi A = AT

Qualche semplice esempio...  (Dijf)(x0) hihj i,j=1 m hTHh = È, come si ricorderà, la forma quadratica associata al differenziale secondo di una funzione nel punto x0. La chiameremo l’Hessiano di f in x0.

Una forma quadratica q(h1, h2, … , hm) si dice 1. Definita positiva (negativa) se per ogni h Rm, h≠ 0, q(h) > 0 (< 0). 2. Semidefinita positiva (negativa) se per ogni h Rm, h≠ 0, q(h) ≥ 0 (≤ 0), ma esiste h≠ 0 tale che q(h) = 0. 3. Indefinita se esistono h1, h2  Rm, tali che q(h1) > 0 e q(h2) < 0 .

Data la matrice A associata a una forma quadratica q(h1, h2, … , hm), diremo minori principali (di NW) i minori formati con le prime k righe e k colonne di A. M1= a11 a11 a12 M2= a21 a22

Mk= a11 a12 a1k ... a21 a22 a2k ak1 ak2 akk Mm= a11 a12 a1m ... a21 a22 a2m am1 am2 amm = det A

Criterio (di Jacobi - Sylvester ) Sia data la forma q(h1, h2, … , hm) = hTAh. a) hTAh è definita positiva se e solo se Mk> 0 per k = 1, 2, … , m b) hTAh è definita negativa se e solo se (-1)kMk> 0 per k = 1, 2, … , m

) ( ) ( Nel caso delle f.q. in due variabili, possiamo provare un criterio più completo. q(h1,h2) = ah12 + 2bh1h2 + ch22 = = a(h1 + (b/a)h2)2+ ((ac-b2)/a)h22 = (h1 h2) ( ) h1 h2 a b c  = hTA h A = a b c ( ) dove

a) è definita positiva (negativa) se Allora la f.q. q(h1,h2) a) è definita positiva (negativa) se e solo se det A > 0 e a > 0 (< 0) b) è indefinita det A <0 c) è semidefinita positiva (negativa) se e solo se det A = 0 e a > 0 (< 0) oppure a = 0 e c > 0 (< 0)

Teorema Sia f : A  Rm  R, una funzione C2(A). Se in x0 è f(x0)= 0 e se i) d2fx0 è definito positivo, allora x0 è punto di minimo relativo.

ii) d2fx0 è definito negativo, allora x0 è punto di massimo relativo. iii) d2fx0 è indefinito, allora x0 non è punto né di max né di min relativo. iv) d2fx0 è la f.q. nulla o è semidefinito, allora nulla si può concludere in generale.

    In particolare, per funzioni di due variabili: ∂2f ____ ∂x2 _____ ∂x∂y     H(x0,y0) = ∂2f ____ ∂x2 Se det H(x0,y0) > 0 e > 0 allora (x0,y0) è punto di min rel.

∂2f ____ ∂x2 Se det H(x0,y0) > 0 e < 0 allora (x0,y0) è punto di max rel. Se det H(x0,y0) < 0 allora (x0,y0) è punto di sella. Se det H(x0,y0) = 0 allora nulla si può in generale sulla natura di (x0,y0).

Calcoli ed esempi a parte..

Differenziazione di funzioni da Rm a Rn.

Una funzione f : A  Rm  Rn , A aperto, fa corrispondere a ogni x  A un solo y  Rn. y  Rn ha n componenti, ciascuna funzione delle m componenti di x Dunque y = f(x) corrisponde a n funzioni fi : A  Rm  R, i = 1,.., n

f : A  Rm  Rn è continua in x0 A se e solo se ciascuna delle componenti fi : A  Rm  R, i = 1,.., n è continua in x0  A. f : A  Rm  Rn ha limite l  Rn per x  x0 se e solo se ogni componente fi : A  Rm  R ha limite li per x  x0.

Diremo che f : A  Rm  Rn è differenziabile in x0 A se esiste un’applicazione lineare L : Rm  Rn tale che, se x = x0 + h (x, x0,h  Rm) f(x) = f(x0) + L h + (h) |h| con (h) 0 se h  0

    Si verifica che f : A  Rm  Rn è differenziabile se e solo se lo sono le sue componenti. Si trova che il differenziale di f è rappresentato dalla seguente matrice L con m colonne ed n righe L =   D1f1(x0) D2f1(x0) Dmf1(x0) D1f2(x0) D2f2(x0) Dmf2(x0) D1fn(x0) D2fn(x0) Dmfn(x0) ..  

Nella matrice L ogni riga è il differenziale di una componente fi di f . Ci interesserà nel seguito la seguente formula di derivazione di funzione composta più generale di quella già dimostrata.

Teorema (Derivazione di funzione composta ) Sia f : A  Rm  Rp, A aperto, differenziabile in x0, g :   Rn  A  Rm ,  aperto, x0 = g(u0), esistano finite in u0 tutte le derivate ∂ui gk (u0), i=1,..,n , k = 1,..,m , allora

F(u) = f(g(u)),  aperto, ha tutte le derivate parziali ∂ui Fr. E vale ___ ∂uk (u0) = ∂fr ∂x1 ∂g1  ∂xm ∂gm +    r = 1,…, p. Un accenno di calcolo a parte..