Matematica e statistica Versione didascalica: parte 4 Sito web del corso http://www.labmat.it Docente: Prof. Sergio Invernizzi, Università di Trieste e-mail: inverniz@units.it

2.10. Il problema inverso delle tangenti x f(x) = y'(x) ______________________ Il problema è ricostruire la funzione y(x) nota che sia la sua derivata f(x) Di y si conosce la pendenza della retta tangente al suo grafico nel punto di ascissa x, e da tutte queste informazioni vogliamo ricostruire i vari valori y(x). Per esempio possiamo conoscere le pendenze tabulate qui accanto.

2.10. bis

2.10. ter Il problema è per x nell’intervallo [a, b] ma possiamo discretizzate tabulando

Nel caso concreto n = 14 dell’esempio, sommiamo: Nel caso generale:

2.10.1 La Formula di Torricelli Sommando e semplificando: Formula di Torricelli

2.10.2 Calcolo esatto di integrali (Prima conseguenza della Formula di Torricelli; y'(x) = f(x) ) Se si “indovina” una funzione y(x) tale che y'(x) = f(x) (una antiderivata – o primitiva – della funzione f(x) ) si ha Si usa per brevità la notazione

Supponiamo che F sia una antiderivata di f, ossia per cui Supponiamo che G sia una antiderivata di g, ossia per cui Allora per cui F + G è una antiderivata di f + g e si ha

Supponiamo che F sia una antiderivata di f, ossia per cui Supponiamo che a sia una costante Allora per cui a F è una antiderivata di af e si ha

Integrale indefinito Simbolicamente per indicare il problema di trovare una antiderivata y(x) della funzione f(x) si scrive talvolta Se y(x) è un’antiderivata, anche y(x) +C lo è (C costante). Si usa per brevità la notazione

Esempi 1. Il Problema di Archimede (calcolo esatto) 2. L’area del seno (calcolo esatto) 3. L’area del ... (calcolo esatto ?)

2.10.3. Calcolo di integrali indefiniti RELAX Calcolo Algebrico Simbolico (Mathematica, Maple, Derive,..., TI-89 e sup.). Esempio: 4. Conoscere le “primitive immediate” (quelle delle tabelle di derivazione lette al contrario)

2.10.4. Soluzione del problema inverso (Seconda conseguenza della Formula di Torricelli: y'(x) = f(x) )

Esempio

La curva a campana di Gauss K.F. Gauss (1777-1855) e la curva a campana nella banconota da 10 DM del 1991.

La funzione è data. La incognita è calcolata usando la regola dei trapezi. è la derivata di è una primitiva di

2.11.a. Estensione del concetto di integrale Funzione integranda che cambia segno = area( ) - area( )

2.11.b. Estensione del concetto di integrale Inversione degli estremi di integrazione Se a > b, integrare da a a b significa muoversi sull’asse X all’indietro, ossia con un passo h = (b-a)/n negativo nelle formule di calcolo numerico. Quindi si pone:

A.Valore medio Valore medio di una funzione f(x) nell’intervallo [a, b] Media mobile

B. Data smoothing Media mobile ε = 0.5