EQUAZIONI E SISTEMI D’EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI

Argomenti della lezione Termini noti di tipo particolare Oscillazioni forzate Accenno ai sistemi con coefficienti costanti

TERMINI NOTI DI TIPO PARTICOLARE

Se l’equazione ha coefficienti costanti e il termine noto è dei seguenti tipi a) b(x) = P(x), grado P(x) = p Allora una soluzione è del tipo polinomio xk Q(x), con grado Q(x) = p, se an =…= an-k+1 = 0

Esempio –2y’” + 2y” = x+1 Soluzione particolare x2 (a x + b) = a x3 + b x2 Si trova a = 1/12, b =1/2

b) b(x) = eax P(x), grado P(x) = p e  numero reale, radice dell’ equazione caratteristica di molteplicità r (r=0 se  non è radice). Allora y(x) = eax xr Q(x), con grado Q(x) = p = grado P(x)

Esempio y”–2y’ + y = ex(x+1) z = 1 è radice doppia dell’equazione caratteristica; ex e xex sono le soluzioni l.i. dell’omogenea. Una soluzione particolare ha la forma u(x) = x2ex (ax+b) a e b  R da determinare

Si trova a = 1/6, b = 1/2. Una soluzione particolare della completa è u(x) = x2ex (x/6+1/2)

b(x) = eax [P1(x) cos(bx) + P2(x) sen(bx)] c) È il caso più generale del quale ci occuperemo. Ha come casi particolari i due casi precedenti. Se p = max(grado P1(x), grado P2(x) )e a + i b è radice di molteplicità r dell’equazione caratteristica, una soluzione particolare ha la forma

u(x) = eax xr [Q1(x) cos(b x) + + Q2(x) sen(b x)], grado Q1(x) = grado Q2(x) = p Si noti che la combinazione Q1(x) cos(b x) + + Q2(x) sen(b x) deve sempre comparire anche se può mancare in b(x).

Esempio y”–2y’ + y = (x+1) sen x z = i non è radice dell’equazione caratteristica: r = 0. Le soluzioni sono da ricercare nella forma u(x) = (a x + b) sen x + (c x + d) cos x, con a, b, c, d da determinare. Si trova

a = -1/3, b = -17/9, c = 2/3, d = 19/9. u(x) = (- x/3 - 17/9) sen x + (2 x/3 + 19/9) cos x Se b(t) è somma di funzioni dei tipi precedenti, si considererà la somma delle corrispondenti soluzioni particolari.

OSCILLAZIONI FORZATE

Se un punto materiale è soggetto ad una forza di tipo elastico ed il suo moto è frenato da una forza d’attrito proporzionale alla velocità, situazione che spesso si può ipotizzare in problemi di tipo meccanico, l’equazione del moto, supposto un solo grado di libertà, è m y” = - k y - h y’

w = k m d = h 2 m Cioè y” + (h/m) y’ + (k/m) y = 0 O anche y” + 2  y’ + 2 y = 0 Qui w = k m d = h 2 m e

Se  = 0, si ottengono oscillazioni dette “libere” descritte dalla soluzione generale y(t) = c1cos( t) + c2sen( t) o anche, equivalentemente, y(t) = A sen( t+) dove A è l’ampiezza dell’ oscillazione e  la fase.

L’andamento della soluzione è di tipo oscillatorio, detto moto armonico. La frequenza  è detta la frequenza caratteristica dell’oscillatore

l = - d - d w l = - d + d - w Se  ≠ 0, l’equazione caratteristica ha soluzioni l 1 = - d - d 2 w l 2 = - d + d - w Se  >  si ha un moto smorzato. La soluzione è combinazione lineare di due esponenziali decrescenti a 0 per t  .

Se  =  ,    e la soluzione non è oscillatoria; si ha y(t) = (c + c2 t) e-  t Anche in questo caso y(t) tende a 0 per t  .

l = - d i n l = - d + i n n = w - d Infine, se  <  si ha dove 1 = - d i n l 2 = - d + i n n = w 2 - d dove La soluzione si può scrivere nella forma

y(t) = A e-  t sen( t+) Si trovano infinite oscillazioni dette “smorzate”, di frequenza  e di ampiezza A e-  t

Supponiamo ora che una forza esterna sia impressa al punto materiale. L’equazione diviene allora y” + 2  y’ + 2 y = f(t) Ci interessa in particolare il caso che f(t) = B cos( t)

Al moto armonico libero di frequenza  si sovrappone un’oscillazione forzata di frequenza  se  ≠ ; se  =  si assiste al fenomeno della “risonanza” . L’ampiezza dell’oscillazione forzata cresce nel tempo come B t/(2 ). L’ampiezza tende a  per t  .

Se  = 0, la soluzione è del tipo y(t) = z(t) + u(t) con z(t) = A sen( t+), soluzione dell’omogenea; una soluzione particolare della completa è data da

u ( t ) = B w - g cos( u ( t ) = B 2 w sen( se  ≠ . Se invece  = , si trova u ( t ) = B 2 w sen(

Oscillazioni forzate y(t) = 5 sen(t+/10)+4 cos(3 t)

Risonanza y(t) = 5 sen(t+/10)- 16 t cos(4 t)

Se  ≠ 0, una soluzione particolare della completa si trova con semplici calcoli u ( t ) = B w 2 - g + 4 d sen( a dove

sen a = w 2 - g ( ) + 4 d cos a = 2 d g ( w - ) + 4

L’ampiezza dell’oscillazione forzata è B ( w 2 - g ) + 4 d Se  < / l’ampiezza ha un massimo per  = (w 2 -2  2)1/2  Anche in questo caso c’è risonanza

Andamento dell’ampiezza, per  = 2,  = 1/2

Gli effetti della risonanza possono essere catastrofici Il crollo del ponte di Tacoma (Wa - USA) 7 novembre 1940

ACCENNO AI SISTEMI CON COEFFICIENTI COSTANTI

Un sistema completo con coefficienti costanti si scrive Y’ = A Y + B(x) Il sistema omogeneo è Y’ = A Y A è una matrice con coefficienti reali (o complessi)

Ricordando che lo sviluppo in serie per l’esponenziale è convergente per ogni x reale ex = 1 + x + x2/2! + .. + xn/n! +.. Si può definire eA = 1 + A + A2/2! + .. + An/n! +..

La matrice eA si può pensare definita componente per componente a partire dalla formula precedente Una matrice fondamentale che risolve il sistema omogeneo è U(x) = exA Che sia fondamentale segue dal fatto che U(0) = I

In generale U(x) è lunga da calcolare, ma in alcuni casi speciali i calcoli si semplificano. Tuttavia ci fermiamo qui..