Torniamo al terzo problema. Vi è mai capitato di andare in libreria alla ricerca di un libro, cercare tra gli scaffali e non trovarlo... Allora chiedete al libraio, specificando titolo, autore, casa editrice. Controlla su un terminale e dice: Mi spiace, non lo trovo nellelenco. Devessere uscito dal catalogo....

La soluzione? Andare in libreria con il codice ISBN! Che cosè il codice ISBN? International Standard Book Number

Il codice ISBN è un codice internazionale; individua univocamente un libro in tutto il mondo; è un numero di 10 cifre che viene applicato ad ogni volume edito ufficialmente in tutto il pianeta; è uguale su ogni copia dello stesso libro; viene assegnato poco prima della pubblicazione, per poter essere stampato su una delle prime pagine del libro (e spesso sulla copertina).

LISBN rende ufficiale una pubblicazione, assicurando che il libro sia inserito nel circuito delleditoria di tutto il mondo. Quindi ogni libraio, consultando il catalogo distribuito dallAgenzia ISBN, può trovare tutti i dati del libro che voi cercate (e magari ordinarlo per voi...).

Come è fatto questo codice? Osserviamo che ci sono 4 numeri (cioè gruppi di cifre) separati da trattini. Ad esempio: ISBN Ma ogni numero ha un significato...

Vediamo esattamente cifre divise in 4 gruppi: AA - BBB - CCCC - K nazione (da 1 a 5 cifre) editore (da 2 a 6 cifre) titolo (a completare) ??? (1 cifra)

Ad esempio: sul frontespizio di un mio libro leggo ISBN che significa: ItaliaEditore Rizzoli Inglesi di Beppe Severgnini ???

Quale significato ha lultima cifra? Facciamo attenzione a quanto detto allinizio: il codice ISBN identifica inequivocabilmente un libro. E se qualcuno facesse un errore? Richiedendo un libro da un negozio ad una casa editrice... O in uno scambio tra una biblioteca e unaltra... O digitando il codice per ordinare un libro via Internet...

Questo è il punto! Lultima cifra serve a controllare che non ci siano errori!!! Lidea è semplice, ma intelligente. Come al solito, dietro cè un po di MATEMATICA...

Le prime 9 cifre sono lidentikit del libro e quindi fissate. E la decima? Se denotiamo le 10 cifre con x 10 è scelta in modo che modulo 11.

Controlliamo nellesempio di prima: ISBN (8) + 3 (1) + 4 (7) + 5 (1) + 6 (1) + 7 (5) + 8 (8) + 9 (2) =... = 183 (manca lultimo addendo... era finito lo spazio!) (7) = 253. Ma in Z 11 = {[0], [1], [2],..., [10]} si ha che: [253] = [23 ·11] = [0]. OK!

Giusto per fare esercizio... Vediamo quanto vale la classe dei primi nove addendi della somma precedente: e in Z 11 : [183]=[16 · ] = [7]. Ma x 10 = 7 !!!

Idea! Non sarà forse vero in generale? Se così fosse, sarebbe un modo semplice per determinare la cifra di controllo x 10 ! Infatti basterebbe calcolare il più piccolo rappresentante della somma dei 9 addendi, in Z Proviamo a dimostrarlo.

La nostra idea è la seguente: per semplicità indichiamo con S la somma dei primi nove addendi, cioè se S + 10 x 10 0 (mod 11) allora S x 10 (mod 11) E se fosse ancora più generale? E vero anche il viceversa? Azzardiamo una congettura! Siano [s], [x] Z 11. Allora vale il seguente fatto: [s+10x] = [0] [s]=[x].

Proviamo a dimostrarlo. [s+10x] = [0] s+10x = 11k, per qualche k Z. Sommando ad ambo i membri (-11x) si ottiene una uguaglianza equivalente, cioè: s + 10x = 11 k s + 10x - 11x = 11k -11x s - x = 11(k - x). Ma ciò equivale a essere [s]=[x], come volevamo.

E ora un facile esercizio. Un nostro amico ci chiede di ordinare via Internet il libro Applied abstract Algebra di K.H. Kim - F.W. Roush. In tutta fretta, scrive su un pezzo di carta: ISBN ? - 5 Ma la nona cifra è illeggibile: può essere un 8 o un 3... CHE FARE?

Beh, non resta che controllare... Calcoliamo la somma escluso il nono addendo: 0+ 2(8) + 3 (5) + 4 (3) + 5 (1) + 6 (2) + 7 (5) + 8 (6) + 9 (no) + 10 (5) = = 193 Se il nono addendo fosse 8, allora S = (8) = 265. Se il nono addendo fosse 3, allora S = (3) = 220. Allora calcoliamo: [265] 11 = [24 ·11] 11 + [1] 11 = [1] 11 in Z 11, mentre [220] 11 = [20 ·11] 11 = [0] 11 in Z 11. Dunque la cifra illeggibile era 3!!!

Conclusione: laritmetica delle classi di resto serve anche ai librai, bibliotecari, lettori e magari a chi acquista libri in Internet... Forse non la conoscono... MA LA USANO!

Fine