Le Equazioni per lo Studio della Dinamica Mediante le equazioni per lo studio della dinamica delle Macchine Elettriche si cerca di predire il comportamento elettromeccanico delle macchine al variare di alcune grandezze di influenza. In particolare, mediante queste equazioni è possibile studiarne l’avviamento, la fermata ed il modo con cui la macchina si porta da un punto di lavoro all’altro. Se si desidera controllare (comandare) la dinamica, i modelli qui presentati vengono inseriti in opportuni sistemi di controllo (Azionamenti Elettrici=Macchine+Convertitore+Controllo). Diversi sono gli approcci possibili: Risoluzione delle equazioni differenziali nel dominio del tempo, Approccio Input/Output mediante lo studio delle Funzioni di Trasferimento, Modellizzazione con le Equazioni di Stato.

La risoluzione delle equazioni di tempo è il primo metodo impiegato per la previsione della dinamica. E’ stato abbandonato perché troppo complicato e non si presta all’impiego nei controlli automatizzati. La Funzione di Trasferimento viene definita attraverso la trasformata della risposta impulsiva o dal rapporto tra le trasformate dell’uscita e dell’ingresso considerati. Bisogna selezionare una determinata uscita in ragione di un ingresso, quando le altre grandezze restano costanti. L’ipotesi di linearità è alla base del metodo. Si ricorda che la forma canonica delle equazioni di stato è: Le equazioni di stato si determinano facilmente tenendo conto delle variabili soggette a derivazione, in condizioni quindi di descrivere lo stato della macchina. Sono state sviluppate per tenere conto di più ingressi e più uscite, simultaneamente. (Teoria=>Controlli; Applicazioni=Azionamenti Elettrici

Soluzione della Dinamica nel Dominio del Tempo Consideriamo un circuito con resistenza e coeff. di autoinduzione: ~ L R t0 i(t) v(t) La tensione di alimentazione v(t) è sinusoidale (f=50 Hz). Si chiude l’interruttore all’istante t=t0 che definisce l’inizio del transitorio che vogliamo determinare; con La corrente i(t) che percorre il circuito è definita dalla equazione

L’omogenea associata a questa equazione differenziale è data da ed ha come soluzione L’integrale generale è quindi dato da i(t)=i0(t)+ip dove ip è un integrale particolare la cui forma è del tipo dove A e B sono delle costanti. Ora e la derivata di ip vale sostituendo:

eguagliando i coefficienti dei termini simili si ottengono le due equazioni che permettono di determinare i due coeff. incogniti. L’integrale particolare che soddisfa l’equazione diff. risulta quindi

Semplificando dove è stato posto sapendo che L’integrale particolare cercato assume quindi la forma Gli elementi R ed X=L sono i componenti dell’impedenza: ed in modulo:

In definitiva possiamo scrivere L’integrale generale dell’equazione, dato da risulta La costante C si determina dalle condizioni iniziali. Per t=0 => i(0)=0. Si ha La soluzione generale dell’equazione generale è quindi ;

corrente unidirezionale L’andamento della i nel tempo (a partire dall’istante t = 0 in cui si chiude l’interruttore M) è indicato nel grafico seguente, in cui si è posto: Ip : valore massimo della corrente Ir : valore di cresta della corrente a regime; i i(t) corrente unidirezionale Ip Ir t La corrente a regime si determina per t=>

La corrente a regime è sfasata in ritardo rispetto alla tensione dell’angolo ed ha (com’è ovvio) un valore efficace ed un valore di cresta Se la resistenza R è trascurabile nei confronti della reattanza X=L (R<<X), si ha che /2 e quindi la corrente di corto a regime, sfasata di 90° in ritardo rispetto alla tensione, è data da: Il valore di picco della corrente, Ip, dipende dall’angolo di fase della tensione applicata, =t0 e quindi dall’istante t0 in cui ha inizio la circolazione di corrente.

Nel grafico seguente è riportato l’andamento della corrente per diversi valori dell’angolo j – b (b=arctan(-L/R) dipende dagli elementi circuitali e dalla pulsazione w che possiamo ritenere costante dal momento che il sistema funzione a 50 Hz) 1 2 Ip / Ir Ip Ir j - b = 90° j - b = 60° j - b = 30° j - b = 0° t icc(t) Nelle ordinate del grafico precedente è anche riportato il rapporto fra valore di picco Ip della corrente e valore di cresta della corrente di corto a regime Ir . Il più alto valore di tale rapporto si ha per j – b =90°, cioè per j = b+/2, dove si ha Ip/Ir = 2.

Equazioni Interne per la Dinamica di Motori in CC Eccitazione Separata Il modello non è lineare per la presenza di moltiplicazioni tra parametri dipendenti dal tempo, in particolare la f.e.m. indotta e la coppia generata. Se voglio un sistema lineare, devo tenere fermo qualche parametro e modificare altri opportunamente.

Strategie per il Controllo Se voglio un sistema lineare, devo tenere ferma la configurazione del sistema di eccitazione mentre variano le grandezze di armatura e viceversa. Con riferimento alle equazioni non lineari possiamo ottenere quattro configurazioni di controllo: 1) Eccitazione costante: si controlla la tensione di armatura; 2) Eccitazione costante: si controlla la corrente di armatura con tensione di armatura costante; 3) Variazione della sola tensione di eccitazione a tensione di armatura costante; 4) Variazione della corrente di eccitazione a tensione di armatura ed eccitazione costanti.

Esempio: Funzioni di Trasferimento Si vuole determinare la funzione di trasferimento per un motore ad eccitazione separata, in cui la variabile di ingresso è la tensione di armatura mentre quella di uscita è la velocità angolare. La coppia di carico è proporzionale alla velocità angolare, siamo in presenza di attriti (coeff. di attrito, F) e masse inerziali (momento di inerzia complessivo, J). L’eccitazione è mantenuta costante. Se il regime elettrico del circuito di eccitazione è mantenuto costante, il sistema di equazioni si particolarizza nel modo seguente:

La funzione di trasferimento si definisce come : W(s) deve contenere solo termini riferiti alla macchina, non deve contenere termini “elettrici”. Si devono ricavare equazioni contenenti solo pulsazioni e tensioni di armatura. Dalla equazione meccanica: Trasformando con Laplace Si considera anche il II° principio di Kirchoff applicato alla maglia di armatura

Trasformando con Laplace Per determinare la Funzione di Trasferimento, è necessario che si trovi una equazione con le sole variabili di ingresso e di uscita. Considerando di nuovo la eq. della meccanica e mettendo in evidenza la corrente Ia(s): La inserisco nella equazione elettrica della maglia di ingresso

KMKe>>Ra(K+F) Tenendo conto della definizione di F.d.T.: Si sviluppa per portarsi alla forma canonica: Ora, per evidenziare la struttura di questa F.d.T, si possono fare alcune ipotesi semplificative: F basso, come dovrebbe essere e K basso (caratteristica della coppia resistente con bassa pendenza). Ciò implica che RaJ>>La(K+F) KMKe>>Ra(K+F)

I poli si calcolano facilmente Caso A Se è verificata la condizione La<<Ra2J/KMKe e se ci si avvale della approssimazione valida per piccoli valori di X => (1-X)1/2 =1-X/2 i due poli del sistema possono essere espressi come: Polo elettromeccanico Polo elettrico Normalmente m>e

La F.d.T. può essere scritta come: E descritta con un diagramma di flusso Va(s) + Ia(s) Tm(s) (s) - Tr(s) E(s) Una diminuzione della velocità dovuta, ad esempio, all’aumento del carico, porta, a parità di Va, ad un aumento della Ia perché è diminuita la f.e.m. indotta Ke(t), ed ad un aumento della coppia motrice che riequilibra il carico.

Esempio: Funzioni di Trasferimento Si vuole determinare la funzione di trasferimento per un motore ad eccitazione separata, in cui la variabile di ingresso è la tensione di armatura mentre quella di uscita è la coppia motrice. La coppia di carico è proporzionale alla velocità angolare, siamo in presenza di attriti (coeff. di attrito, F) e masse inerziali (momento di inerzia complessivo, J). L’eccitazione è mantenuta costante. Dalle equazioni della dinamica consideriamo le: Trasformando con Laplace

Per la f.d.t. devo eliminare sia Ia(s) che (s).

Tenendo conto della definizione di F. d. T Tenendo conto della definizione di F.d.T. in forma canonica (rapporto di polinomi in s) Va(s) + Ia(s) Tm(s) (s) - Tr(s) E(s)

Regolazione della Tensione di Eccitazione Questo controllo è più facile da realizzare da punti di vista degli amplificatori di potenza. L’inconveniente sta nel mantenere costante la corrente di armatura. Applicando la trasformata di Laplace

La prima f.d.t. è caratterizzata da due poli reali di cui uno elettrico e l’altro meccanico. Per quanto riguarda la caratteristica meccanica (Tm=f(n, Ve)), si osserva che: Tm Ve Le caratteristiche coppia-velocità risultano parallele all’asse orizzontale.

Esempio: Equazioni di Stato Si vuole determinare le equazioni di stato per un motore ad eccitazione separata, controllato con la tensione di armatura, avente coppia di carico proporzionale alla velocità angolare, presenza di attriti (coeff. di attrito, F) e masse inerziali (momento di inerzia complessivo, J).

Il sistema è diventato lineare Il sistema è diventato lineare. Posso applicare le trasformate di Laplace alle equazioni che descrivono il modello di macchina considerato: Le equazioni di stato si determinano facilmente tenendo conto che le variabili soggette a derivazione, in condizioni quindi di descrivere lo stato della macchina, sono la ia(t) e la (t). La variabile di ingresso è rappresentata dalla tensione di armatura va(t) mentre quella di uscita è la velocità angolare.

Si mettono in evidenza le variabili di stato derivate Con Si rendono le equazioni in forma canonica E si passa dalle equazioni in forma normale alla forma matriciale.

Le equazioni di stato si ricavano facilmente dalla prima e dalla terza equazione del dominio s di Laplace (pag.precedente).

Trasformatori: Equazioni di Stato I coeff. M12 ed M21 sono definiti come induttanze di mutua induzione e tengono conto dei flussi generati da un circuito elettrico che si concatenano con un altro circuito elettrico mutuamente accoppiato. L’induttanza mutua è una quantità positiva se correnti positive nei due avvolgimenti producono flussi propri e mutui concordi, altrimenti è negativa. Nell’ipotesi di simmetria del circuito magnetico M12=M21=M Le fem indotte si calcolano di conseguenza.

In forma matriciale La relazione tra correnti e flussi concatenati può essere così riassunta, in forma sistemica ed in forma matriciale: Se si considera il II° Kirchoff applicato alle maglie di ingresso e di uscita, si ottiene:

Si applicano le trasformate di Laplace al sistema: Si consideri ora il vincolo esterno di carico ohmico/induttivo: Trasformando con Laplace: Ed inserendo la relazione di uscita nel sistema:

Con le posizioni. R2. =(R2-Rc). ed. L2 Con le posizioni R2*=(R2-Rc) ed L2*=(L2-Lc) si perviene alle equazioni di stato. Passando alla rappresentazione matriciale Ora, per semplicità, si ponga Zc=Rc => L2*=L2 Inoltre, si ipotizza che

Per ottenere una equazione di stato in forma canonica è necessario invertire la matrice dei coefficienti al primo membro Dove Quindi

Se moltiplico H-1 per le altre due matrici delle equazioni di stato: Ora è possibile riunire le sezioni per ottenere le equazioni di stato in forma canonica

Se moltiplico H-1 per le altre due matrici delle equazioni di stato per lo studio della dinamica di un trasformatore monofase: Le equazioni di stato per i trasformatori trifasi si ricavano come estensione del caso monofase.

Motori Sincroni: Equazioni di Stato Da un punto di vista modellistico siamo di fronte ad un avvolgimento trifase, fisso nello spazio, attraversato da un sistema di correnti equilibrate, collegate a stella, che danno origine ad un campo magnetico rotante nello spazio, i. i=2/3(i1+ai2+a2i3) con (i1+i2+i3)=0 Il rotore è sede di un campo statico che ruota solidale con esso. i2 i1 i3 i 2 m N m S 1 3 Si considera solo la fondamentale (si trascurano le armoniche di ordine superiore). Ne segue che i vettori i, m e  stanno in un piano e possono essere rappresentati da fasori spaziali. [] = L [ i ] + [ m] l’equazione elettrica è: i  Li m m  

i 123 i ab 3 2 [] = L [ i ] + [ m] La coppia Tm può anche essere rappresentata dal prodotto interno di due vettori a tre dimensioni: Trasformazione Trifase / Assi Fissi  I vettori a tre componenti vengono riportati nel piano tramite una trasformazione di riferimento b a 1 3 2  i Á Â i i 3 2 i 123 i ab trasf. 123 =>  [i] =[B][i]; [] =[B][]; [m] =[B][m]; [] = L [ i ] + [ m]

L’equazione elettrica si trasforma immediatamente da 123 =>  Ed anche la equazione di coppia si trasforma immediatamente da 123 =>  considerando il legame tra un fasore e la sua derivata: a J i m Entrambi i vettori sono funzione dell’angolo meccanico. Per renderla lineare serve rendere indipendente il flusso dall’angolo e quindi dal tempo.

b i ib q id d iq  ia a Trasformazione Assi Fissi / Assi Rotanti Si consideri un sistema di riferimento (d,q) che ruota rispetto al riferimento fisso con una velocità angolare d/dt, scelto in modo tale che per t=0 l’asse d coincide con l’asse . Per portarsi sugli assi rotanti (d, q) si possono individuare delle trasformazioni matriciali che operano direttamente sui vettori  a b q d ia ib iq id i L’operatore matriciale A() trasforma le coordinate dello stesso vettore da un sistema di riferimento (, ) fisso ad un altro (d, q) mobile con il rotore e viceversa.

[]dq = L [ i ]dq + [ m]dq q d iq m id A(J) i ab i dq trasf.  => dq [i]dq=[A()][i] ; []dq=[A()][[] ; [m]dq=[A()][[m] ; []dq = L [ i ]dq + [ m]dq Con la trasformazione assi fissi / assi rotanti ci portiamo su un riferimento fisso con il rotore. E’ necessario conoscere la posizione angolare del rotore stesso mediante misura o ricostruzione algoritmica. In queste condizioni, l’asse d è allineato con il vettore spaziale del flusso mozionale m e si perde la sua dipendenza dal tempo. solo la componente in quadratura contribuisce alla generazione della coppia. Con questa trasformazione l’espressione della coppia è linearizzata. q d iq m id A(J) angolo  i ab i dq

La trasformazione  => dq della equazione elettrica introduce un termine mozionale j(t) dq che tiene conto che il riferimento dq ruota con pulsazione (t). Riassumendo, le equazioni interne di macchina, con riferimento agli assi rotanti dq, è Il modello è valido per macchine in linearità e con rotore liscio (isotropo). Per ottenere una sua rappresentazione di stato (tensioni come variabili di ingresso e correnti come variabili di stato) è necessario fare delle ulteriori considerazioni per minimizzare l’influenza di dq.

Se si evidenziano le componenti d e q di dq : Avendo scelto di far coincidere l’asse d con la direzione nord del flusso di rotore abbiamo che md = m e mq = 0 Analogamente, per la equazione elettrica Tenendo conto che i vettori dq e jdq sono ortogonali tra loro, q d dq jdq  2

Sostituendo le espressioni di d e q nella equazione elettrica, ricordandoci che (dm / dt ) = 0, md = m , q=0 perché siamo sul riferimento fisso sul rotore Risolvendo rispetto alle derivate delle correnti, si ottiene l’espressione delle equazioni di stato.

Che risulta lineare ed autonoma se (t)costante, altrimenti è una equazione di stato non lineare a coefficienti variabili nel tempo. Se attraverso una retroazione di corrente si riesce ad imporre che id=0 ed i=iq allora l’equazione di asse q diventa analoga a quella del motore in cc.

v*123 v*ab v*dq i*dq 2 mod. P.I. At(J) 3 - i123 idq iab å ij = 0 A(J) Esempio di una possibile soluzione per la realizzazione delle condizioni poste per ottenere la equazione di stato vista. P.I. At(J) i*dq - v*dq idq mod. 2 3 å ij = 0 A(J) v*ab v*123 iab i123  v123 = [v] ; i123 = [ i ]

wm - 1 R + sL wL wm + vd vq iq id i*d=0 i*q E di un algoritmo per eliminare la interazione tra gli assi d e q. wm - 1 R + sL wL wm + vd vq iq id i*d=0 i*q Se così è, allora:

Riassumendo La macchina viene descritta da un sistema di equazioni non lineari. Per poterla controllare è necessario formulare delle ipotesi semplificative o delle ipotesi di lavoro che riducano la complessità del sistema. In base alle ipotesi formulate si realizzano diverse tipologie di azionamenti. In particolare, abbiamo visto come una particolare retroazione di corrente (id, iq) diventi un controllo di macchina. Sono necessarie delle trasformazioni di riferimento che richiedono la conoscenza della velocità o della posizione del rotore ed, almeno, otto moltiplicazioni. Altre soluzioni sono possibili e verranno descritte nella sezione azionamenti perché non riguardano il funzionamento proprio della macchina.

Motori Asincroni Equazioni su Riferimento e Legame correnti, flussi Equazione di statore Equazione di rotore Coppia motrice (Kr è il coefficiente di accoppiamento rotorico. Equazioni Esterne per la Dinamica Alimentazione con terna di tensioni concatenate che possono essere variate a piacere [v]=f(t). Carico rappresentato da una coppia resistente, Tr(t), che varia in funzione della applicazione Tm(t)=Tr(t)+Fm (t)+Jdm (t)/dt

Dalle Equazioni Interne alle Equazioni di Stato Sono state ricavate le equazioni interne di macchina in regime di tempo considerando le variabili nei riferimenti bifasi: Legame correnti=> flussi sul riferimento e Equazione di statore Equazione di rotore Equazione delle coppie

Si considerino i flussi di rotore e statore come variabili di stato Sia  il determinante della matrice delle induttanze =>

Le equazioni di stato si ricavano facilmente Analogamente al caso del sincrono, nella matrice di stato rimangono coefficienti legati alla velocità angolare. Si possono ricavare altre matrici di stato considerando, a coppie, correnti e flussi.

Tenendo conto che la coppia è comunemente espressa come: Si ricavano le equazioni di stato con is e r come variabili di stato. Partendo dalle equazioni interne in regime dinamico, si esprimono ir e  s in funzione di is e  r => ponendo Si sostituiscono ir e  s nelle equazioni elettriche

Nella seconda equazione elettrica

Devo rendere le equazioni omogenee per la trasformazione in equazioni di stato. Dalla seconda evidenzio la derivata del flusso e la sostituisco nella prima. Da cui si prosegue per le equazioni di stato

Dati di un motore ad induzione di cui si vuole studiare la dinamica ESEMPIO: Dati di un motore ad induzione di cui si vuole studiare la dinamica Vs=380;                 % Tensione concatenata di rete (valore efficace) f=50;                      %  Frequenza di rete P=2;                       % Numero di coppie polari Rs=0.183;               % Resistenza di statore in Ohm Rr=0.277*0.5;          % Resistenza di rotore in Ohm Lm=0.0538;             % Induttanza di magnetizzazione in H Ls=0.0553;              % Induttanza di statore in H (Ls = Lls + Lm) Lr=0.056;                % Induttanza di rotore in H (Lr  = Llr + Lm) B=0;                       % Coefficiente di attrito Jm=0.0165*10;        % Inerzia meccanica kg*m^2

Equazioni motore asse dq Equazioni elettriche: Vsd=Rs*Isd + d/dt(λsd) - ωe λsq Vsq=Rs*Isq + d/dt(λsq) + ωe λsd Vrd=Rr*Ird + d/dt(λrd) – (ωe- ωme) λrq Vrq=Rr*Irq + d/dt (λrq) + (ωe- ωme) λrd Equazioni di legame: λsd=Ls*Isd + Lm*Isd λsq=Ls*Isq + Lm*Irq λrd =Lr*Ird + Lm*Isd λrq =Lr*Irq + Lm*Isq ωe : pulsazione elettrica del sistema di riferimento d-q arbitrario ωme : pulsazione elettrica di rotore (ωme = P* ωm)

|V|=|R|*|I| + |L|*d|I|/dt + |J|*|I| Sostiuendo le equazioni di legame nelle equazioni elettriche si ottiene: |V|=|R|*|I| + |L|*d|I|/dt + |J|*|I| Con: Rs 0 0 0 0 Rs 0 0 0 0 Rr 0 0 0 0 Rr Vsd Vsq Vrd Vrq Isd Isq Ird Irq R = |V|= |I|= Ls 0 Lm 0 0 Ls 0 Lm Lm 0 Lr 0 0 Lm 0 Lr |L| =

|J| =|JL|* ωr + |JC|* ωc |JC| = |JL| = 0 -Ls 0 -Lm 0 0 0 0 Ls 0 0 0 0 -Lm 0 -Lr Lm 0 -Lr 0 0 0 0 0 0 Lm 0 Lr Lm 0 Lr 0 |JC| = |JL| = Con le notazioni appena poste si ricava l’eq. di stato: d|I|/dt = -|L|-1*( |R|+|JL|* ωr + |JC|*ωc )*|I| + |L|-1*|V| d|X|/dt= A * X + B * U dove la variabili di stato sono date dalle correnti statoriche e rotoriche di assi d e q. Questa equazione si risolve per via numerica; la condizione iniziale |I|(0-) si ricava sempre dalla stessa eq. ponendo d|I|/dt (0-)=0.

Equazioni meccaniche: Si dimostra che la coppia elettromeccanica vale Te = 3/2 * P * Lm *( Iqs*Idr – Ids * Iqr) dove P è il numero di coppie polari. L’equazione meccanica è data da: Te – Tc = Jm *dωm/dt + B* ωm Anche la parte meccanica può essere scritta sottoforma di equazione di stato: dωm/dt = - B/Jm *ωm + 1/Jm*(Te - Tc)

Transitori

Velocità del motore

Correnti di statore Modulo corrente statore istantaneo (Valore di picco) Correnti di fase

Coppia motrice