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L’origine delle analogie in fisica Enzo Tonti ...

15 : 3 = 60 : 12 cosa è una analogia ? questa è una proporzione 15 : 3 = 60 : 12 questa è una proporzione i numeri del membro di sinistra sono diversi da quelli di destra ma il rapporto di sinistra è uguale al rapporto di destra. Questo è il più semplice esempio di analogia. ...

“L’analogia è l’invarianza di una relazione o di un enunciato cosa è una analogia ? “L’analogia è l’invarianza di una relazione o di un enunciato per cambiamento degli elementi coinvolti.” Rosen J, Fundamental Manifestation of Symmetry in Physics Foundation of Physics Vol. 20, No. 3, 1990, p. 285. ...

il ruolo delle analogie Le analogie svolgono un ruolo fondamentale sia nella ricerca scientifica che nell’apprendimento in quanto permettono di trasferire senza difficoltà nozioni che ci sono familiari in un campo al campo che stiamo studiando. Le analogie sono come delle “strade” nella mente: una volta che siamo riusciti a mettere le nuove nozioni su queste strade il pensiero scorre velocemente ripercorrendo tratti che ci sono familiari. ...

analogie e formalismi Osservando le onde del mare, le vibrazioni di una corda, le vibrazioni dell’aria, quelle del campo elettromagnetico, vi scorgiamo un comportamento analogo. Questo ci porta a concepire un formalismo, quello della teoria delle onde descritto dall’equazione differenziale di d’Alembert che è di tipo “iperbolico”. I formalismi sono possibili perché c’è un comportamento analogo in fenomeni diversi. ...

analogie e formalismi Ricordiamo i seguenti formalismi: formalismo dei sistemi dinamici formalismo delle reti generalizzate formalismo della teoria matematica dei campi formalismo della termodinamica irreversibile formalismo della prima quantizzazione formalismo della seconda quantizzazione. ...

analogie in fisica In fisica le analogie tra due diversi campi si manifestano solitamente nel fatto che le equazioni che compaiono nei due campi siano uguali o, al più, simili nonostante che le variabili corrispondenti siano profondamente diverse sia nella loro natura matematica (scalari, vettori, tensori, ecc) sia nel loro contenuto fisico. ...

perché vi sono le analogie in fisica? Richard Feynman si pone la domanda: “ Why are the equations from different phenomena so similar? … Is it possible that … the thing which is common to all phenomena is the space, the framework into which the physics is put? ” Da questa domanda e da questa laconica risposta si evince che la ragione delle analogie in fisica non è affatto chiara, anche se è ragionevole che lo spazio svolga un ruolo essenziale. ...

perché vi sono analogie in fisica? il nostro punto di partenza. Le equazioni, in fisica, esprimono delle relazioni tra le GRANDEZZE FISICHE. Tutta la descrizione matematica della fisica è resa possibile dall’esistenza delle Non sarà allora che esaminando direttamente le GRANDEZZE FISICHE si possa scoprire la ragione delle analogie? Ecco il nostro punto di partenza: le ...

costanti e variabili Le grandezze fisiche si dividono in due grandi categorie: GRANDEZZE parametri di sistema, costanti universali, costanti materiali, coefficienti, moduli, fattori, ecc. COSTANTI e PARAMETRI potenziali, variabili statiche, variabili dinamiche, variabili energetiche, variabili cinematiche, variabili elettromagnetiche, ecc. VARIABILI Noi ci occuperemo delle variabili. ...

il processo di creazione delle variabili fisiche: i flussi I flussi, di qualunque grandezza fisica, quali: un flusso di energia, un flusso di massa, un flusso di entropia, un flusso di quantità di moto, un flusso elettrico, un flusso magnetico, un flusso di carica, un flusso di neutroni in un reattore nucleare, un flusso di probabilità in meccanica quantistica, ecc. sono sempre riferiti ad una superficie. ...

il processo di creazione delle variabili fisiche: i contenuti l contenuti, di qualunque variabile fisica, quali: il contenuto di energia, il contenuto di massa, il contenuto di entropia, il contenuto di quantità di moto, il contenuto di carica, il contenuto di probabilità in meccanica quantistica, il contenuto di neutroni in un reattore nucleare, ecc. sono sempre riferiti ad un volume. ...

il processo di creazione delle variabili fisiche: le circolazioni le circolazionie di un vettore lungo una linea, quali: la circolazione della forza, la circolazione della velocità nei fluidi, la “forza elettromotrice” la “forza magnetomotrice” l’allungamento di un segmento nella meccanica dei solidi deformabili ecc. sono sempre riferite ad una linea. ...

il processo di creazione delle variabili fisiche: i potenziali il potenziale elettrico, il potenziale gravitazionale, il potenziale della velocità nei fluidi, il potenziale scalare magnetico il potenziale termico ovvero la temperatura lo spostamento nella meccanica dei solidi deformabili ecc. sono sempre riferiti ad un punto. ...

quindi le variabili fisiche sono associate agli elementi spaziali Si vede allora che le variabili fisiche “globali” sono associate ai quattro elementi spaziali: punti P (potenziali) linee L (circolazioni) superfici S (flussi) volumi V (contenuti) ...

le variabili fisiche sono associate agli elementi spaziali A rimarcare questa associazione sta il fatto che noi formiamo le densità dividendo le variabili “globali” per l’estensione dell’elemento spaziale e, successivamente, passando al limite facendo tendere a zero l’estensione dell’elemento spaziale. Nascono così: la circolazione per unità di lunghezza, il flusso per unità di area, il contenuto per unità di volume. ...

la creazione delle densità … Domanda: Per quale motivo noi formiamo le densità puntuali di linea, di superficie, di volume ? Risposta: Per liberarci della geometria che è “attaccata” alle variabili “globali” ed ottenere in tal modo delle funzioni del punto. ...

…per la formulazione differenziale Domanda: Per quale motivo vogliamo le funzioni di punto ? Risposta: perché queste rendono possibile la formazione delle derivate totali o parziali e quindi l’uso delle equazioni differenziali. Conclusione: Ecco la ragione che ci spinge a formare le densità ! … rendere possibile la formulazione differenziale. ...

cosa abbiamo perduto? Senonché: nel momento stesso in cui ci siamo liberati della geometria per “soddisfare le brame” della formulazione differenziale, abbiamo nascosto l’informazione fondamentale e cioè che le variabili fisiche nascono associate agli elementi spaziali. Come vedremo, è proprio l’associazione agli elementi spaziali che rende possibile la spiegazione delle analogie in fisica ! ...

definiamo le variabili globali Def: chiameremo variabili GLOBALI tutte le variabili che non sono densità. ...

definiamo le variabili globali Def: chiameremo variabili GLOBALI tutte le variabili che non sono densità. Perché non usare il nome “variabili integrali” ? Per almeno tre ragioni. Prima ragione: alcune variabili, quali: la temperatura, il potenziale elettrico, il potenziale gravitazionale, il potenziale chimico, lo spostamento non sono variabili integrali mentre sono variabili globali. ...

definiamo le variabili globali …perché non usare il nome “variabili integrali” ? Seconda ragione: concepire il flusso come ottenuto mediante un integrale di superficie vuol dire partire dalle funzioni di punto e quindi dalla formulazione differenziale, cosa che vogliamo evitare. ...

definiamo le variabili globali …perché non usare il nome “variabili integrali” ? Terza ragione: in laboratorio noi misuriamo più facilmente le variabili globali che non le loro densità: è più facile misurare il flusso … … che misurare il vettore densità di flusso ...

le variabili globali sono funzioni di dominio Le variabili globali sono associate a volumi, a superfici, a linee e a punti. Questi sono dei domini tri-dimensionali, bi-dimensionali, uni-dimensionali, zero-dimensionali. Le variabili globali sono quindi funzioni di dominio. ...

orientazione degli elementi spaziali ...

Gli elementi spaziali si possono orientare Gli elementi spaziali si possono dotare di orientazione. Vi sono due tipi di orientazione di un elemento spaziale: orientazione interna orientazione esterna. ...

Gli elementi spaziali si possono orientare orientazione interna orientazione esterna ...

le variabili fisiche si possono dividere in tre classi: energetiche Variabili di configurazione Variabili di sorgente ...

le tre classi di variabili Variabili di configurazione sorgente Variabili energetiche vettore raggio angoli di Eulero velocità velocità angolare tensore di deformazione velocità di deformazione temperatura potenziale elettrico induzione magnetica dilatazione cubica velocità di dilatazione cubica ecc. forza momento quantità di moto momento angolare tensore degli sforzi pressione impulso massa carica elettrica spostamento elettrico densità di corrente ecc. lavoro energia potenziale energia cinetica entalpia energia libera funzione di Gibbs azione ecc. ...

… e qui c’è una piacevole sorpresa: si constata che le variabili di configurazione sono associate agli elementi spaziali dotati di orientazione interna mentre quelle di sorgente sono associate agli elementi spaziali dotati di orientazione esterna Si constata che le variabili di configurazione sono naturalmente associate agli elementi spaziali e temporali dotati di orientazione interna. Si constata che le variabili di sorgente sono naturalmente associate agli elementi spaziali e temporali dotati di orientazione esterna. ...

evidenziamo gli elementi spaziali Nella formulazione differenziale i punti sono protagonisti in quanto si utilizzano funzioni di punto. Per poter utilizzare la matematica occorre associare ai punti dei numeri, le coordinate. Nascono così i sistemi di coordinate. Usando le funzioni di dominio occorre descrivere gli elementi spaziali, non solo i punti. Lo strumento più naturale è costituito dai complessi di celle. ...

ora entrano in campo i complessi di celle ...

il complesso primale: orientazione interna Dividiamo la regione di piano o di spazio in cellette, ad esempio in triangoli, rettangoli, tetraedri, esaedri. Otteniamo un complesso di celle 2D 3D Dotiamo ogni elemento che compone il complesso di una orientazione interna. ...

il complesso duale: orientazione esterna Per ogni triangolo consideriamo il circocentro: congiungendo i circocentri di due triangoli adiacenti costruiamo un complesso duale: il complesso di Voronoi. 2D 3D Ne viene che ogni elemento del complesso duale è automaticamente dotato di orientazione esterna indotta da quella interna del corrispondente elemento primale. ...

classificazione degli elementi spaziali complesso primale orientazione interna complesso duale orientazione esterna P L S V punto linea superficie volume volume superficie linea punto ...

classificazione delle variabili fisiche: elettrostatica configuration variables primal cell complex inner orientation source variables dual cell complex outer orientation = electrical potential Q Q = electric charge P L S V V = voltage V Y = electric flux ...

classificazione delle variabili fisiche: conduzione termica configuration variables primal cell complex inner orientation source variables dual cell complex outer orientation T = temperature T P L S V S S = heat production P = temperature difference P Q = heat Q ...

Conduzione termica stazionaria Poisson Variabili di configurazione Complesso primale Variabili di sorgente Complesso duale Equazione fondamentale Sorgente termica temperatura Fourier gradiente temperatura Densità di flusso ...

Variabili di configurazione elettrostatica Poisson Variabili di configurazione Complesso primale Variabili di sorgente Complesso duale Equazione fondamentale potenziale elettrico densità di carica intensità campo elettrico Spostamento elettrico ...

classificazione delle variabili fisiche: elasticità configuration variables primal cell complex inner orientation source variables dual cell complex outer orientation = displacement P L S V = volume force = relative displacement = surface force ...

classificazione delle variabili fisiche: fluidi vicosi configuration variables primal cell complex inner orientation source variables dual cell complex outer orientation = velocity P L S V = volume force = relative velocity = surface force ...

conclusione: Le variabili fisiche globali sono naturalmente riferite agli elementi spaziali, Punti, Linee, Superfici, Volumi. Da questa associazione nasce il fatto che le relazioni tra le grandezze fisiche di due teorie siano le stesse. Questo spiega l’esistenza delle analogie in fisica. fine ...