DEFINIZIONI FONDAMENTALI Argomenti Concetti di interesse, montante, valore attuale e sconto.

MATEMATICA FINANZIARIA Cenni introduttivi MATEMATICA FINANZIARIA Matematica “ad hoc” per calcoli finanziari Necessaria quando un operatore si trova in una situazione in cui deve tener conto di: Fattore Tempo Il valore di una determinata somma disponibile immediatamente è diverso da quello di una somma identica nell’importo, ma disponibile in un periodo successivo. Fattore Incertezza Il futuro è, in misura minore o maggiore a seconda dei casi, indeterminato. Una determinata somma spettante ad un operatore in un momento futuro stabilito può essere corrisposta in parte o affatto, ovvero essere liquidata in un momento diverso da quello pattuito. Prendiamo in considerazione solo l’aspetto temporale, tralasciando l’aleatorietà dell’operazione finanziaria. Ci si riferisce esclusivamente a somme CERTE, ma disponibili in istanti diversi.

Operazione di investimento Un operatore rinuncia alla disponibilità immediata di un capitale C a patto di ricevere una somma M in un istante successivo t. M = Montante della somma C M-C=I Interesse Definendo: Si ottiene la prima relazione fondamentale Fattore di capitalizzazione Tasso di interesse

Sconto e valore attuale Un operatore rinuncia ad una parte del capitale (M) che gli è dovuto in futuro, ad un istante t, pur di entrare immediatamente in possesso di una somma C<M. Situazione speculare all’investimento SCONTO o ANTICIPAZIONE C = Valore attuale del capitale M M-C=D Sconto Definendo: Fattore di attualizzazione Si ottiene la seconda relazione fondamentale Tasso di sconto

Grandezze equivalenti Se un investimento permette di trasformare, in certo lasso temporale, un capitale C in un montante M (con M>C), questo significa che avere la disponibilità immediata del capitale C equivale ad avere M tra t anni. Si tratta di un’equivalenza convenzionale attinente al fatto che esiste un mezzo per generare una qualsiasi delle due somme partendo dall’altra. Ogni operatore può, per esigenze personali, non essere affatto indifferente nella scelta, preferendo indiscutibilmente una delle due soluzioni. Un’operazione finanziaria elementare determina una relazione di equivalenza tra due somme relative ad istanti differenti

Grandezze equivalenti Nel caso particolare t = 1 si avrà: Dove r, i, v, d sono simboli standardizzati.

Grandezze equivalenti Dalle relazioni precedenti ricordiamo: Inoltre essendo:

Esercizi ESERCIZIO 1 Un capitale di € 290 matura un interesse annuo del 2,5%. Calcolare montante prodotto dopo un anno e l’interesse prodotto. ESERCIZIO 2 Un montante pari ad € 300 si è maturato in un anno ad un interesse del 3,5% annuo. Calcolare il capitale che ha generato il montante.

Esercizi ESERCIZIO 3 Un capitale di € 290 genera in un anno un montante pari a € 305. Calcolare il tasso d’interesse (i) e il fattore di capitalizzazione (r).

Esercizi ESERCIZIO 4 Su un credito esigibile fra un anno pari a € 415, viene praticato uno sconto del 3,00% annuo. Calcolare il valore attuale del credito e l’ammontare dello sconto. ESERCIZIO 5 Il valore attuale di un credito esigibile fra un anno è pari a € 400, essendo praticato un tasso di sconto dell’1,80% calcolare il valore del credito.

Esercizi ESERCIZIO 6 Un credito esigibile tra un anno di € 415 ha un valore attuale pari a € 304. Calcolare il tasso di sconto (d) e il fattore di attualizzazione.

Esercizi ESERCIZIO 7 Dato un tasso di sconto annuo pari al 15,50%, calcolare: il tasso di interesse il fattore di capitalizzazione il fattore di attualizzazione

I PRINCIPALI REGIMI FINANZIARI Argomenti Regime finanziario dell’interesse semplice e dell’interesse composto

Regime finanziario dell’interesse semplice Regime nel quale l’interesse prodotto da un’operazione di investimento è direttamente proporzionale al capitale investito (C) e alla durata dell’operazione (t) Legge di formazione dell’interesse semplice Dove: i: tasso d’interesse periodale (riferito all’unità di misura scelta per il tempo) Interesse unitario per operazione di durata t

Regime finanziario dell’interesse semplice Legge di formazione del montante Ponendo C=1 si ottiene il montante unitario che rappresenta il fattore di capitalizzazione. Legge di capitalizzazione semplice

Regime finanziario dell’interesse semplice Nel grafico è rappresentato l’andamento nel tempo del Montante e dell’interesse nel regime dell’interesse semplice (linea continua: i=0,12 ; linea tratteggiata: i=0,18)

Osservazioni sul grafico Montante ed interesse hanno andamento lineare rispetto al tempo (t) Per t=0 l’interesse è nullo e il montante è pari al capitale inizialmente investito Le semirette derivanti dall’andamento nel tempo di interesse e montante sono parallele e in ogni istante t la loro differenza è pari al capitale investito Il coefficiente angolare delle semirette (iC) cresce al crescere di i e/o C

Relazioni di base Riassumiamo le relazioni fondamentali del regime dell’interesse semplice

Esercizi ESERCIZIO 1 Dato un capitale di € 3.000 impiegato per 3 anni nel regime dell’interesse semplice ad un tasso di interesse annuo del 13%. Calcolare l’interesse generato e il montante.

Esercizi ESERCIZIO 2 Un capitale di € 1.250 produce dopo un anno un interesse di € 87,375. Calcolare il tasso di interesse annuo. ESERCIZIO 3 Un capitale di € 800 produce dopo tre anni un montante di € 900. Calcolare il tasso di interesse annuo.

Esercizi ESERCIZIO 4 Dato un capitale iniziale di € 3.500 calcolare il tempo che è necessario per maturare un interesse di € 350 ad un tasso annuo del 7,5%. 1 Anno e 4 mesi

Esercizi ESERCIZIO 5 Dato un capitale iniziale di € 2.500 calcolare il tempo che è necessario per maturare un montante di € 3.000 ad un tasso annuo del 7,5%. 2 Anni e 8 mesi

Tasso di sconto e fattore di attualizzazione nel regime dell’interesse semplice Ricordiamo che: Sconto Valore Attuale

Sconto e Valore Attuale nel regime dell’interesse semplice Nel grafico è rappresentato l’andamento nel tempo del valore attuale e dello sconto nel regime dell’interesse semplice (linea continua: i=0,12 ; linea tratteggiata: i=0,18)

Esercizi ESERCIZIO 1 Calcolare il capitale da investire oggi ad un tasso annuo del 9,50% per ottenere tra 14 mesi un montante di 1.000

Esercizi ESERCIZIO 2 Un capitale disponibile tra sei mesi ammonta ad € 3.000. Calcolare il suo valore attuale considerando un tasso di interesse annuo del 14%.

Esercizi ESERCIZIO 3 Calcolare il valore attuale di un capitale disponibile tra nove mesi pari a € 1.750 sapendo che il tasso di sconto annuo (d) è del 9%.

Esercizi ESERCIZIO 4 Se ad un capitale disponibile tra 18 mesi, pari a € 7.000, è applicato un tasso di sconto annuo del 7% annuo qual è l’entità dello sconto? A quanto ammonta il valore attuale?

Esercizi ESERCIZIO 5 Viene stipulato un prestito per € 5.000 da restituire dopo 9 mesi con l’interesse annuo del 12%. Calcolare il valore attuale dopo 6 mesi della somma dovuta usando un tasso di interesse annuo del 10%.

Esercizi

Regime dell’interesse composto Ragionando in termini di capitale investito unitario l’interesse generato nell’unità di tempo sarà pari ad i, mentre il montante unitario sarà pari ad (1+i). MONTANTE UNITARIO = FATTORE DI CAPITALIZZAZIONE (r(t)) Il fattore di capitalizzazione dopo una unità di tempo sarà: Se l’investimento prosegue alle stesse condizioni per un altro periodo il fattore di capitalizzazione al termine di questa seconda unità temporale sarà: Al termine del terzo:

Regime dell’interesse composto Generalizzando, se l’investimento prosegue per un numero di periodi “t” il fattore di capitalizzazione sarà pari a: Partendo dal fattore di capitalizzazione (montante unitario) possiamo definire, tramite le relazioni tra le grandezze equivalenti (v. slide 7), l’interesse unitario generato da un’operazione di investimento di durata t. Dove: i: tasso d’interesse periodale (riferito all’unità di misura scelta per il tempo)

Montante e Interesse Avendo ottenuto il montante unitario e l’interesse unitario è semplice definire le leggi di formazione del montante e dell’interesse. Nel grafico è rappresentato l’andamento nel tempo del Montante e dell’interesse nel regime dell’interesse composto (linea continua: i=0,12 ; linea tratteggiata: i=0,18)

Sconto e Valore Attuale In base alle relazioni intercorrenti tra le grandezze equivalenti (v. slide 7) si possono ricavare: Fattore di attualizzazione (o valore attuale unitario) Sconto unitario Inoltre possiamo ottenere: Valore attuale Sconto

Sconto e Valore Attuale Nel grafico è rappresentato l’andamento nel tempo del valore attuale e dello sconto nel regime dell’interesse composto (linea continua: i=0,12 ; linea tratteggiata: i=0,18)

Il montante: confronto tra i due regimi Ricordiamo le leggi di formazione del montante nei due regimi finanziari esaminati Interesse semplice Interesse composto Focalizziamo l’attenzione sul valore di un montante generato dall’investimento di un capitale iniziale di € 100 per valori di t compresi tra 0 e 1

Il montante: confronto tra i due regimi Per durate inferiori all’anno gli interessi prodotti dall’investimento nel regime dell’interesse semplice sono maggiori di quelli prodotti nel regime dell’interesse composto. Per durate superiori all’anno gli interessi prodotti nel regime dell’interesse semplice sono minori di quelli prodotti nel regime dell’interesse composto Per durate pari ad 1 anno i due regimi finanziari producono lo stesso ammontare di interesse unitario (1+i)

Regime dell’interesse semplice Confronto RFIS e RFIC La redditività (ovvero la produzione di interessi) dell’investimento rimane commisurata al versamento di capitale iniziale Regime dell’interesse semplice Schematizziamo operazione di investimento nel regime dell’interesse semplice Investimento di € 100 per 4 anni ad un tasso del 5% annuo. Capitale fruttifero 100 100 100 100 100 Interessi 5 5 5 5 Tempo (in anni) 1 2 3 4 Il quarto anno l’operatore incasserà il capitale iniziale investito (€ 100) più gli interessi maturati in 4 anni (€ 20).

Confronto RFIS e RFIC Interesse composto. Regime nel quale gli interessi prodotti vengono automaticamente resi fruttiferi. L’interesse viene capitalizzato a mano a mano che si genera. Schematizziamo operazione di investimento nel regime dell’interesse composto Investimento di € 100 per 4 anni ad un tasso del 5% annuo. Capitale fruttifero 100 100 105 110,25 115,76 Interessi 5 5,25 5,51 5,79 Tempo (in anni) 1 2 3 4 Il quarto anno l’operatore incasserà il capitale iniziale investito (€ 100) più gli interessi maturati in 4 anni (€ 21,55).

Regime dell’interesse semplice INVESTIMENTO ATTUALIZZAZIONE

Regime dell’interesse composto INVESTIMENTO ATTUALIZZAZIONE

Esercizi ESERCIZIO 1 Dato un capitale iniziale di € 1.750 investito nel regime dell’interesse composto per tre anni al tasso di interesse annuo del 3,25%, determinare il montante finale dell’operazione e l’interesse generato.

Esercizi ESERCIZIO 2 Dato un tasso di interesse annuo del 4,75% e sapendo che tra un anno e quattro mesi sarà disponibile un capitale di € 3.550, calcolare nel regime dell’interesse composto il valore attuale del capitale suddetto e la corrispondente misura dello sconto.