La matematica, questo mondo così sorprendentemente intorno a noi, vicino a noi! Liceo Vittorini

Principi di equità distributiva

Principali teorie nella soluzione di problemi di ripartizione dei beni Principio di equità di Aristotele: beni ripartiti in proporzione alle richieste avanzate dai partecipanti alla divisione Utilitarismo classico: beni ripartiti in modo da massimizzare la somma dei benefici totali degli aventi diritto Teoria di John Rawls: beni ripartiti in modo che colui che è in posizione più sfavorevole o gode di minori diritti sia avvantaggiato il più possibile

Introduzione principi generali della contested Garment rule La contested Garment rule è applicabile nella ripartizione di beni o risorse che riguardi esclusivamente due soggetti e riesce a rispettare principi auspicati nelle tre teorie viste in precedenza. In un secondo momento tratteremo di ripartizione di beni che coinvolga più soggetti. A tele scopo utilizzeremo due estensioni della c.g.r: lo Shapey-value e la regola del Talmud.

Contested Garment Rule Andremo ad osservare tre casi differenti di ripartizione di un patrimonio nei quali vi è lapplicazione della contested Garment rule: Patrimonio disponibile è minore delle richiesta più piccola dei partecipanti Patrimonio disponibile compreso tra le due richieste dei partecipanti Patrimonio disponibile è maggiore della richiesta più grande dei partecipanti

1° caso Siano c1= 200 e c2= 300 le richieste e sia il A0=100 il patrimonio totale da ripartire La quota uncontested del primo soggetto è m1 = (A0 - c2)+ = max ( )= 0 La quota uncontested del secondo soggetto è m2 = (A0 - c1)+ = max ( )=0 La soluzione garment contested è A1 = m1 + s/2 A2 = m2 + s/2 dove s = A0 - m1 - m2. Ad entrambe le parti verrà attribuita una quota pari a A0/2 = 50 Osserviamo che la Contested Garment Rule (C.G.R.) attribuisce ai partecipanti la metà del patrimonio

2° caso Siano c1 = 200 e c2 = 300 le richieste e A0 = 400 il patrimonio totale da ripartire m1 = ( )+ = 100 m2 = ( )+ = 200 con s = 400 – 100 – 200 = 100. Pertanto al primo soggetto andranno A1 = = 150 ed al secondo andranno A2 = = 250. Osserviamo che secondo la C.G.R la perdita di 100 verrà equamente ripartita tra i due.

3° caso Siano c1 = 200 e c2 = 300 le richieste e A0 = 280 il patrimonio totale da ripartire m1 = ( )+ = 0 m2 = ( )+ = 80. Ne deriva poi s = 280 – 80 – 0 = 200 Al primo soggetto spetterà A1 = 100 ed al secondo A2 = 180. Osserviamo che la C.G.R attribuisce al minor richiedente esattamente la metà della sua richiesta

Ripartizione di beni fra più di due soggetti Regola del Talmud Shapey-value

Shapey-value Consideriamo un ordinamento di giocatori; sia il caso di tre soggetti A, B, C con richieste rispettivamente pari a 100, 200, 300. Rispetto a questo, paghiamo ogni soggetto fino a che il patrimonio, in questo caso pari a 400, non venga esaurito. Al variare degli ordinamenti i giocatori ricevono diversi pagamenti Lo shapey-value non è altro che il pagamento medio effettuato secondo ogni possibile ordine dei giocatori

Talmud Talmud Il Talmud (che significa insegnamento) è uno dei testi sacri dellEbraismo, riconosciuto solo da questultimo. Consta di 60 trattati, che riguardano discussioni fra sapienti e maestri circa significati e applicazioni di passi della Torah. Il Talmud, inoltre,viene considerato come la Torah orale, rivelata sul Sinai a Mosè e trasmessa a voce, di generazione in generazione, fino alla conquista romana. Questultimo fu fissato per iscritto solo quando, gli ebrei temettero che le basi religiose di Israele potessero sparire.

Regola del Talmud Consideriamo il problema di come suddividere il patrimonio di un uomo che muore e lascia uneredità da dividere tra le sue tre precedenti mogli, nel caso in cui esse abbiano diritto rispettivamente a 100, 200, 300

Entità patrimonio: 100 Entità patrimonio: 200 Entità patrimonio: ,

Conduzione di due esperimenti Fisica: Processo di Riscaldamento Chimica: Processo di Conversione del Glucosioα in Glucosioβ Stesso modello matematico

Dati dell Esperimento di fisica

Grafico temperatura-tempo per la misura della risposta del termometro τ=1/m1,95 Δτ=Δm/m 2 0,14 τ = secondi

Questa curva in fisica è caratteristica di tutti i processi di raggiungimento di equilibrio. ELABORAZIONE DEI DATI: Rappresentando il grafico della temperatura in funzione del tempo, si ottiene una curva riconducibile a unesponenziale.

Dati dellesperimento di chimica

m, q ε m,ε q r2, Δy F, gradi di libertà costante di tempo in minuti 15,60 minuti

Grafico esperimento di chimica

Matematica per relazionare dati, Ricavare informazioni… È rapido con excel!

Rapidità di evoluzione dei fenomeni studiati Funzione esponenziale

Grafico esperimento di chimica

CRESCITA DI UNA POPOLAZIONE … LA FUNZIONE ESPONENZIALE…

… MA ATTENZIONE AI LIMITI DI VALIDITA DI UN MODELLO

Teoria dei Giochi Oggetto: studio matematico di qualunque situazione che comporti un conflitto di interessi. Scopo: indicare le scelte ottimali o le decisioni che possano portare allesito desiderato.

Equilibrio di NASH Scopo del gioco è trovare l'eventuale sussistenza di una situazione di equilibrio del gioco (detto di Nash) che sia non migliorabile da azioni individuali, ma solo da azioni collettive, frutto della collaborazione fra i giocatori. Scelta più utile razionalmente ma non in assoluto.

Giochi simmetrici-qualitativi Dilemma del prigioniero Corsa del coniglio o guerra fredda Caccia al cervo Politica ONU

Dilemma del Prigioniero Preferenze del giocatore 1: NC>CC>NN>CN Scelte auspicabili per il giocatore 1: conviene sempre non collaborare CollaboraNon Collabora Collabora Non Collabora3 – ° Giocatore 2° Giocatore

Corsa del coniglio (o guerra fredda) Preferenze del giocatore 1: NC>CC>CN>NN Scelte auspicabili per il giocatore 1: non esiste una scelta razionale, ma la meno rischiosa è quella di collaborare. CollaboraNon Collabora Collabora Non Collabora3 – ° Giocatore 2° Giocatore

Caccia al cervo Preferenze del giocatore 1: CC>NC>NN>CN Scelte auspicabili per il giocatore 1: conviene seguire la scelta del giocatore 2. La decisione, pertanto, è dettata dalla fiducia posta nella collaborazione dell'altro giocatore CollaboraNon Collabora Collabora Non Collabora2 – ° Giocatore 2° Giocatore

Politica ONU Preferenze del giocatore 1: CC>NC>CN>NN Scelte auspicabili per il giocatore 1: conviene sempre collaborare CollaboraNon Collabora Collabora Non Collabora2 – ° Giocatore 2° Giocatore

Modellizzare eventi quotidiani Modellizzare eventi quotidiani Falchi VS Colombe Le percentuali nella tabella esprimono esclusivamente le percentuali di sopravvivenza di ciascun membro della società incontrandone un altro. FalchiColombe Falchi50% / 50%100% / 80% Colombe80% / 100%100%/100% 1° Giocatore 2° Giocatore

La matematica con i suoi metodi e i suoi strumenti ci aiuta ad interpretare i fenomeni intorno a noi e SORPRENDENTEMENTE a prendere decisioni.