e modelli matematici in 3D E-Learning e modelli matematici in 3D Nicla Palladino Tutto ebbe inizio da ...

I modelli matematici Tra la seconda metà del XIX secolo e i primi decenni del ‘900 la costruzione di modelli matematici ebbe grande rilievo. I modelli realizzati permettevano di vedere proprietà notevoli e mostrare i risultati di diversi settori della Matematica, Fisica ed Ingegneria. Con un modello matematico si rendono auto-evidenti proprietà che altrimenti sarebbero chiare –forse- solo a menti esercitate Oggi le antiche collezioni di modelli possono ancora suscitare interesse, perchè forniscono concretezza ad un risultato e sono accessibili all’esperimento.

E-Learning e modelli matematici in 3D Come riutilizzare quei vecchi modelli dell’Ottocento …? Molte di queste collezioni –come accaduto per tutti i materiali didattici - sono state trasformate in repository di Modelli 3D. Come renderle facilmente reperibile ? Come riusarle nel contesto dell’E-Learning ? The summation of human experience is being expanded at a prodigious rate, but the means we use for threading through the consequent maze to the momentarily important item is the same as was used in the days of square-rigged ships. Vannevar Bush , “As we may think”, 1945 E-Learning e modelli matematici in 3D

E-Learning e modelli matematici in 3D Perché L’E-Learning L’E-Learning si sta affermando … … è vietato opporsi … …. Ma qualcuno potrebbe chiedersi perché. Proviamo a dare una risposta….. E-Learning e modelli matematici in 3D

E-Learning e modelli matematici in 3D Perché L’E-Learning -Ipercomplessità tecnologica -reti di computer -il virtuale come spazio antropologico esser “ci” diventa inessenziale de-territorializzazione -le conoscenze aumentano in modo esponenziale -incompletezza delle didattiche tradizionali -"il sistema non è tutto“ - decostruzione dei saperi - l'apprendimento come costruzione enattiva E-LEARNING E-Learning e modelli matematici in 3D

E-Learning e modelli matematici in 3D Obiettivo: Da questi concetti (decostruzione e apprendimento inattivo) nasce l’idea dello sviluppo di tool per contestualizzare le antiche collezioni di modelli matematici nelle didattiche dell’E-Learning, in cui la conoscenza su uno specifico campo del sapere (la geometria delle quadriche) viene impartita secondo le specifiche dell’E-Learning. E-Learning e modelli matematici in 3D

E-Learning e modelli matematici in 3D Capitolo Primo: L'E-Learning I Learning Object Un Learning Object per la classificazione delle quadriche La rappresentazione di oggetti 3D nel Web Semantico Capitolo Secondo: Algoritmi di approssimazione 3D-Resource brokering con algoritmi basati su Nurbs NURBS-Approximation nel senso dei minimi quadrati Capitolo Terzo: Le collezioni virtuali di modelli matematici Estensione di un LMS con un’applet 3D E-Learning e modelli matematici in 3D

E-Learning e modelli matematici in 3D Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web Ontologia Instructor Entropia Studente Mediatore didattico Learning Management System E-Learning e modelli matematici in 3D

E-Learning e modelli matematici in 3D Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web Ontologia : Dominio di conoscenza. Instructor : Esperto nel dominio di conoscenza. Scrive l’Ontologia. Mediatore Didattico –Facilitatore- Tutor: Filtra la conoscenza che permea l’ambiente esterno, popola l’ontologia con le risorse didattiche. Learning Management System: Piattaforma per la didattica a distanza. Implementa l’ontologia preparata dall’instructor e fornisce al tutor gli strumenti per preparare i corsi on line e per seguire gli studenti. E-Learning e modelli matematici in 3D

E-Learning e modelli matematici in 3D Learning Object L‘E-Learning è alla ricerca di uno standard comune che consenta l’accessibilità, l'interoperabilità e la condivisione delle risorse. Disporre di uno standard comune significa poter trasferire i contenuti da un'architettura all'altra, poterli integrare tra loro, saperli scegliere in base a caratteristiche e classificazioni univoche, poterli certificare. Lo standard SCORM (Sharable Content Object Reference Model) prevede la realizzazione di risorse didattiche modulari, che si possano riusare senza la necessità di modificarne i componenti. Per la costruzione di Learning Object complessi, è necessario che il materiale didattico sia “riusabile”. E-Learning e modelli matematici in 3D

E-Learning e modelli matematici in 3D Learning Object I Learning Object si propongono di dare una risposta al problema della riusabilità dei materiali didattici. Esiste un nuovo modo per fare didattica caratterizzato dai Learning Object; I Learning Object sono gli strumenti che popolano gli ambienti di apprendimento; I Learning Object sono rappresentati con metadata; Esistono diversi standard per rappresentare i metadata. E-Learning e modelli matematici in 3D

E-Learning e modelli matematici in 3D Learning Object Definizione: Un Learning Object è un’entità -digitale o non digitale- che può essere usata, ri-usata o referenziata durante l’apprendimento supportato dalla tecnologia. D.A.Wiley, “The Instructional Use of Learning Objects’’, pp. 10-11, AIT Editions, 2002. E-Learning e modelli matematici in 3D

E-Learning e modelli matematici in 3D Learning Object Definizioni: Asset: file Learning Object: la più piccola unità di apprendimento indivisibile rispetto alla sua valenza didattica. A. Vanni -F. Formato, Una nuova definizione di Learning Objects. Atti del Convegno “Sviluppo cognitivo e qualità della formazione’’, Ravello, Ottobre 2003. I componenti di un Learning Object possono essere di due tipi 1) asset 2) altri Learning Object più semplici E-Learning e modelli matematici in 3D

Learning Object Strutture “molecolari” dotate di diversi gradi di “granularità” E-Learning e modelli matematici in 3D

L’E-Learning in the large Modelli di E-Learning Content Provider Learning Service Community L’E-Learning in the large E-Learning e modelli matematici in 3D

I fornitori di contenuto (Content provider) Modelli di E-Learning L’E-Learning coinvolge tre tipologie di attori: I fornitori di contenuto (Content provider) Possono essere le università o le aziende che fanno formazione. C’è la tendenza ad organizzarsi in comunità virtuali distribuite. Esempi: MIT OCW http://ocw.mit.edu Repository di learning object prodotti al MIT MURL -Multi University virtual Research Laboratory http://murl.microsoft.com/ Repository multimediale di seminari e corsi on-line The Geometry Center E-Learning e modelli matematici in 3D

I fornitori di servizi di e-learning (Learning Service Provider) Modelli di E-Learning I fornitori di servizi di e-learning (Learning Service Provider) I learning service provider possono essere le stesse Università, oppure le società specializzate in LSP. Distribuiscono servizi per l’E-Learning agli utenti finali Esempi: Global Virtual University -Stanford, Oxford, Cambridge http://www.gvu.unu.edu/ distributed virtual university GRID –Arendal http://www.grida.no/ servizi di e-learning per la climatologia globale Sfera www.sfera.it servizi di E-Learning just in time per i contractor di Wind E-Learning e modelli matematici in 3D

Comunità di apprendimento Modelli di E-Learning Comunità di apprendimento Sono l’estensione del core business delle università tradizionali new universities = old universities + learning community Esempi: OCW : estende il MIT ai paesi dell’america latina BathMath: comunità di docenti di matematica di UniNa Comunità di pratica (Community of Practice) sostituiscono la formazione professionale E-Learning e modelli matematici in 3D

Filtri di informazione (information filter) e Modelli di E-Learning E’ opportuno dotare il sistema di un dispositivo di filtraggio, che permetta agli studenti di accedere solo a Learning Object “buoni”. Questi filtri sono chiamati Web Reccommender, e si dividono in due categorie: Filtri di informazione (information filter) e Filtri collaborativi (collaborative filter) E-Learning e modelli matematici in 3D

I filtri informativi I filtri collaborativi Content Provider Learning Service Community Collaborative Filter Content Provider Learning Service Community Information Filter I filtri collaborativi selezionano i LO in base ai loro contenuti e alle caratteristiche comuni di un gruppo di utente. I filtri informativi selezionano i LO in base ai loro contenuti. E-Learning e modelli matematici in 3D

Il giardino di Archimede I filtri collaborativi MIT OCW TopologyAtlas Polito Mathworld MURL Il giardino di Archimede BatMat Pisa Medialab CS Princeton Harvard CSCI CAVE Stanford S A’ B’ Chaos on the web Yale FractGeo A e B sono entrambi interessati all’argomento T. Supponiamo che A e B abbiano esplorato inizialmente lo stesso insieme di risorse S, con la differenza che A ha visto i Learning Object SA’ e B ha visto i Learning Object SB’, con A’ e B’ Learning Object inizialmente non condivisi. Si comparano le pagine A’, B’ e S. Se sono simili, allora A = S  B’ B = S  A’ E-Learning e modelli matematici in 3D

E-Learning e modelli matematici in 3D Problemi principali per il riutilizzo dei LO: Il recupero efficiente dei LO è simile al problema della ricerca di documenti attraverso motori di ricerca. Ricerca dell’informazione: i sistemi di ricerca attuali sono basati su parole chiave (conseguenze: silenzio, rumore); Estrazione dell’informazione: ad oggi, l’estrazione di informazioni rilevanti è dominio quasi esclusivo degli esseri umani, mediante la navigazione “manuale” e la lettura dei documenti; Manutenzione dell’informazione: aggiornare documenti è un’attività difficile che richiede un notevole investimento in tempo e risorse umane, soprattutto quando tali sorgenti diventano grandi. E-Learning e modelli matematici in 3D

Soluzione: il Web Semantico Nel World Wide Web l’informazione è machine-representable: i dati contenuti sul Web si rappresentano con Metadati. Il Web Semantico si propone come una soluzione al problema del sovraccarico cognitivo del World Wide Web. Attualmente l'informazione disponibile sul Web risulta difficilmente reperibile perché i metadati sono una pura e semplice combinazione di stringhe, indipendente dal contesto. T. Berners Lee, Semantic Web Roadmap, September 1998 Nel Web Semantico l’informazione diventa machine-processable. E-Learning e modelli matematici in 3D

L’RDF è codificato in XML. Il Web Semantico: l’RDF La novità fondamentale introdotta dal Web Semantico è l’RDF (Resource Description Framework). E’ un modello di rappresentazione della conoscenza che estende i Metadati; può essere utilizzato in diverse aree di applicazione: nella ricerca delle risorse, nella catalogazione, per la condivisione e lo scambio di conoscenza, nella valutazione di contenuto,… L’RDF è codificato in XML. E-Learning e modelli matematici in 3D

E-Learning e modelli matematici in 3D Esempio di RDF per la rappresentazione delle superfici quadriche 3x2+4y2+2xy+9z2-1=0 det=-99<0 Quadrica Piano Tangente det(Quadrica) Intersezione C det=0 det0 C reale non degenre C immaginaria Cono Reale Immaginario Cilindro Iperbolico Parabolico Ellittico C degenre Ellissoide det>0 Paraboloide Ellittico Iperbolico det<0 Iperboloide Ellittico Iperbolico C 2 rette reali C 2 rette immaginarie C 1 retta Iperboloide ellittico E-Learning e modelli matematici in 3D

E-Learning e modelli matematici in 3D <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <rdf : xmlns:rdf =“http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#” xmlns :xsd =“http://www.w3.org/2001/XMLSchema#” xmlns : quadriche = “http://www.dma.unina.it/quadriche-ns” > <rdf: Description> <quadrica: determinante> <quadrica: R_neg value= “-99” > </quadrica:determinante> <quadrica:equazione> 3*x^2+4*y^2+2*x*y+9*z^2-1=0 </quadrica:equazione> <quadrica: intersezione_piano_improprio> <quadrica: Conica_reale_non_degenere> <quadrica: discriminante> <quadrica: R+ value = “99”/> </quadrica: discriminante> </quadrica: Conica_reale_non_degenere </quadrica: intersezione_piano_improprio> </rdf: Description> E-Learning e modelli matematici in 3D

E-Learning e modelli matematici in 3D Un Learning Object Nell’E-Learning svanisce la figura del docente che trasmette le conoscenze e l’apprendimento si può vedere come costruzione interpretata da parte dello studente. Per illustrare il concetto di apprendimento come filtraggio dell'informazione fornita dall'ambiente, si è messo a punto un Learning Object in cui lo studente deve classificare una superficie quadrica secondo un metodo che non si basa sulla tradizionale classificazione delle quadriche, ma è un processo enattivo, in cui l'utente deve classificare la quadrica usando un robot che sonda informazioni di tipo locale: tipo di punti, molteplicità, limitatezza … E-Learning e modelli matematici in 3D

E-Learning e modelli matematici in 3D NURBS-Approximation nel senso dei minimi quadrati Grazie alla loro particolare flessibilità ed all’accuratezza che offrono nel processo di approssimazione, le superfici NURBS possono essere usate in molti settori, dalla grafica 3D al disegno industriale. Una superficie NURBS ha equazione parametrica u,v  [0,1] dove le Ni,h e Nj,k sono le funzioni di base B–Spline definite da: con sui vettori dei nodi U=(u0,…,up) e V=(v0,…,vq); i pij sono i punti di controllo, e i wij sono i pesi. Valgono le relazioni p=m+h+1 e q=n+k+1 È controllata dai gradi (h e k), dai punti di controllo (pij)e dai pesi (wij). E-Learning e modelli matematici in 3D

E-Learning e modelli matematici in 3D NURBS-Approximation nel senso dei minimi quadrati Il problema dell'approssimazione mediante superfici NURBS può essere formulato come segue: Assegnati mn punti Qij=(aij, bij, cij) R3, e mn pesi rij R, con i=0,…,m-1 e j=0,…,n-1, bisogna determinare una superficie NURBS di gradi h e k, con punti di controllo opportuni pij=(xij, yij, zij) R3, pesi associati wij R, ed opportuni vettori dei nodi U=(u0,…,up) e V=(v0,…,vq), tale che risulti minima la distanza tra i punti assegnati Qij e la superficie NURBS S(u,v) determinata: per opportuni valori si e tj dei parametri. E-Learning e modelli matematici in 3D

E-Learning e modelli matematici in 3D L’algoritmo Per risolvere il problema, si è applicata la tecnica di approssimazione mediante curve B-Spline. Si definisce curva B-Spline di grado h una funzione la cui rappresentazione parametrica in R2 è con u[0,1] parametro della rappresentazione parametrica; pi=(xi, yi)R2, i=0,…,n sono i punti di controllo; Ni,h(u) sono le funzioni di base B-Spline sul vettore dei nodi U=(u0,…,um). Vale poi m=n+h+1. E-Learning e modelli matematici in 3D

E-Learning e modelli matematici in 3D L’algoritmo Passo 1: Considerata la matrice di dimensioni mn costituita dai punti Qij da approssimare, si applica l'algoritmo di approssimazione mediante curve B-Spline alle colonne di punti Qi,j ottenute fissando l'indice j. Facendo variare j tra 0 ed n-1, si effettuano in tutto n approssimazioni mediante curve B-Spline di grado h. I risultati ottenuti formano colonne di punti intermedi Pi,j. Passo 2: Si applica l'algoritmo di approssimazione mediante curve B-Spline alle righe di punti Pi,j ottenute fissando l'indice i; facendo variare i tra 0 ed m-1, si effettuano in tutto m approssimazioni mediante curve B-Spline di grado k. I risultati ottenuti formano le righe dei punti di controllo cercati pi,j. E-Learning e modelli matematici in 3D

E-Learning e modelli matematici in 3D L’algoritmo Dato un insieme di n punti Qi=(ai,bi)R2 i= 0,…,n, ed assegnato un grado h, si cercano n punti di controllo pi=(xi,yi)R2, tali che sia minima la distanza euclidea tra i punti assegnati Qi e la curva B-Spline definita dai punti di controllo calcolati e da un opportuno vettore dei nodi U=(u0,…,un+h+1) per opportuni valori tj del parametro. Ad ogni approssimazione, l’algoritmo si riconduce alla risoluzione del sistema lineare NTNP=NTQ dove E-Learning e modelli matematici in 3D

E-Learning e modelli matematici in 3D L’algoritmo Passo 1. Si costruisce un'opportuna parametrizzazione (t0,t1,…,tn) Passo 2. Si costruisce il vettore dei nodi U=(u0,u1,…,un+h) Passo 3. Si costruisce la matrice dei coefficienti N=(Nj,h(ti)) i,j=0,…,n-1 Passo 4. Si calcola il prodotto NTN Passo 5. Si applica l'algoritmo di Cholesky alla matrice NTN ottenendo una matrice triangolare inferiore L tale che NTN=LLT. Passo 6. Si calcolano i prodotti NTa ed NTb Passo 7. Si risolvono i sistemi finali LLTx=NTa e LLTy=NTb mediante forward e back substitution. E-Learning e modelli matematici in 3D

E-Learning e modelli matematici in 3D Risultati dell’algoritmo File di input Gradi della NURBS 3 3 Dimensioni della griglia 5 5 Punti da approssimare (-2,-2,8) (-2,-1,5) (-2,0,4) (-2,1,5) (-2,2,8) (-1,-2,5) (-1,-1,2) (-1,0,1) (-1,1,2) (-1,2,5) (0,-2,4) (0,-1,1) (0,0,0) (0,1,1) (0,2,4) (1,-2,5) (1,-1,2) (1,0,1) (1,1,2) (1,2,5) (2,-2,8) (2,-1,5) (2,0,4) (2,1,5) (2,2,8) Pesi Tutti uguali ad 1 E-Learning e modelli matematici in 3D

E-Learning e modelli matematici in 3D Risultati dell’algoritmo E-Learning e modelli matematici in 3D

E-Learning e modelli matematici in 3D Risultati dell’algoritmo E-Learning e modelli matematici in 3D

E-Learning e modelli matematici in 3D Il Learning Object per la classificazione delle quadriche E-Learning e modelli matematici in 3D

E-Learning e modelli matematici in 3D Resource Discovery Un Learning Object composto da un insieme di asset; Ad esempio questo Learning Object 3D, in cui il robot deve riconoscere una superficie disturbato da due mostri. La superficie S, i due robot e i mostri si possono modellare come asset di LO; Problema: Si può cambiare il LO riusando una superficie in rete? E-Learning e modelli matematici in 3D

Resource Discovery Soluzione: 1) Si definisce un linguaggio di query basato sul web semantico –RDF di un sampling set; 2) Si determina uno shape descriptor della query basato sul sampling set: nel nostro caso lo shape descriptor di un sampling set è la NURBS generata con l’algoritmo di approssimazione. Si definisce un grado di similarity tra lo shape descriptor del sampling set S e lo shape descriptor S’ della risorsa sul web. Per esempio (Kazdhan 2004) R(S,S’) = Raster(RS)  EDTS(S’) + Raster(RS’) EDTS(S) E-Learning e modelli matematici in 3D

Resource discovery e web semantico Resource broker Learning Object RDF Shape descriptor LO Shape descriptor RDF RDF 3D repository LO LO RDF RDF RDF LO LO LO E-Learning e modelli matematici in 3D