PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE Logica Matematica

PRINCIPI DELLA LOGICA ARISTOTELICA 3) A v ¬A

INDIMOSTRABILI DI CRISIPPO Se p, allora q. Ma p dunque q. ( es. Se é giorno, c'é luce. Ma é giorno, dunque c'é luce) Se p, allora q. Ma non q, dunque non p ( es . Se é giorno, c'é luce. Ma non c'é luce, dunque non é giorno ) Non possono essere p e q insieme. Ma p, dunque non q ( es . Non può essere insieme giorno e notte. Ma é giorno, dunque non é notte ) O p o q. Ma p, dunque non q ( es . O é giorno o é notte. Ma é giorno, dunque non é notte) O p o q. Ma non q, dunque p ( es . O é giorno o é notte. Ma non é notte, dunque é giorno)

PROPOSIZIONI E CONNETTIVI Una proposizione atomica è un’espressione di senso compiuto formata da un soggetto, un predicato ed eventuali complementi per la quale abbia senso chiedersi se è vera o falsa. Le proposizioni composte si ottengono da quelle atomiche tramite i connettivi: 1) v : vel (disgiunzione inclusiva) 2) : aut (disgiunzione esclusiva) 3) → : se… allora… (implicazione logica) 4) <↔> : se e solo se (coimplicazione logica) 5) ∧ : et (congiunzione logica)

TAVOLA DELLE VERITÀ P Q P ∧Q P∨ Q P Q P→Q P<↔>Q F V

VERIFICA CON ESEMPIO Stasera vado al cinema o in pizzeria Non vado al cinema -------------------------------- (corretto) Vado in Pizzeria Un esempio di ragionamento scorretto (detto anche paralogismo) è invece il seguente: Se la benzina finisce allora la macchina si ferma La benzina non finisce ---------------------------------(non corretto) Allora la macchina non si ferma

PROBLEMINO LOGICO Antonio afferma che Barbara mente Barbara afferma che Carlo mente Carlo afferma che Antonio e Barbara mentono E’ facile accorgersi che Antonio non può dire il vero, altrimenti Barbara direbbe il falso, da cui Carlo direbbe il vero: “Antonio e Barbara mentono”. Quindi avremmo che “Antonio mente e non mente” , contraddizione. Quindi Antonio mente, Barbara dice il vero e Carlo mente.

QUANTIFICATORI In logica ci sono i quantificatori universale e esistenziale che corrispondono rispettivamente alle espressioni “ogni cosa” e “qualcosa” In simboli : :per ogni :esiste almeno un

CANTOR Cantor Dato un insieme X, l'insieme delle parti di X (cioè l'insieme formato da tutti i possibili sottoinsiemi di X) ha sempre cardinalità maggiore di quella di X.

DIMOSTRAZIONE TEOREMA DI CANTOR (DIAGONALE DI CANTOR) Sia A = N e P(A) l’insieme dei sottoinsiemi di N. Si suppone, per assurdo, che esista una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di N e i sottoinsiemi di N. Si costruisce una tabella nelle cui colonne sono inseriti i numeri naturali e nelle righe i sottoinsiemi, il primo insieme è quello dei numeri pari e così via. 1 2 3 4 …. Pari NO SI … Dispari Primi Multipli di 3 Nuovo Questo nuovo sottoinsieme non è corrispondente di nessun numero naturale, non si trova in alcuna riga della tabella.

CANTOR E L’INFINITO 1.Supponiamo per assurdo che l'intervallo [0,1] sia numerabile. 2.ciò implica che gli elementi di [0,1] possono essere posti in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali dando luogo ad una successione di numeri reali {r1, r2, r3, ...} che esaurisce tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1. 3.Possiamo rappresentare ciascun numero della successione in forma decimale e visualizzare la successione di numeri reali come una matrice infinita che avrà più o meno quest'aspetto: r1 = 0, 5 1 0 5 1 1 0 ... r2 = 0, 4 1 3 2 0 4 3 ... r3 = 0, 8 2 4 5 0 2 6 ... r4 = 0, 2 3 3 0 1 2 6 ... r5 = 0, 4 1 0 7 2 4 6 ... r6 = 0, 9 9 3 7 8 3 8 ... r7 = 0, 0 1 0 5 1 3 5 ... ... In realtà ci sono numeri che hanno più di una rappresentazione decimale: quelli che terminano con una sequenza infinita di 9 o di 0 ne hanno due, in tal caso conveniamo di prendere la rappresentazione che termina con 0. 4.Costruiamo un r* tale che abbia la prima cifra decimale diversa da quella r1, la seconda cifra decimale diversa da quella di r2, la terza cifra decimale diversa da quella di r3, e così via... 5.Si deduce dunque che r* non è nell'elenco mostrato, il quale aveva lo scopo di enumerare tutti i numeri reali compresi nell'intervallo [0,1]. L'intervallo in questione dunque non è numerabile e a maggior ragione non lo è R.

COROLLARI DEL TEOREMA Ogni insieme infinito può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio Un segmento è equipotente ad una retta Un segmento è equipotente ad un quadrato Indicata con L la cardinalità di N, l’insieme delle parti di N, cioè P(N), ha cardinalità maggiore di Tale cardinalità è chiamata “cardinalità del continuo” . Risulta: < 2 In particolare l’insieme dei numeri reali ha la cardinalità del continuo.

TORRI DI CANTOR …… …….. PPPPX Y PPPPY Z PPPX PPPY PPX PPY PX …….. PY X PPPPZ Y PPPZ PPZ PZ Z

ANTINOMIE … Paradosso del mentitore Io dico: “Sto mentendo” . Ho detto la verità ?? … CELEBRI Russell Consideriamo l’insieme di tutti gli insiemi che non sono elementi di se stessi. Se esso è un elemento di se stesso, allora non è un elemento di se stesso. Se non lo è, lo è.

Serena Pinelli Andrea Raia Marco Preziosi Giuseppe Iodice REALIZZATO DA… Serena Pinelli Andrea Raia Marco Preziosi Giuseppe Iodice