MECCANICA (descrizione del moto dei corpi) Cinematica: studia il moto prescindendo dalle cause che ne determinano le caratteristiche . Dinamica: studia le relazioni tra le caratteristiche del moto e le cause (forze) che le determinano. Statica: studia le condizioni di equilibrio dei corpi.

Concetti di base Punto materiale: schematizzazione di un corpo di dimensioni trascurabili, la cui posizione può essere indicata localizzando un punto. Moto di un corpo: cambiamento di posizione del corpo, nel tempo, rispetto ad un altro corpo preso come riferimento. Traiettoria: insieme delle posizioni occupate dal punto materiale nel suo moto. Legge oraria del moto: descrive la relazione tra il tempo e la posizione del punto in moto.

Moto rettilineo - Introduzione La traiettoria è una retta. Possiamo sempre farla coincidere con l’asse x. 0 = origine del sistema di riferimento x1 = x(t1) = posizione occupata all’istante t1 x2 = x(t2) = posizione occupata all’istante t2 Dx = x2 – x1 = distanza percorsa Dt = t2 – t1 = tempo impiegato a percorre Dx Dx x1 x2 x

Moto rettilineo - Velocità e accelerazione Velocità media (vm): è il rapporto Dx/Dt. Si misura in m/s. Se, per t2 > t1 risulta x2 > x1 vm è positiva. Se, per t2 > t1 risulta x2 < x1 vm è negativa. Velocità istantanea, v: si ottiene quando Dt  0 (t2  t1). v costante  moto uniforme. v non costante  moto accelerato. Accelerazione media am: è il rapporto Dv/Dt. Si misura in m/s2. Accelerazione istantanea a: si ottiene quando Dt  0. a costante  moto uniformemente accelerato. a non costante  moto vario.

Moto rettilineo uniforme La traiettoria è una retta e la velocità è costante Spazio percorso Dx v = Dx/Dt  Dx = vDt Nel diagramma (v,t) di seguito riportato, lo spazio percorso nel tempo Dt è rappresentato dall’area tratteggiata. Legge oraria del moto (x in funzione di t) Dx = x2 – x1 = x2 = x1 + Dx = x1 + vDt x2 = x1 + v(t2 – t1) Assumendo t1=0, e ponendo x1= x0, possiamo eliminare il pedice “2”, e abbiamo la legge oraria del moto r.u.: x = x0 + vt Nel diagramma (x,t) è rappresentata da una retta

Moto rettilineo uniforme - Diagrammi Nel diagramma (v,t) la legge “v = costante” è rappresentata da una retta parallela all’asse x. L’area tratteggiata in figura rappresenta lo spazio percorso nel tempo Dt. Nel diagramma (x,t) la legge “x = x0 + vt” è rappresentata da una retta la cui pendenza è positiva se la velocità è > 0, negativa se è v < 0 ed è tanto maggiore in valore assoluto quanto più grande è la velocità v. v x vB vA Dx x0 vA < vB t t

Moto rettilineo uniformemente accelerato La traiettoria è una retta e l’accelerazione è costante a = Dv/Dt  Dv = aDt  v2 – v1= a(t2 – t1) v2 = v1 + a(t2 – t1) Per t1=0, e v1=v0, eliminiamo il pedice “2”, e abbiamo: v = v0 + at Anche in questo caso lo spazio percorso sarà dato dall’area tratteggiata nel diagramma (v,t), pertanto, la legge oraria del moto uniformemente accelerato è: x(t) = x0 +v0t + ½at2 Nel diagramma (x,t) “x(t) = x0 +v0t + ½at2” è rappresentata da una parabola.

Moto rett. uniform. acc. - Diagrammi v x v2=v x0 Dx v1=v0 t t t1=0 t2=t Posso considerare il trapezio come la somma del rettangolo di lati t e v0 e del triangolo rettangolo di cateti v-v0 e t. La sua area è data allora da: Area = v0t + ½(v-v0)t= v0t + ½at2 (essendo: v-v0 =at) Dx = Area tratteggiata = v0t + ½at2 , ma Dx = x - x0  x = x0+Dx  x0 + v0t + ½at2

Moto di caduta libera di un corpo Tutti i corpi, vicino alla superficie terrestre, lasciati liberi (si trascura la resistenza dell’aria), cadono lungo la verticale con la stessa accelerazione g = 9,8 m/s2, pertanto, la relazione tra l’altezza di caduta h e il tempo t necessario a toccare il suolo è: h = ½g t2 e, t = (2h/g)½ La velocità d’impatto è: v = g t = g (2h/g)½ = (2gh)½  h(t) h = ½g t2 h t

Moto sul piano Qualunque sia la traiettoria, è sufficiente studiare il moto rettilineo delle proiezioni del punto materiale sugli assi coordinati, x e y. Tuttavia è istruttivo prendere in esame un altro approccio. Se il punto materiale, nell’intervallo di tempo Dt, passa dalla posizione A alla posizione B, lo spostamento è: Dr = rB – rA dove, rA e rB sono i vettori che individuano la posizione di A e di B rispetto ad un punto di riferimento 0. Si definisce il vettore velocità media, vm, come: vm = (rB – rA)/Dt vm ha la stessa direzione e lo stesso verso di Dr e modulo dato dal rapporto tra il modulo di Dr e Dt.

Moto sul piano - Illustrazione Dr = rB- rA Dr = rB- rA B rA rA B rB rB O O Dt1 Dt2 < Dt1 Il modulo del vettore spostamento è diverso dalla lunghezza dello spazio percorso, in particolare, se la traiettoria è chiusa (AB), lo spostamento è zero, ma lo spazio percorso è diverso da zero. E’ interessante, però, osservare che al diminuire di Dt, B si avvicina ad A e la traiettoria tende ad identificarsi con lo spostamento; pertanto, la velocità istantanea (che si ottiene quando Dt  0) è tangente alla traiettoria.

Moto sul piano – Velocità e accelerazione vA vA at A ac B vB Se la traiettoria non è rettilinea, la direzione del vettore velocità cambia da punto a punto, pertanto si deve introdurre un’accelerazione vettoriale, media e istantanea. L’accelerazione istantanea può essere scomposta in due componenti: una parallela, l’altra perpendicolare alla velocità. La componente parallela, at, modifica il modulo della velocità. La componente perpendicolare, ac, (o centripeta, perché diretta verso il centro di curvatura locale della traiettoria) modifica la direzione della velocità.

Moto circolare uniforme Traiettoria circolare, velocità costante in modulo. Accelerazione solo centripeta di modulo “ac = v2/R = 2R” R = raggio della circonferenza v = s/Dt modulo della velocità,  = /Dt = velocità angolare Essendo:  = s/R  s =  R  v =  R /Dt = ( /Dt) R  v = R Questo moto è periodico e il periodo T è pari a: T = 2R/v = 2/ La frequenza è  = 1/T v ac R A s R  B