Automi Cellulari Automi Cellulari Binari Unidimensionali con r>1 Parte III Automi Cellulari Automi Cellulari Binari Unidimensionali con r>1 La classificazione di Wolfram Il margine del caos ed il parametro  Esempi

Def. di AC unidimensionale La configurazione st di un AC unidimensionale, al tempo t, è un array unidimesionale di N celle (o siti) Se N è un numero finito bisogna specificare il comportamento ai margini dell’array. Nel seguito considereremo condizioni periodiche al bordo Al tempo t, ogni cella si trova nello stato stiA={0,1,…,k-1} per i=0,1,…,N-1 cosicché st AN t i= sti-r,…, sti,… sti+r è il vicinato dell’ i-esima cella

Ancora sulla def. di AC unidimensionale  è la funzione di transizione (aggiornamento) locale: St+1i = (t i) La lista di tutti i possibili vicinati con i corrispondenti nuovi stati per la cella centrale è chiamata tabella di aggiornamento dell’AC L’operatore di aggiornamento globale : AN ->AN applica  in parallelo a tutti i vicinati dell’array unidimensionale

Notazioni Nella definizione precedente, tra gli altri, compaiono i simboli k ed r r è i numero di celle alla sinistra (o alla destra) della cella centrale che fanno parte del vicinato; è chiamato “raggio del vicinato” da r si ricava la dimensione del vicinato: d = 2r+1 k è il numero di stati in cui si può trovare una cella dell’AC (per ora consideriamo k=2)

Esempi: AC 1D con r variabile sti Sti+1 Sti-1 Intorno r=2 (d=5) Sti+2 Sti-2 1 sti Sti+1 Sti-1 Intorno r=3 (d=7) Sti+2 Sti-2 Sti-3 Sti+3

Lo spazio delle regole In un AC unidimensionale con k stati e raggio r (d=2r+1) esistono: kd intorni distinti regole di transizione Se k=2 ed r=2 (d=5)  4294967296 regole Se k=2 ed r=3 (d=7)  …un numero esagerato!

Classificazione di Wolfram Wolfram ha classificato gli AC unidimensionali in base al loro comportamento dinamico Classe 1 L’evoluzione porta ad uno stato omogeneo Classe 2 L’evoluzione genera strutture stabili semplici e separate o strutture periodiche Classe 3 L’evoluzione genera configurazioni caotiche Classe 4 L’evoluzione genera strutture complesse localizzate, spesso durevoli nel tempo Reference: S. Wolfram, Universality And Complexity in Cellular Automata, Physica D, 10 (January 1984) 1—35, reperibile all’indirizzo www.stephenwolfram.com/publications/articles/ca

Una “regola semplice”, la 4 (k=2, r=1) 010 va in 1, altrimenti in 0. La regola 4 conduce il sistema verso uno stato stabile (Classe I di Wolfram)

Una “regola caotica”, la 22 (k=2, r=1) 001,100,010 vanno in 1, altrimenti in 0. La regola 22 è una regola caotica (Class III di Wolfram)

Un’altra “regola caotica”, la 30 (k=2, r=1) 001, 100, 010, 011 vanno in 1, altrimenti in 0. La regola 30 è una regola caotica (Class III di Wolfram) Cioè, la regola 30 genera configurazioni con alto grado di casualità temporale e spaziale

Una “regola complessa”, la 54 (k=2, r=1) 001,100, 010,101 vanno in 1, altrimenti 0. La regola 54 è una regola complessa (Class IV di Wolfram)

Un’altra “regola complessa”, la 110 (k=2, r=1) 001,010,011,101,110 vanno in 1, altrimenti 0. La regola 110 è una regola complessa (Classe IV di Wolfram)

t i = sti-r,…, sti,… sti+r = sti,…, sti,… sti Lo stato quiescente Def. Lo stato stiA ={0,1,…,k-1} si dice quiescente se St+1i = (t i) = sti con t i = sti-r,…, sti,… sti+r = sti,…, sti,… sti Cioè, uno stato si dice quiescente se, trovandosi “circondato” da stati quiescenti, non cambia di stato Negli AC unidimensionali a stati discreti si suole considerare 0 come stato quiescente

Ancora sullo stato quiescente La regola 001101102=54 “rispetta” lo stato quiescente poiché l’intorno 0 va in 0 (tramite ) 1 Intorno 7 Intorno 6 Intorno 5 Intorno 4 Intorno 3 Intorno 2 Intorno 1 Intorno 0 La regola 000000012=1 “non rispetta” lo stato quiescente poiché l’intorno 0 va in 1 (tramite ) 1 Intorno 7 Intorno 6 Intorno 5 Intorno 4 Intorno 3 Intorno 2 Intorno 1 Intorno 0

Regole “legali” e “non legali” Def. Una regola di transizione si dice “legale” se “rispetta” lo stato quiescente (S. Wolfram, Statistical Mechanics of Cellular Automata, 1983 – www.stephenwolfram.com –) La regola 001101102=54 è, dunque, una regola “legale” La regola 000000012=1 è, invece, una regola “non legale”

Il parametro  di Langton Il parametro , introdotto da C. Langton nel 1990, misura la percentuale di transizioni non quiescenti nella funzione di transizione dell’AC dove: Nq = Numero di transizioni verso lo stato quiescente N = Numero di transizioni totali  può essere visto come una funzione :R->[0,1] dove R rappresenta lo spazio delle regole di una data classe di AC (ad es. k=2, r=2)

Alcune considerazioni su  Il parametro  è un numero compreso tra 0 e 1, cioè: 0  1  vale 0 in corrispondenza della regola 000…0  vale 1 in corrispondenza della regola 111…1 non è una funzione iniettiva, infatti: (00110110) = (11001001) = 1-(4/8) = 0.5 Se  è piccolo, la maggior parte delle transizioni saranno verso lo stato quiescente  la dinamica del sistema convergerà rapidamente verso uno stato stabile

Class I -> Class II -> Class IV -> Class III Il Margine del Caos Se  è grande, vi saranno poche transizioni verso lo stato quiescente  la dinamica del sistema sarà caotica Dunque, al crescere di  si passa da dinamiche semplici, attraverso dinamiche molto complesse, a dinamiche del tutto casuali e imprevedibili Così “attraversiamo” le 4 clsassi di Wolfram nell’ordine: Class I -> Class II -> Class IV -> Class III Il valore di  relativo alla transizione dalla Classe IV alla Classe III viene chiamato “Margine del Caos”

=0.1 (K=2, r=2) Regola 10000000000000000100000000000000

=0.2 (K=2, r=2) Regola 10010010010110000111000011100000

=0.27 (K=2, r=2) Regola 11000010000110001000000000100000

=0.4 (K=2, r=2) Regola 10001000010000000111010101000100

=0.402 (K=2, r=2) Regola 10000000010000000010000100000100

La non assoluta precisione di  L’andamento del parametro  descrive qualitativamente il comportamento delle regole di evoluzione degli AC unidimensionali a stati discreti ripercorrendo le 4 classi di Wolfram Tuttavia  non è un indicatore estremamente preciso del comportamento delle regole di evoluzione degli AC Questo vuol dire che in una “zona di ” in cui le corrispondenti regole dovrebbero avere un comportamento dinamico ben preciso (ad es. complesso), cadono regole con comportamenti differenti (ad es. caotico)

Un interessante riferimento sulla Rete In conclusione segnalo il sito: http://alife.santafe.edu/alife/topics/ dove, oltre ad alcuni argomenti trattati in questo seminario, si può giocare con un simulatore di AC unidimensionali