"I SISTEMI LINEARI COME MODELLO DI PROBLEMI" PROGETTO DIGI SCUOLA A.S. 2006/07 "I SISTEMI LINEARI COME MODELLO DI PROBLEMI" a cura di Concetta ed Emanuela Richichi dell’IPSIA Enrico Medi di Palermo

L'acquario “In un acquario vivono pesci tropicali di due specie diverse. I pesci della prima specie mangiano 2 grammi di mangime ciascuno ogni giorno. I pesci della seconda specie mangiano ciascuno 3 grammi di mangime ogni giorno. Il consumo settimanale di mangime dell’acquario è di 560 grammi. Quanti pesci di ciascuna specie ci sono nell’acquario?”

RICORDA CHE PER LA RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA OCCORRE INDIVIDUARE: OBIETTIVO Quali risultati dobbiamo ottenere? DATI Quali informazioni ci fornisce il testo del problema? INCOGNITE Quali sono le grandezze di cui non conosciamo il valore? DOMINIO Con quale insieme numerico sono rappresentabili le grandezze indicate dalle incognite? RELAZIONI Di quali "risorse“, conoscenze teoriche e strumenti di calcolo disponiamo per formalizzare le informazioni?

DETERMINARE LA QUANTITA’ DI PESCI NEL NOSTRO PROBLEMA: OBIETTIVO “Quanti pesci di ciascuna specie ci sono nell’acquario? DETERMINARE LA QUANTITA’ DI PESCI DI CIASCUNA SPECIE

NEL NOSTRO PROBLEMA: DATI Quantità di mangime, espressa in grammi, mangiata ogni giorno da ciascun pesce della prima specie : 2 Quantità di mangime, espressa in grammi, mangiata ogni giorno da ciascun pesce della seconda specie : 3 Consumo settimanale, espresso in grammi, di mangime dell’acquario: 560

QUANTITA’ DI PESCI DELLA PRIMA SPECIE: x NEL NOSTRO PROBLEMA: INCOGNITE QUANTITA’ DI PESCI DELLA PRIMA SPECIE: x QUANTITA’ DI PESCI DELLA SECONDA SPECIE: y

X  N-{0}, Y  N-{0} DOMINIO LE QUANTITA’ DI PESCI NEL NOSTRO PROBLEMA: DOMINIO LE QUANTITA’ DI PESCI SONO RAPPRESENTABILI CON UN NUMERO NATURALE DIVERSO DA ZERO, QUINDI X  N-{0}, Y  N-{0}

x,y 2x 3y 7(2x+3y) = 560 FORMALIZZAZIONE LINGUAGGIO NATURALE LINGUAGGIO FORMALE In un acquario vivono pesci tropicali di due specie diverse. I pesci della prima specie mangiano 2 grammi di mangime ciascuno ogni giorno. I pesci della seconda specie mangiano ciascuno 3 grammi di mangime ogni giorno. Il consumo settimanale di mangime dell’acquario è di 560 grammi. x,y 2x 3y 7(2x+3y) = 560

equazione di primo grado LA RELAZIONE: 7(2x+3y)=560 costituisce il MODELLO MATEMATICO del problema. Essa è una equazione di primo grado in due incognite

Essa ha infinite soluzioni e quindi è Una coppia ordinata di numeri reali è soluzione di un’equazione a due incognite se, sostituendo il primo numero alla prima incognita (di solito x) e il secondo numero alla seconda incognita (di solito y), l’equazione si trasforma in un’eguaglianza vera. Sono soluzioni dell’equazione 7(2x+3y)=560 ,ad esempio, le coppie ordinate (1;26) (7;22) (10;20) ecc. Essa ha infinite soluzioni e quindi è INDETERMINATA.

L’equazione 7(2x+3y)=560 ha infinite soluzioni. Ciò significa che il problema proposto ha infinite soluzioni: LE INFORMAZIONI IN NOSTRO POSSESSO SONO INSUFFICIENTI PER RISOLVERLO. Occorre qualche ulteriore informazione, ad esempio la seguente “Nell’acquario vivono complessivamente 35 pesci tropicali di due specie diverse.”

x+y=35 Ma le cose cambiano se … LINGUAGGIO NATURALE LINGUAGGIO FORMALE Nell’acquario vivono complessivamente 35 pesci tropicali di due specie diverse. x+y=35 Anche questa equazione è indeterminata e, quindi, neppure essa, presa da sola, ci consente di risolvere il problema. Ma le cose cambiano se …

7(2x+3y)=560 x+y=35 contemporaneamente. … se consideriamo 7(2x+3y)=560 e x+y=35 contemporaneamente. La coppia (25;10), infatti, è soluzione comune alle due equazioni, come si può facilmente verificare sostituendo tali valori nelle equazioni . Perciò, poichè x=25 e y=10 appartengono al dominio, la soluzione del nostro problema è S = {(25;10)}

che devono essere verificate contemporaneamente Si dice SISTEMA di due equazioni in due incognite un insieme formato da due equazioni che devono essere verificate contemporaneamente e avere dunque soluzioni comuni. Ogni soluzione comune a tutte le equazioni di un sistema, si chiama soluzione del sistema. Risolvere un sistema, significa trovarne tutte le eventuali soluzioni.

Dove indicano numeri noti. I numeri si chiamano Un sistema di due equazioni di primo grado in due incognite x, y, a coefficienti numerici, si dice ridotto a forma normale, se è del tipo: Dove indicano numeri noti. I numeri si chiamano coefficienti delle incognite, mentre si chiamano termini noti.

Un sistema costituito solo da equazioni di primo grado si dice SISTEMA LINEARE Nel nostro caso il sistema che rappresenta il modello del problema è:

Per ridurre a forma normale il sistema dividiamo ambo i membri della prima equazione per 7 ottenendo il sistema equivalente: dove: 2 3 80 1 1 35