I SISTEMI DI PRIMO GRADO

ANALIZZIAMO LA SEGUENTE SITUAZIONE PROBLEMATICA Un gruppo di 15 amici al ristorante pagano per le pizze che hanno ordinato 78 € Sei di loro hanno preso la pizza margherita gli altri la pizza al prosciutto. Quanto costano le diverse pizze?

IMPOSTAZIONE PROBLEMA Per risolvere il problema posso scrivere l’equazione in due incognite (x e y) 6x+9y=78 è una proposizione aperta verificata da molte coppie: S={(13,0),(10,2),…}

Occorre un’altra informazione. Ad esempio al tavolo vicino sei amici hanno ordinato le stesse pizze 5 margherite e una al prosciutto pagando 26€. Si può impostare l’equazione in due incognite (x e y) 5x+y=26 Proposizione aperta verificata da diverse coppie: S={(1,21),(3,11),…} Posso ricercare se esiste una coppia soluzione della prima e della seconda equazione collegando tra loro le equazioni Ottenendo un sistema di primo grado Costituito da due equazioni in due incognite

I SISTEMI DI PRIMO GRADO MAPPA TEORIA METODI DI RISOLUZIONE

MAPPA I SISTEMI RISOLUZIONE DEI PROBLEMI TEORIA METODI DI RISOLUZIONE EQUAZIONI IN GEOMETRIA ANALITICA EQUAZIONI COME FUNZIONI INSIEME DELLE SOLUZIONI Confronto Riduzione Cramer Sostituzione Sistema indeterminato Schema Sistema determinato Sistema impossibile

TEORIA Un equazione in due incognite (x e y) come 5x+y=26 è una proposizione aperta verificata da un’infinità di coppie: S={(5,1),(6,-4),…} Le equazioni come funzioni Le equazioni in geometria analitica Insieme delle soluzioni

EQUAZIONI COME FUNZIONI f(x)=2x-3 -13 -3 -1 3 5 7 … -5 1 4 y = 2x-3 x x -5 1 3 4 … 2x-3 -13 -3 -1 3 5 …

EQUAZIONI IN GEOMETRIA ANALITICA punto retta coppia di reali equazione la coppia (a,b) verifica l’equazione 2x-3=y il punto P(a,b)  alla retta di equazione 2x-3=y

INSIEME DELLE SOLUZIONI Un sistema è un insieme di equazioni, tutte nelle stesse incognite, che devono essere verificate contemporaneamente. Risolvere un sistema significa trovare le soluzioni comuni a tutte le equazioni che lo compongono. L’insieme delle soluzioni di un sistema è quindi costituito dall’intersezione degli insiemi soluzione di ciascuna equazione. A seconda del suo insieme soluzione un sistema può essere: IMPOSSIBILE DETERMINATO INDETERMINATO

Sistema determinato

Sistema indeterminato

Metodo di sostituzione METODI DI RISOLUZIONE Elenco dei metodi di risoluzione: Metodo grafico Metodo del confronto Metodo di sostituzione Metodo di riduzione Metodo di Cramer

Metodo del confronto Con un esempio vediamo il metodo del confronto, analizzando il sistema: Esplicitiamo ora le due equazioni rispetto a una delle due variabili, x ad esempio: L’incognita x anche se espressa in modi diversi ha lo stesso valore e potremo quindi scrivere: e risolverla come un’equazione in una incognita. Il valore di y trovato verrà sostituito in una delle due equazioni. Basterà una semplice operazione per trovare poi il valore di x.

Metodo di sostituzione Con un esempio spieghiamo il metodo di sostituzione analizzando il sistema: Esplicitiamo ora una delle due equazioni rispetto a una delle due variabili, x ad esempio: Scrivendo nell’altra equazione al posto di y l’espressione prima calcolata, svolgeremo l’equazione in x. Una volta calcolato il valore di x sostituiremo di nuovo il suddetto valore nell’equazione esplicitata in y.

Metodo di riduzione Spiegheremo il metodo di riduzione con un esempio. Analizziamo il seguente sistema: In questo sistema l’incognita x presenta coefficienti opposti nelle due equazioni, per cui sommandole membro a membro si riducono ad un’equazione in y. Moltiplicando per -5 l’equazione in y (per ottenere il monomio +5y, opposto a quello dell’altra equazione) applicheremo lo stesso metodo e avremo un’equazione in x. Risolvendo le due semplici equazioni ottenute avremo i valori delle incognite in questo sistema.

Metodo di Cramer continua… Questo non è un modo di risoluzione ma un modo schematico di rappresentare le soluzioni. Questo metodo utilizza il principio di riduzione, ma per capirlo analizziamo l’esempio: Applichiamo quindi il metodo di riduzione; se vogliamo eliminare x moltiplichiamo la prima equazione per a’ e la seconda per a. Otterremo il sistema: Utilizzando il metodo di riduzione avremo l’equazione: continua…

Ripetiamo l’operazione per eliminare y trovando la seconda equazione: Potremo quindi riscrivere il sistema nel seguente modo: e quindi Scriviamo ora i coefficienti di x e y in una schema detto matrice: E con questo ricaviamo il : (La linea indica la moltiplicazione) Poi cerchiamo il sostituendo nella matrice i coefficienti di x (quelli della prima colonna) con i termini noti dell’equazione: continua…

Ora per faremo la stessa cosa sostituendo però ai coefficienti di y (seconda colonna) con i termini noti e lasciando quelli di x nella prima colonna: Avremo quindi: Bisognerà poi discutere sul valore del per poter dar la soluzione.

Schema Rette incidenti Rette parallele Rette corrispondenti DETERMINATO IMPOSSIBILE INDETERMINATO (Cliccando su una delle tre possibilità la si può visualizzare graficamente)

Sistemi lavoro.ESEMPIO NUMERICO - Foglio1!A1

FINE!