ANGOLI E BISETTRICI "AB e CD sono porzioni di rette che si incontrano fuori dal foglio qui rappresentato dal rettangolo. Costruire la bisettrice degli angoli acuti formati dalle due rette mediante costruzioni eseguite esclusivamente sul foglio assegnato". A B C D

FIGURE CONCAVE E CONVESSE Definizione: Una figura F’ si dice convessa se, comunque si scelgano due suoi punti, il segmento che li unisce è un sottoinsieme di F’. B A E D C F Definizione: Una figura F’’ si dice concava se esistono almeno due suoi punti tali che il segmento che li congiunge non è sottoinsieme di F’’.

Postulato: Ogni retta r suddivide il piano π in tre sottoinsiemi disgiunti r, p’, p’’. B C D π I sottoinsiemi p’ e p’’ sono tali che un segmento AB i cui estremi appartengono entrambi a p’ ( o entrambi a p’’) non ha alcun punto in comune con r, mentre un segmento CD i cui estremi appartengono l’uno a p’ e l’altro a p’’ ha un punto in comune con r. Definizione: Con riferimento al precedente postulato, si dice semipiano di origine r ciascuno dei due insiemi di punti e Due semipiani distinti, di comune origine, come π’ e π’’, si dicono opposti

. Siano π’ e π’’ due semipiani aventi per origine le rette r’ e r’’. 1° Caso: π’ e π’’ hanno le origini incidenti in un punto O. Allora è detto angolo convesso. Il punto O si dice vertice dell’angolo, mentre le semirette OA e OB si dicono lati dell’angolo r’’ r’ π ’’ π ’ O .

. . 2° Caso: π’ e π’’ coincidono è un angolo piatto r’=r’’ A O B 3° Caso: π’ e π’’ sono semipiani opposti è un angolo nullo o giro r’=r’’ A O B .

4° Caso: Le origini r’ e r’’ di π’ e π’’ sono rette parallele e distinti. In questa situazione la figura intersezione riveste interesse solo se π’ contiene r’’ e π’’ contiene r’ è una striscia r’’ r’

Definizione: Sia dato un angolo AOB Definizione: Sia dato un angolo AOB. La semiretta OM che divide l'angolo nei due angoli uguali AOM e MOB dicesi bisettrice dell'angolo AOB. Scheda 1: Come risolveresti il seguente problema? Hai a disposizione il software Cabrì o Geogebra. AB e CD sono porzioni di rette che si incontrano fuori dal foglio qui rappresentato dal rettangolo. Costruire la bisettrice degli angoli acuti formati dalle due rette mediante costruzioni eseguite esclusivamente sul foglio assegnato A B C D

Scheda 2: Costruisci la bisettrice di un angolo convesso, seguendo i Scheda 2: Costruisci la bisettrice di un angolo convesso, seguendo i seguenti passi. Puoi far uso del software didattico Cabrì. Disegna un angolo. Chiama O il vertice, a e c le due semirette. Disegna una circonferenza f di centro O e raggio qualsiasi, chiama A e B i punti di intersezione con le semirette a e c. Disegna una circonferenza d di raggio qualsiasi e di centro A e chiama D il punto di intersezione con la semiretta a. Disegna una circonferenza e di centro B e raggio AD (basta trasportare il segmento AD, raggio della circonferenza d, nel punto B e tracciare la circonferenza richiesta) Chiama C il punto di intersezione tra le due circonferenze d e e. Traccia la semiretta b di origine O e passante per C. Essa costituisce la bisettrice dell’angolo AOB. Descrivi cosa accade al variare del raggio della circonferenza f . ……………………………………………………………………………………………………

Scheda 3: Sulla base di quanto ottenuto nella scheda precedente, segui i passi seguenti. Puoi usare solo riga e compasso.

Definisci un punto qualunque sulla bisettrice ottenuta e chiamalo P. Dal punto P traccia le perpendicolari ai due lati dell’angolo. Determina l’intersezione fra le perpendicolari ed i lati dell’angolo e chiama i punti, rispettivamente, V e Z. Definisci i segmenti PV e PZ e determina la loro lunghezza. Definisci una tabella a due colonne e riporta in esse, rispettivamente, le misure di PV e PZ. Raccogli un certo numero di valori (basta far variare il raggio della circonferenza f) PV PZ

Riflettendo su tali valori enuncia la proprietà che caratterizza tutti e soli i punti della bisettrice di un angolo e scrivila come commento al disegno. …………………………………………………………………………………………………… Dimostrazione: CA=CB perché raggi di circonferenze uguali. OC in comune OA=OB perché raggi della stessa circonferenza. I due triangoli sono quindi uguali per il 3° criterio di uguaglianza dei triangoli quindi anche gli angoli sono uguali.

Luogo geometrico: Si chiama luogo geometrico una figura per la quale sia stata enunciata una proprietà di cui godono tutti i suoi punti ed essi soltanto. Ogni punto della figura possiede la proprietà prefissata Un punto che gode di quelle proprietà appartiene alla figura Un punto che non appartiene alla figura non possiede quella proprietà Esempio:L’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso

Scheda 4: Dimostra il seguente teorema. Teorema: La bisettrice di un angolo è il luogo dei punti del piano equidistanti dai lati dell'angolo. Indica con PV e PZ le distanze del punto P della bisettrice dai lati dell'angolo. Prima parte: P  bisettrice  PV=PZ I triangoli OPV, OPZ hanno: ………………………………………………………………………………………………… Quindi sono uguali per ........... criterio di uguaglianza dei triangoli. Dimostrazione: OP in comune. Gli angoli VOP e POZ sono uguali. Per il secondo criterio generalizzato di uguaglianza dei triangoli i triangoli sono uguali

Seconda parte: PV=PZ  P bisettrice Preso un qualunque punto P per il quale si abbia PV=PZ , devi dimostrare che esso appartiene alla bisettrice. Traccia le distanze tra il punto P ed i lati dell'angolo ed unisci P con il vertice O dell'angolo. Allora i triangoli OPV ed OPZ hanno ………………………………………………………………………………………………… Concludi tu la dimostrazione D E F A B C AB=DE AC=DF Dimostrazione: OP in comune. PV=PZ. Se i due triangoli hanno un cateto e l’ipotenusa rispettivamente uguali allora sono uguali. G GBC sono allineati, GAC è isoscele  AB è anche mediana, pertanto BC=BG=EF. Quindi i tre lati sono uguali e per il 3° criterio di uguaglianza sono uguali 

Costruzione mediante segmenti, bisettrici, intersezioni, adoperando la proprietà transitiva della congruenza. Traccia due punti qualsiasi, P e Q, sui lati AB e CD, rispettivamente. Congiungi P e Q. Traccia le bisettrici degli angoli APQ e CQP. Chiama S il punto di intersezione. A questo punto traccia le bisettrici di BPQ e DQP e chiama R il punto di intersezione.

Se consideri la retta passante per R ed S, avrai ottenuto la bisettrice dell’angolo invisibile formato dai segmenti AB e CD? Dimostralo, facendo le opportune congetture. (dimostrazione: il punto R, appartenendo alla bisettrice dell’angolo QPB è equidistante dai lati PB e PQ; ma R appartiene anche alla bisettrice dell’angolo DQP, quindi è equidistante dai lati PQ e QD; quindi, per la proprietà transitiva della congruenza, R è equidistante dai lati PB e QD, cioè dalle rette AB e CD: risulta pertanto sulla bisettrice richiesta. Analogamente si dimostra che anche il punto S appartiene alla bisettrice richiesta).

Scheda 5: Costruisci mediante segmenti, bisettrici, intersezioni e adoperando la proprietà transitiva della congruenza la bisettrice dell’angolo formato dai due segmenti AB e CD (vedi scheda 1) mediante costruzioni eseguite esclusivamente sul foglio assegnato. Puoi far uso del software didattico Cabrì. Traccia le bisettrici degli angoli CAB e DCA , e chiama M il loro punto di intersezione M. Prendi un punto E su AB e un punto F su CD e traccia le bisettrici degli angoli DFE e BEF. Chiamo con N il loro punto d'intersezione. Dimostra che i punti M ed N appartengono alla bisettrice dell'angolo avente per lati AB e CD. …………………………………………………………………………………………………………

(dimostrazione: per definizione di bisettrice, M è equidistante dai lati AB e AC, perché punto della bisettrice dell'angolo CAB, ma M è anche equidistante dai lati CD e AC, perché punto della bisettrice dell'angolo DCA. Per la proprietà transitiva della congruenza, M è equidistante sia da AB che da CD. N deve risultare interno al rettangolo e questo dipende dalla scelta di E e di F. N è equidistante sia dal lato EB che dal lato EF, perché punto della bisettrice dell'angolo BEF, ma N è anche equidistante dai lati FD e EF, perché punto della bisettrice dell'angolo DFE. Per la proprietà transitiva della congruenza, N è equidistante sia da EB che da FD, quindi è equidistante da AB e CD. Poiché i punti M e N sono equidistanti dai segmenti AB e CD sono punti della bisettrice dell’angolo di lati AB e CD).

…………………………………………………………………………………………………… Scheda 6: Costruisci adoperando circonferenze, rette parallele, rette perpendicolari, intersezioni, proiezioni ortogonali, punti medi di segmenti, e i teoremi di congruenza di angoli e di triangoli, la bisettrice dell’angolo formato dai due segmenti AB e CD (vedi scheda 1) mediante costruzioni eseguite esclusivamente sul foglio assegnato. Puoi far uso del software didattico Cabrì. Prendi a piacere due punti, P e P’, rispettivamente, sul segmento AB e sul segmento CD. Traccia le perpendicolari ai segmenti AB e CD passanti per i punti prescelti. Chiama con N un punto qualunque della perpendicolare ad AB, così puoi tracciare la parallela al segmento AB passante per N e la circonferenza di centro P’ e raggio congruente a PN. Secondo te il punto N’ di intersezione tra la circonferenza costruita e la perpendicolare a CD, risulta interno all’angolo determinato dalle rette AB e CD? Giustifica la tua risposta. ……………………………………………………………………………………………………

Disegna la parallela a CD passante per N’ Disegna la parallela a CD passante per N’. Come puoi osservare, questa retta interseca la parallela ad AB passante per N in un punto, che puoi chiamare V. Denominando con T il punto di intersezione tra le due circonferenze di raggio RS e centro, rispettivamente, R e S, dimostra la congruenza dei triangoli RTV e STV. ……………………………………………………………………………………………………… (dimostrazione: RV=VS per costruzione, in quanto raggi della stessa circonferenza, RT=TS per costruzione, in quanto raggi di due circonferenze di stesso raggio. Infine VT è in comune ai due triangoli. Pertanto, per il terzo criterio di uguaglianza dei triangoli i due triangoli risultano uguali).

………………………………………………………………………………………………………… Secondo te quale caratteristica ha la retta passante per il segmento TV …………………………………………………………………………………… ................................................................................................................... Congiungi i punti V ed O. Cosa puoi dire sui segmenti EV, AB, FV e CD (per costruzione, EV risulta parallelo ad AB, mentre FV risulta parallelo a CD)? ………………………………………………………………………………………………………… Indica con H e K i piedi delle perpendicolari condotte da V rispettivamente alla retta AB e alla retta CD. Secondo te, i segmenti VH e VK sono congruenti? Se pensi di sì, giustifica la tua risposta. …………………………………………………………………………………………….

Dimostra che i triangoli OVH e OVK sono congruenti tra loro. ………………………………………………………………………………………………………… (dimostrazione: per il quarto criterio di uguaglianza dei triangoli, due triangoli rettangoli sono uguali se, oltre all’angolo retto, hanno ordinatamente uguali altri due elementi, di cui almeno uno sia un lato. Nel nostro caso , VHO = VKO = 90°, OV è in comune, VH = VK). Secondo te la costruzione della bisettrice nel modo sopra esposto risulta ben giustificata, ovvero puoi affermare che le bisettrici degli angoli AOC e EVF coincidono? Motiva la tua risposta. ………………………………………………………………………………………………………… (dimostrazione: gli angoli HOV e KOV risultano congruenti e la retta OV è bisettrice dell’angolo AOC. Tale retta è anche bisettrice di HVK, perché HVO = KVO; inoltre, EVO = EVH + HVO =90° + HVO = 90° + KVO = KVF + KVO = FVO, da cui si ricava che la retta OV è bisettrice dell’angolo EVF e, quindi, le bisettrici degli angoli AOC e EVF coincidono tra loro).

………………………………………………………………………………………………………… Secondo te, cosa accade al variare della scelta dei punti iniziali P e P’? E al variare di N? …………………………………………………………………………………………………………