EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Definizioni e generalità

Poniamoci per esempio in N ed analizziamo le seguenti scritture: Cos'è un'equazione? Prendiamo un qualunque insieme A nel quale siano definite certe operazioni. Utilizzando dei ben determinati elementi di A possiamo scrivere delle uguaglianze che potranno assumere i valori di verità Vero o Falso. Poniamoci per esempio in N ed analizziamo le seguenti scritture: 3+5=8 2+3=5 3-2=5 È immediato stabilire che le prime due eguaglianze sono certamente vere, mentre l’ultima è falsa.

La situazione non è però così semplice se l’uguaglianza contiene delle variabili . Considera ad esempio le seguenti scritture a+2=5 a2+2=3a a+2a=3a In questo caso si tratta di enunciati o formule aperte  per i quali non è possibile stabilire  il valore di verità: tale valore   infatti dipende dal valore attribuito alla variabile che vi figura e che viene detta incognita.

Definizione di equazione Chiamiamo equazione una uguaglianza fra due espressioni letterali, definite in uno stesso insieme, che è vera solo quando particolari valori dell’insieme dato vengono sostituiti alle incognite che compaiono in essa.

Cosa significa risolvere un'equazione? Risolvere un’equazione significa determinarne l’insieme di verità: cioè quegli elementi appartenenti all’insieme di definizione che trasformano l’equazione in una uguaglianza vera. Questi valori che  verificano l'equazione vengono detti soluzioni o radici dell'equazione 

Risolvere un'equazione significa determinare le soluzioni IN SINTESI Si chiama soluzione di un'equazione ogni numero che sostituito all'incognita trasforma l'equazione in una uguaglianza tra numeri. Risolvere un'equazione significa determinare le soluzioni x=1           è soluzione di                 x+2=3 perché sostituendo x con 1 si ha        1+2=3              VERO x=2      non è soluzione di               x+2=3 perché sostituendo x con 2 si ha        2+2=3            FALSO

La lettera usata più frequentemente per indicare l'incognita è la x La lettera usata più frequentemente per indicare l'incognita è la x. Si può usare una qualsiasi lettera, anche se si preferiscono le ultime x, y, z. esempi 2+3x=5x 2+3y=5y 2+3z=5z

Esempi L'equazione x+2=3 in N ha come soluzione x=1, infatti 1+2=3 La stessa equazione x2=1 in Z ha come soluzioni x=1 e x=-1

conclusioni se l’uguaglianza è vera solo per qualche valore dell’insieme di definizione l’equazione si dice determinata. In questo caso l’insieme delle soluzioni è un sottoinsieme proprio dell’insieme di definizione. se l’uguaglianza è vera per ogni valore dell’insieme si parla più propriamente di identità. In questo caso l’insieme delle soluzioni coincide con l’insieme di definizione. se l’uguaglianza non è vera per nessun valore dell’insieme l’equazione è impossibile. In questo caso l’insieme delle soluzioni è l’insieme vuoto.

ESEMPI L'equazione 2x+3=4 è impossibile in Z. Infatti non esiste nessun numero intero che sostituito alla x dia 4. In Q la stessa equazione è determinata e ha come soluzione 0.5  infatti 2*(0.5)+3=4. Precisare l'insieme di definizione è quindi di particolare importanza in particolare quando si risolvono equazioni legate a problemi. L'equazione x=x+2 è impossibile in qualunque insieme numerico. L'equazione 2x=x+x è invece una identità perché l'uguaglianza è sempre vera.

Le espressioni che si trovano a sinistra del segno uguale si chiamano primo membro; quelle che si trovano a destra si chiamano secondo membro. primo membro   secondo membro 2 + 3x = 5x 3(x2+y) x(x+y-1) x - 4   0

Si dice ad una incognita se compare una sola lettera incognita. Un'equazione si dice di primo grado se l'incognita non è elevata a nessuna potenza. Si dice ad una incognita se compare una sola lettera incognita. x+1=3x-x+1 primo grado, una incognita x2+3=x+5 secondo grado, una incognita x+y=3+x primo grado, due incognite x+y3+1=x2-3 terzo grado, due incognite