Dal linguaggio naturale al linguaggio dell’algebra. Progetto realizzato dalla corsista Anastasia Carvelli docente di Matematica e Fisica presso Liceo Linguistico e Socio-Psico-Pedagogico di Mesoraca. Dal linguaggio naturale al linguaggio dell’algebra.

Equazioni lineari e sistemi di equazioni lineari. Problema con soluzione non accettabile.

Esempio 1: Problema delle 3 monete. Si vuole formare la somma di 5 euro con 40 monete, alcune da 20 centesimi e altre da 50 centesimi. Quante monete da 20 e quante da 50 centesimi sono necessarie?

Dati: monete da 20 e 50 centesimi e complessivamente devono essere 40 Obiettivo: trovare il numero di monete da 20 centesimi e il numero di monete da 50 centesimi, che complessivamente diano luogo a 5 euro. Costruiamo il modello del problema. Indichiamo con x il numero di monete da 20 centesimi necessarie: così resta automaticamente determinato il numero 40-x di monete da 50 centesimi necessarie poiché il numero totale di monete è 40. Troviamo il dominio di x. Il numero x deve essere un numero naturale tale che con . x può essere anche 0 o 40, poiché niente esclude che le monete possano essere tutte da 20 o da 50 centesimi.

Risolviamo l’equazione sia con Derive che con Excel in modo da avere subito la soluzione.

Otteniamo che la soluzione non è accettabile (x=50) a causa della seconda condizione del modello del problema, quindi il problema è impossibile.

Esempio 2: Due auto in autostrada. Un’auto, su un’autostrada, parte da un casello A verso il casello B che dista 200 km da A; dopo 20 minuti, dal casello B parte una seconda auto che si muove in verso opposto al precedente (cioè verso il casello A). Le due auto viaggiano a una velocità che si può considerare mediamente costante e uguale a 11km/h per la prima auto e a 90km/h per la seconda. Dopo quanto tempo dalla sua partenza la prima auto incontrerà la seconda?

Costruiamo il modello del problema. Indichiamo con t il tempo incognito, espresso in ore, trascorso dal momento della partenza della prima auto all’istante in cui le due auto si incontrano; Poiché la seconda auto parte 20 minuti dopo, cioè dopo (20=60/3), dovrà essere ; Per impostare l’equazione ricordiamoci la legge oraria del moto uniforme s=s0 +v·t dove s0 è la posizione iniziale.

oppure nella forma equivalente: Nel momento in cui le due auto si incontrano occuperanno la stessa posizione, quindi:110t=200-90(t-1/3) oppure nella forma equivalente: 110t+90(t-1/3)=200

Otteniamo la soluzione t=23/20h, che corrispondono a (23/20) Otteniamo la soluzione t=23/20h, che corrispondono a (23/20)*60 minuti (calcolando questa frazione con excel) otteniamo 69 minuti, cioè un’ora e 9 minuti soluzione accettabile poiché t è maggiore di 1/3. . In excel riprendiamo lo stesso file dell’esempio precedente visto che le formule sono le stesse, si tratta solo di cambiare i numeri.

Esempio 3 Dovendo preparare una cena tra amici, acquisto sei bottiglie di birra e quattro di vino, pagando 40,1 euro. Alla stessa cena arriva il mio amico Carlo, con due bottiglie di birra e sette di vino, della stessa marca e acquistate nello stesso supermercato, pagando 46,8 euro. Poco dopo arriva anche Luigi con cinque bottiglie dello stesso vino acquistato in super-offerta presso una enoteca, a sei euro ciascuna. Luigi sostiene che si tratta di un vero affare e invita gli amici a rifornirsi di vino presso quella enoteca. Conviene seguire il consiglio di Luigi?

Per saper quanto costano le bottiglie di birra e di vino indichiamo con x il prezzo di una di birra e con y il prezzo di una di vino. Queste incognite devono soddisfare simultaneamente le equazioni: 6x+4y=40,1 2x+7y=46,8 Cioè formano un sistema di due equazioni in due incognite.

Risolviamo il sistema con Derive:

Così una bottiglia di birra costa 2,75 euro e una di vino costa 5,9 euro. Non conviene seguire il consiglio di Luigi.

Esercizi proposti 1. In pizzeria In una pizzeria del centro il sabato la pizza margherita costa 1 euro in più rispetto ai giorni infrasettimanali. Con la stessa somma il sabato si possono mangiare 5 pizze mentre nei giorni infrasettimanali se ne possono mangiare 6. Quanto costa la pizza il sabato? Prova a costruire problemi analoghi con l’acquisto di gelati: coni grandi o piccoli. 2. L’età di mia madre La mia età è 11/16 di quella di mia madre e quattro anni fa ne era i 2/3. Quanti anni ha mia madre? Prova a costruire un problema per far scoprire al tuo compagno di banco l’età di tua madre.

3. Triangolo Quanto misura il lato di un triangolo equilatero se la somma della base con l’altezza misura b? Prova a pensare a un problema in cui si chiede la misura di un lato di un triangolo che non sia equilatero: cosa succede? Puoi ancora calcolarne un lato conoscendo la somma della base e dell’altezza? Hai bisogno di altri dati? Come faresti se il triangolo fosse rettangolo isoscele? 4. Cerca il numero Un numero supera di 2 il triplo di un altro. Trova almeno una coppia di numeri che soddisfano la condizione data. Cerca un'altra condizione che, insieme alla precedente, sia soddisfatta solo dai due numeri che hai trovato. Prova a costruire problemi analoghi e pensa di farli risolvere a un bambino che frequenta la scuola elementare.

Senza calcoli Senza fare calcoli, spiega perché c’è un solo valore del coefficiente k per cui il sistema delle due equazioni  non ammette soluzioni. Prova a costruire esempi concreti di problemi che non ammettono soluzioni.