Liceo Scientifico "A.Volta" Reggio Calabria Progetto Digiscuola 2006/2007 Le Nuove Tecnologie nell'insegnamento della Matematica: Equazioni e problemi di primo grado a cura dei docenti C.Chirico,F.Sincero

Come le frazioni e le proporzioni,le equazioni costituiscono validi strumenti per risolvere problemi, che vengono chiamati di 1°,2°…a seconda del grado dell’equazione risolvente. Per fissare le idee,analizziamo qualche situazione problematica ricavata da contesti diversi e proviamo a risolverla…

Una persona deve costruire uno steccato a forma di Dalla Geometria: Una persona deve costruire uno steccato a forma di trapezio isoscele. Sapendo che la base maggiore è uguale a ciascuno dei lati obliqui,mentre la base minore è i 3/5 di quella maggiore e il perimetro è di 18 metri, calcolate quale sarà la lunghezza di ciascuno dei lati dello steccato.

che,per la risoluzione di un problema,occorre individuare: Ricorda che,per la risoluzione di un problema,occorre individuare: Obiettivi Quali risultati dobbiamo ottenere? Dati Quali informazioni ci fornisce il testo del problema? Incognite Quali sono le grandezze di cui non conosciamo il valore? Dominio Con quale insieme numerico sono rappresentabili le grandezze indicate dalle incognite? Relazioni Di quali “risorse” (conoscenze teoriche,strumenti di calcolo)disponiamo per formalizzare le informazioni?

D C A B Nel nostro esempio: DATI AB = BC = AD 2) DC = 3/5 AB OBIETTIVI La lunghezza di ciascuno dei lati dello steccato INCOGNITE La lunghezza, in metri, del lato AD del trapezio che indicheremo con X DOMINIO La lunghezza del lato incognito è rappresentabile con un numero naturale diverso da zero,quindi: x Є N -{0} RELAZIONE P(ABCD) =18m ossia AB+BC+CD+DA=18 D C A B

La base maggiore è uguale FORMALIZZAZIONE LINGUAGGIO NATURALE LINGUAGGIO FORMALE La base maggiore è uguale a ciascuno dei lati obliqui;la loro misura sarà un certo numero di metri x la base minore è i 3/5 di quella maggiore Il perimetro é = di 18 metri 18

Rappresenta una equazione di 1 grado nell’incognita x Quindi la relazione prima indicata diventa:

Reggio Calabria Napoli Dalla Fisica: Due automobilisti partono da due diverse località,Reggio Calabria e Napoli,che distano fra di loro 510 km. Il primo viaggia alla velocità costante di 90km/h,il secondo alla velocità costante di 80 km/h. Dopo quanto tempo si incontrano?E a quale distanza da Reggio Calabria? Provate a dare le vostre risposte: I due automobilisti si incontrano dopo………….. Si trovano alla distanza di km…….da Reggio Calabria

Proviamo adesso a risolvere il problema con lo strumento “equazione” e dopo confrontiamo i risultati e soprattutto il modo di procedere. Ricordate che in Fisica il rapporto tra lo spazio,percorso da un mobile,e il tempo impiegato a percorrerlo,viene misurato da una grandezza chiamata velocità ed espresso in m/s o km/h.? In formule: Da cui si ricavano facilmente,come vedrete dopo aver studiato le equazioni,

Determinare dopo quanto tempo i due automobilisti si incontrano. NEL NOSTRO PROBLEMA: OBIETTIVI Determinare dopo quanto tempo i due automobilisti si incontrano. Determinare a quale distanza da Reggio Calabria si incontrano. DATI Distanza tra le due località : km 510 Velocità del primo automobilista: 90km/h Velocità del secondo automobilista: 80 km/h INCOGNITE Numero delle ore trascorse dalla partenza al momento in cui gli automobilisti si incontrano : x DOMINIO Le ore sono rappresentabili con un numero naturale diverso da zero,quindi: x Є N -{0}

x 90x 80x 90x+80x = 510 LINGUAGGIO NATURALE LINGUAGGIO FORMALE FORMALIZZAZIONE LINGUAGGIO NATURALE LINGUAGGIO FORMALE Due automobilisti partendo da due località diverse si incontrano dopo un certo numero di ore x Il primo automobilista si muove alla velocità costante di 90 km/h e quindi percorre un certo numero di chilometri 90x Il secondo automobilista si muove alla velocità costante di 80 km/h e quindi percorre chilometri 80x Quando i due si incontrano,la somma dei due percorsi 90x+80x corrisponde = Alla distanza tra le due località 510

E’ una equazione di primo grado in una incognita! LA RELAZIONE : 90x+80x=510 COSTITUISCE IL MODELLO MATEMATICO del problema

Le equazioni Un’equazione è un’uguaglianza fra due espressioni algebriche che risulta verificata solo per particolari valori attribuiti alla lettera x. Tali particolari valori costituiscono le soluzioni dell’equazione. Esempio: 2x+1=7 Grado di un’equazione intera nella forma P(x)=0: È il grado del polinomio è un’equazione e risulta verificata solo per il valore di x=3 (soluzione) È di 1° perché il polinomio al primo membro è di 1°. 2x-6 = 0 Le due espressioni a sinistra e a destra del segno di uguaglianza si chiamano membri dell’equazione.

1° membro 2° membro Esempio : Data una generica x-1+2x = 3x-1 Chiameremo 1° membro l’espressione posta a sinistra dell’uguale e 2° membro l’espressione a destra. x – 1 + 2x = 3x - 1 1° membro 2° membro

Le soluzioni di un'equazione I valori che rendono vera l’uguaglianza si chiamano soluzioni o radici dell’equazione. Si può anche dire che tali valori “verificano” l’equazione. Esempio: y-9=1 Ha come soluzione il valore 10, perché 10-9=1. Diciamo che la soluzione è y=10. Risolvere un’equazione significa determinare tutte le sue soluzioni, cioè tutti i valori che verificano l’uguaglianza.

Data un’equazione ax = b determinare una soluzione significa determinare quel particolare valore dell’incognita che rende il primo membro uguale al secondo

Le equazioni equivalenti Due equazioni contenenti la stessa incognita si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. 2 x 3· -6=0 x -2=0 L’equivalenza tra equazioni è una relazione di equivalenza nell’insieme delle equazioni, perché gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.

Principi di equivalenza Per risolvere un’equazione è necessario applicare un procedimento risolutivo, occorre cioè conoscere i metodi che consentono di trasformare un’assegnata equazione in una nuova equazione ad essa equivalente ma di forma più semplice. A tale scopo è necessario applicare due importanti teoremi detti principi di equivalenza. Principi di equivalenza Si utilizzano per trasformare un’equazione in una equivalente, di solito più semplice

Come si utilizzano i principi di equivalenza SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Se si moltiplicano o o si dividono entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero, diverso da 0,o per una stessa espressione letterale ( escludere i valori delle lettere che la annullano o che la rendono priva di significato), si ottiene un’equazione equivalente alla precedente. PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Se si aggiunge o si sottrae una stessa espressione letterale, contenente o no l’ incognita, per entrambi i membri, si ottiene un’equazione equivalente. Esempio: 8x – 6 = 7x + 4 ; x = 10 Applicando il 1° principio, aggiungiamo ambo i membri l’espressione: 6 – 7x: 8x – 6 + 6 – 7x = 7x + 4 + 6 – 7x x = 10 Esempio: 8x = -16 ; x= -2 Applicando il 2° principio, dividendo ambo i membri per 80: 8x : 8 = – 16 : 8 x = – 2

Ecco la soluzione del primo problema analizzato L’equazione risolvente era: ossia: cioé Per il secondo principio di equivalenza,moltiplicando ambedue i membri per 5, diventa 18x = 90 e,dividendo ancora entrambi i membri per 18 si ottiene x= 5 quindi i lati dello steccato AB=BC=AD =5 metri,mentre il lato DC=3 metri.

Ecco la soluzione del secondo problema analizzato LA RELAZIONE : 90x+80x=510 Equivale a: 170x=510 ( modello generale; ax=b) Da cui Dividendo ambedue i membri per 170 ( II principio di equivalenza) Si ottiene: E cioè: Ciò significa che gli automobilisti si incontrano dopo 3 ore dalla partenza Sostituendo poi quest’ultimo dato nella formula già vista L’incontro avviene a 270 km da Reggio Calabria

Equazioni di primo grado numeriche intere ad un’incognita Forma normale: è la forma più semplice in cui può presentarsi un’equazione di primo grado ad un’incognita Ax=B Risoluzione : Principi di equivalenza Equazione in forma complessa Equazione equivalente in forma normale Ax=B Equazione determinata A<>0 Equazione indeterminata A=0; B=0 Equazione impossibile A=0 B<>0 Soluzione x=B/A

I diversi tipi d'equazione Le equazioni si classificano in base: intere alla posizione dell’incognita fratte numeriche ai coefficienti letterali determinate all’ esistenza di soluzioni indeterminate impossibili

Intere Si dice che un’equazione è intera se l’incognita è presente soltanto nei numeratori. ? 2 = 1-7· L’incognita è solo al numeratore.

Fratte Un’equazione fratta si ha quando un’incognita è presente anche al denominatore. 1 ? - 3 4 - 1 = L’incognita è presente anche al denominatore.

Insieme di esistenza Ad esempio,nell’equazione fratta Quando si risolve un’equazione fratta,bisogna fare attenzione al dominio,cioè all’insieme numerico dell’incognita x ! I valori 0 e -1 sostituiti nell’equazione alla x,renderebbero i denominatori nulli,quindi le frazioni senza significato e l’equazione impossibile! Ad esempio,nell’equazione fratta Il dominio è rappresentato da R-{0,-1},cioé dall’insieme dei numeri reali tranne 0 e -1. Ciò significa che la x e quindi la soluzione non potrà mai assumere valore 0 o -1.

Numeriche Abbiamo delle equazioni numeriche quando tutti i coefficienti sono numeri. 2x-5=0 Sono tutti numeri

Letterali In un’equazione letterale nei coefficienti sono presenti anche le lettere (1-2a)x=3ax+1/4 Contiene delle lettere

Anche le equazioni letterali vanno ridotte alla forma normale ax = b Nelle equazioni letterali compaiono oltre alla incognita x altre lettere che possono assumere valore diverso e dare così luogo ad equazioni numeriche di tipo diverso. Ho capito! Le equazioni letterali,sono quelle che si devono discutere! Le loro soluzioni dipendono dal valore del coefficiente della incognita x. Forse è meglio rivedere la slide n.22!

Determinate Un’equazione è determinata se ha un numero finito di soluzioni 1/2x+3=5/2 È determinata in quanto ha una sola soluzione: x= -1

Indeterminate Se un’equazione ha infinite soluzioni è detta indeterminata x+y=1 È indeterminata perché possiede infiniti valori di x, al variare di y e viceversa: Se y=0 allora x=1; Se y =1 allora x=0; Se x=3 allora y=-2 ..ecc. Esempi:

.. un altro caso (x+1)²-1 = x²+2x 1-1 = 0 Questo è un altro caso di equazione indeterminata in quanto NB: la soluzione di questa equazione è data da qualsiasi numero reale, quindi tale equazione ha infinite soluzioni: tutti i numeri reali. 1-1 = 0

Impossibili Un’equazione che non ha soluzioni si chiama impossibile. x+1=x Non esiste alcun valore di x che renda vera l’uguaglianza, per questo si dice che è una equazione impossibile.

ax = b con a,b,x Equazioni determinate (una soluzione) ax = b Un’equazione di 1°,ridotta alla forma normale,assume in generale la forma: ax = b con a,b,x Equazioni determinate (una soluzione) ax = b Equazioni indeterminate (infinite soluzioni) 0x = 0 Equazioni impossibili (nessuna soluzione) 0x = b

Classificazione Equazioni Razionali Irrazionali Numeriche letterali Le incognite non compaiono sotto un segno di radice Irrazionali Le incognite compaiono sotto un segno di radice Numeriche Oltre alle incognite non compaiono altre lettere letterali Oltre alle incognite compaiono altre lettere Grado di un’equazione intera nella forma P(x)=0: È il grado del polinomio Intere le incognite non compaiono in un denominatore Fratte Le incognite compaiono anche nei denominatori