Quel che vedo è sempre vero? A cura di Lucio Vecchio Liceo Scientifico Statale “Giovanni da Procida” - Salerno L’attività è stata realizzata e sperimentata in classe nel corso dell’anno scolastico 2006/07 nell’ambito del Progetto M@t.Abel

I parte

La mia affermazione è corretta? La differenza tra il quadrato di un numero naturale e il quadrato del suo precedente è sempre un numero dispari La mia affermazione è corretta? Verifichiamola con alcuni esempi Completiamo la tabella numero precedente quadrato del numero quadrato del precedente differenza 5 4 8 7 11 10 25 16 9 49 64 15 121 100 21

La somma di due numeri uguali è sempre uguale al loro prodotto Un’altra affermazione …. La somma di due numeri uguali è sempre uguale al loro prodotto Come prima verifichiamola con alcuni esempi Completiamo la tabella numero numero + numero numero x numero 2 4 4 La mia affermazione è corretta? Certamente NO !!! Ma allora … Quel che vedo è sempre vero ?

Basta la verifica fatta per affermare la verità di tale proposizione? Un semplice esempio numerico è sufficiente per dimostrare la falsità della seconda affermazione 3 + 3 ≠ 3 x 3 Provate ora a verificare la prima affermazione con i primi 100 numeri di No e, per non perdere tempo nei calcoli, utilizzate il foglio elettronico Excel Basta la verifica fatta per affermare la verità di tale proposizione?

La differenza dei quadrati: Che cosa ci assicura che l’affermazione: “La differenza tra il quadrato di un numero naturale e il quadrato del suo precedente è un numero dispari” è sempre vera? Formalizziamo algebricamente il problema Un numero: n Il suo precedente: n - 1 La differenza dei quadrati: Qual è lo sviluppo di ? 2n -1 è pari o dispari? Ripeti la dimostrazione indicando il primo numero con n+1 ed il suo precedente con n Qual è lo sviluppo di ? Qual è la differenza tra verificare e dimostrare una congettura?

Formalizziamo algebricamente i seguenti problemi e dimostriamo, come prima, la loro verità 1. la somma di due numeri dispari consecutivi è un numero pari (anzi è un multiplo di 4); (2n+1) + (2n+3) oppure (2n-1) + (2n+1) 2n + (2m+1) 2. la somma di un numero pari con un numero dispari è un numero dispari; 3. il prodotto di due numeri dispari è un numero dispari; (2n+1) (2m+1) 4. il prodotto di due numeri, di cui almeno uno è pari, è pari. Quanti casi dobbiamo considerare? 2n (2m+1) oppure (2n) (2m)

Esercizi per casa Discuti le seguenti affermazioni e dimostra se sono vere o false: • “La somma di tre numeri consecutivi è sempre divisibile per 3”. • “La somma di due numeri consecutivi è sempre dispari”. “La somma di due numeri pari è sempre pari” • “Un numero intero che termina con 7 e non è divisibile per 3 è primo”. • “La somma fra un numero e il suo quadrato è un numero dispari”. Risolvi e commenta Ciascuna delle persone che ha partecipato a un ricevimento ha dato un certo numero di strette di mano. Dimostra che il numero di quelli che ne hanno dato un numero dispari è pari.

II parte

I programmi di geometria dinamica servono a dimostrare le relazioni che intercorrono tra enti geometrici? Costruiamo, ad esempio, con Geogebra le mediane di un triangolo qualsiasi.

Registrazione da LIM

Le mediane sembrano incontrarsi in uno stesso punto ! ma ne siamo sicuri? Se i punti di intersezione fossero distinti, ma distanti l’uno dall’altro meno di 0,00001 mm, ci accorgeremmo della differenza? Le costruzioni fatte ci aiutano ad intuire le possibili relazioni che intercorrono tra gli enti geometrici considerati, ma …. … non basta verificare … occorre dimostrare

Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto Un’altra congettura …. famosa Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi Come prima, proviamo a verificarla con alcuni esempi 6 = 3+3 4 = 2+2 8 = 5+3 16 = 11+5 10 = 5+5 12 = 7+5 14 = 7+7

2) Prova a dimostrare la congettura enunciata Esercizi per casa 1) Utilizzando l’algoritmo di Cantor e le tavole dei numeri primi, verifica la congettura enunciata scegliendo 20 numeri pari a tuo piacimento 2) Prova a dimostrare la congettura enunciata Scegli un numero pari Scegli il numero primo più vicino al pari considerato, purché minore Calcola la differenza La differenza è un numero primo? Il numero pari considerato è la somma dei numeri primi trovati Via Fine Si No

Uno scherzo matematico: tre dispari fanno un pari 3) Leggi il brano e dici perché il problema è inverosimile Uno scherzo matematico: tre dispari fanno un pari XLIII. PROPOSITIO DE PORCIS. Homo quidam habuit CCC porcos, et jussit, ut tot porci numero impari in III dies occidi deberent. Similis est et de XXX sententia. Dicat, qui potest, quot porci impares sive de CCC sive de XXX, inter tres dies [ter] occidendi sunt? Haec ratio indissolubilis ad increpandum composita est. Solutio Ecce fabula! quae a nemini solvi potest, ut CCC porci, sive triginta in tribus diebus impari numero occidantur. Haec fabula est tantum ad pueros increpandos. XLIII. PROPOSIZIONE SU ALCUNI MAIALI. Un uomo aveva 300 maiali. Ordinò che fossero tutti macellati in 3 giorni, ma ogni giorno doveva essere ucciso un numero dispari di maiali. Egli volle che la stessa cosa fosse fatta con 30 maiali. Dica, chi può, quanti maiali vennero uccisi al giorno in numero dispari, del gruppo dei 300 e dei 30 maiali? Questo calcolo irrisolvibile è stato composto per scherno. Soluzione Ecco uno scherzo! Nessuno può risolvere il problema nel modo indicato, cioè in modo che 300 o 30 maiali siano uccisi in 3 giorni, macellandone un numero dispari ogni giorno. Questo è un problema inverosimile ideato solo per mettere alla prova i giovani. Da BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa

Un po’ di storia ed un libro da leggere

La storia ….. Entrambi i problemi sono rimasti irrisolti fino ad oggi. Nel 1742, il matematico prussiano Christian Goldbach scrisse una lettera a Leonhard Euler in cui propose la seguente congettura: Ogni numero dispari maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi. Euler, interessandosi al problema, rispose con una versione più forte della congettura: Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi. La prima delle due è oggi conosciuta come congettura "debole" di Goldbach, la seconda come congettura "forte" di Goldbach. (L'enunciato della versione forte implica quello della congettura debole, poiché ogni numero dispari maggiore di 5 può essere ottenuto aggiungendo 3 ad ogni numero pari maggiore di 2). Si conviene che il termine congettura di Goldbach sia sinonimo di congettura forte di Goldbach. Entrambi i problemi sono rimasti irrisolti fino ad oggi.

…. il libro Apostolos Doxiadis Zio Petros e la congettura di Goldbach Tascabili Bompiani € 6,20