I Sistemi Lineari Molti, problemi per poter essere risolti, hanno bisogno dell’introduzione di uno o più elementi incogniti. Ad esempio consideriamo il problema di “trovare due numeri data la loro somma uguale ad 8 e la loro differenza uguale a 2”.

Risolviamo il semplice problema con una equazione di primo grado in una incognita. Indicando con x il numero maggiore, quello minore sarà 8-x. Sapendo che la loro differenza deve essere uguale a 2, si ha l’equazione x-(8-x)=2 2x-8=2 2x=10 X=5 che rappresenta il numero maggiore. Il minore sarà di conseguenza 8-x = 8-5 = 3 Pertanto la coppia di numeri richiesta è (5,3).

Consideriamo, ora, un altro problema: “trovare due numeri tali che del primo è uguale ai del secondo e che la differenza tra i del secondo e i del primo sia uguale a 9 Gli alunni non riescono a risolverlo con un’equazione ad una incognita e saranno essi stessi a suggerire di introdurre due incognite .

Indicando con x e y, rispettivamente il primo ed il secondo numero, traduciamo in forma algebrica le due condizioni cui i due numeri devono soddisfare cioè Gli alunni si rendono conto della difficoltà di pervenire alla soluzione del problema posto, l’insegnate li tranquillizza annunciando che esistono procedimenti semplici che conducono alla soluzione del problema.

Consideriamo un’equazione lineare in due incognite del tipo ax+by = c e facciamo vedere che esistono infinite coppie di numeri x e y che verificano l’equazione data. Per esempio, data l’equazione 2y = x+8

Attribuendo valori diversi alla x si ottengono i corrispondenti valori di y. Si ha la seguente tabella dalla quale si deduce che le coppie ordinate (0,4) (1, 9/2) (2, 5), (3, 11/2), (4, 6), etc.sono soluzioni dell’equazione data e se ne possono trovare quante se ne vogliano x 1 2 3 4 …… y 9/2 5 11/2 6

Allo stesso modo una qualunque altra equazione in due incognite ad esempio y = x + 3 ammette infinite soluzioni x 1 2 3 4 …… y 5 6 7

Se tra le infinite soluzioni della prima equazione e le infinite della seconda ne esiste una comune,allora si dirà che tale coppia è la soluzione del sistema formato dalle due equazioni date, le quali si associano con una parentesi graffa Dalle tabelle precedenti si ricava che la coppia (2,5) è soluzione di entrambe le equazioni del sistema e, quindi, è soluzione del sistema

che devono essere verificate contemporaneamente Si dice SISTEMA di due equazioni in due incognite un insieme formato da due equazioni che devono essere verificate contemporaneamente e avere dunque soluzioni comuni. Ogni soluzione comune a tutte le equazioni di un sistema, si chiama soluzione del sistema. Risolvere un sistema, significa trovarne tutte le eventuali soluzioni.

Dove indicano numeri noti. I numeri si chiamano Un sistema di due equazioni di primo grado in due incognite x, y, a coefficienti numerici, si dice ridotto a forma normale, se è del tipo: Dove indicano numeri noti. I numeri si chiamano coefficienti delle incognite, mentre si chiamano termini noti.

Un sistema costituito solo da equazioni di primo grado si dice SISTEMA LINEARE Vediamo un esempio di sistema che risolviamo con il metodo di Cramer:

Per ridurre a forma normale il sistema dividiamo ambo i membri della prima equazione per 3 ottenendo il sistema equivalente: dove: 7 1 31 3 -4

METODO DI CRAMER … Un metodo per risolvere un sistema lineare di due equazioni in due incognite: METODO DI CRAMER …

il simbolo si chiama Dato il sistema il simbolo si chiama MATRICE DEI COEFFICIENTI. Dato il sistema il simbolo si chiama DETERMINANTE DELLA MATRICE

Il DETERMINANTE DEL SISTEMA lo indicheremo con  ed esso è dato da: diagonale secondaria diagonale principale Il DETERMINANTE DEL SISTEMA lo indicheremo con  ed esso è dato da:  = = -

x  y  - - = = Adesso indichiamo con abbiamo sostituito nel a, a’ con c, c’  y - = = abbiamo sostituito nel b, b’ con c, c’ 

VALE LA SEGUENTE REGOLA: la soluzione del sistema è  SE la soluzione del sistema è

 X Y -31 -124 -93 NEL NOSTRO CASO, DOVE 7 1 31 3 -4 SI HA: = = = = SI HA:  -31 = = = X -124 = = = Y -93 = = = PERTANTO …

… LA SOLUZIONE DEL NOSTRO SISTEMA E’: ;

Risolviamo lo stesso sistema con il metodo di sostituzione che si applica seguendo la seguente regola: 1)Si risolve una delle equazioni rispetto ad una incognita, per es. la y 2)Si sostituisce l’espressione così trovata al posto della y nell’altra equazione. 3)Si risolve questa equazione rispetto all’incognita y e si viene così ad determinare il valore di questa incognita. 4)Il valore della y si ottiene sostituendo il valore della x nella rispettiva espressione prima trovata

Esplicitiamo la y dalla prima equazione e si ha

Sostituiamo il valore trovato nell’altra equazione

Si risolve la seconda equazione E sostituendo il vaolre nell’altra equazione La soluzione è (4;3)