LA MATEMATICA SOTTO I PIEDI Geometria, arte e illusione A cura di Ornella Sebellin I.S.A.Russoli PISA

Quando visitiamo la Certosa di Calci, siamo così colpiti dalla ricchezza degli ambienti che rischiamo di trascurare quello che calpestiamo: le splendide pavimentazioni settecentesche. Questa mostra, realizzata dai ragazzi e dai docenti dell’I.S.A. Russoli di Pisa, vuol suggerire una lettura diversa del complesso monumentale, ponendo l’attenzione sia sul lato artistico sia sulla ricchezza di contenuti matematici che si possono scoprire osservando “dove mettiamo i piedi”.

I lavori presentati nella mostra sono stati realizzati, nel corso degli anni, dai ragazzi delle prime classi dell’ I.S.A. Russoli di Pisa, in un progetto di lavoro interdisciplinare che ha visto coinvolti docenti di più discipline. I contenuti matematici afferiscono al teorema di Pitagora, ai poligoni, alle isometrie e alle tassellazioni

Il progetto didattico In questo lavoro si è partiti dal rilievo fotografico dei pavimenti delle cappelle e della Chiesa Conventuale. Poi è stato fatto il rilievo grafico e lo studio geometrico delle singole pavimentazioni. Con l’ausilio del computer, si è lavorato sulle simmetrie interne delle figure e sui possibili ricoprimenti del piano.

Il progetto didattico Tutte le pavimentazioni sono state riprodotte come tavole geometriche e poi come tarsie lignee nel laboratorio di modellistica e tarsie su vetro o specchio in quello di vetrata. Alcune sono state realizzate tramite un gioco di specchi. Gli artifici ottici e geometrici, che si rifanno agli antichi modelli romani, diventano l’occasione per ritrovare regole e costruire oggetti matematici, e, giocando con le figure geometriche, per riflettere in modo semplice su concetti anche molto complessi.

Da una particolare pavimentazione si è sviluppato un percorso didattico centrato sulla figura dell’ottagono che ha visto il coinvolgimento di varie discipline: storia, matematica, storia dell’arte, laboratorio di modellistica,educazione visiva. Lo studio geometrico ha portato poi a “sollevare” nello spazio le rappresentazioni modulari e a realizzare alcuni effetti ottici.

Tra le pavimentazioni studiate, c’è anche quella del refettorio dell’attuale Convento di S. Giuseppe, in piazza S. Francesco a Pisa: era questo l’ospizio dei monaci in città, altri erano a Livorno e Pontedera. Inoltre, è stata realizzato il volantino della mostra, che poi è stato tradotto in più lingue (francese, tedesco, russo, inglese) avvalendosi delle competenze di studenti della scuola.

La Certosa di Calci

La Certosa di Calci Fondata nel maggio del 1366 dall'Arcive- scovo di Pisa Francesco Moricotti, per adempiere alle volontà testamentarie del mercante pisano, di origine armena, Pietro di Mirante della Vergine, la Certosa sorge vicino a Pisa, in un luogo detto “Valle graziosa”.

Le pavimentazioni della Certosa di Calci

Le pavimentazioni della Certosa di Calci

Le pavimentazioni della Certosa di Calci

Le pavimentazioni della Certosa di Calci

Il tipo di simmetria del mosaico è p3m1o p6m, a seconda che si tenga presente il colore o le forme geometriche

Le pavimentazioni della Certosa di Calci

Si tratta di uno schema di tipo p6m (se si ignora la colorazione) ovvero p2 (se se ne tiene conto).

Uguali ma diversi

Le pavimentazioni della Certosa di Calci

Il tipo di simmetria del mosaico è diverso a seconda che si consideri il colore (p1) o la geometria della figura (p31m).

Le pavimentazioni della Certosa di Calci

Le pavimentazioni della Certosa di Calci

Le pavimentazioni della Certosa di Calci

Le pavimentazioni della Certosa di Calci

Le pavimentazioni della Certosa di Calci

Le pavimentazioni della Certosa di Calci

Le pavimentazioni della Certosa di Calci

Il Convento di San Giuseppe a Pisa

Convento di San Giuseppe a Pisa. Refettorio del Convento. Il modulo di base è un esagono al cui interno è disegnato un altro esagono con lato dimezzato rispetto al primo

La pavimentazione si presta a numerosi effetti ottici

Se si cambiano le dimensioni dell’esagono interno, come nei due disegni sottostanti, potremmo dire che al tendere a zero del lato dell’esagono (o cubo?) interno, la pavimentazione “tende”….a quella della Cappella di San Bruno.

Oppure si può cambiare la disposizione dei colori in modo opportuno e si ottengono dei cubi “sospesi” alla tassellazione.

Le otto tassellazioni semiregolari

L’esposizione dei lavori

Riproduzione delle pavimentazioni Tarsie lignee

Riproduzione delle pavimentazioni

Riproduzione delle pavimentazioni

Riproduzione delle pavimentazioni

Riproduzione delle pavimentazioni

Riproduzione delle pavimentazioni su specchio

Riproduzione delle pavimentazioni su vetro

Costruzione geometrica

Effetti tridimensionali

Effetti tridimensionali

Effetti tridimensionali

Effetti tridimensionali

Scatole di specchi

Scatole di specchi

Scatole di specchi

Scatole di specchi

Scatole di specchi

Per trovare la forma dei moduli da inserire nelle scatole di specchi, è sufficiente tracciare gli assi di simmetria della pavimentazione e individuare un quadrato o un triangolo.

modulo quadrato

Differenti tipi di moduli

Da una pavimentazione a un problema di equivalenza

Da una pavimentazione a un problema di equivalenza

Un ottagono equivalente ad un quadrato

Un ottagono equivalente ad un quadrato

Un ottagono equivalente ad una stella Dopo aver tracciato tutte le diagonali dell’ottagono, si trovano le altezze dei triangoli isosceli relative ad uno dei lati uguali. Poi si seziona l’ottagono nei sei pezzi della figura di destra.

Da due ottagoni a uno solo Il puzzle permette di ottenere un ottagono regolare a partire da due ottagoni uguali: qual è la lunghezza del lato dei due ottagoni?

Da due ottagoni a uno solo

Il teorema di Pitagora con l’ottagono Il puzzle dell’ottagono permette di verificare, in questo caso, come il Teorema di Pitagora sia valido anche se si considerano gli ottagoni e non solo i quadrati, costruiti sui lati di un triangolo rettangolo isoscele

Il teorema di Pitagora con l’ottagono Possiamo verificare che l’area dell’ottagono costruito sull’ipotenusa del triangolo rettangolo è data dalla somma delle aree degli ottagoni costruiti sui cateti. Può essere un punto di partenza per motivare alla ricerca della dimostrazione della validità del teorema per qualunque figura costruita sull’ipotenusa (purché…).

Frattale di Sierpinski ottenuto a partire da un ottagono

L’ottagono nell’arte Ottagoni regolari in una decorazione di un soffitto a cassettoni nella cella del grande tempio a Palmira (circa 36 d.C.)

MATHEMATIK UNTER UNSEREN FUESSEN Wenn wir die Kartause von Calci besuchen, sind wir erstmal von der reichen Ausschmückung der Räume so ueberwaeltigt, dass wir vielleicht nicht merken, worauf wir treten: die wunderschoenen Fussboeden aus dem 18. Jahrhundert. Die Schule der Kunst F. Russoli aus Pisa laedt euch ein, den monumentalen Komplex auf eine andere Weise anzuschauen, die sowohl die künstlerischen Aspekte als auch die mathematischen Inhalte dessen, „worauf wir treten“, wahrnimmt. Die Kunstausstellung “MATHEMATIK UNTER UNSEREN FUESSEN“ in der Kartause von Calci ist das Resultat der Zusammenarbeit von Lehrern unterschiedlicher Fächer. Die optischen und geometrischen Kunstwerke, die sich an den alten Römern orientieren, geben uns hier die Gelegenheit, mathematische Regeln wieder zu finden, Figuren zu bilden und, mit den Figuren spielend, auf einfache Weise komplexe Konzepte wiederzuspiegeln. So verwandeln hölzerne und gläserne Einlegearbeiten, Spiegelschachteln, verschieden zusammengesetzte Polyeder und achteckige Puzzles aus Glas und Pappkarton das Kunstwerk in “ künstlerische“ Mathematik.

Riconoscere tassellazioni Notazione Cristallografica per i gruppi discreti di simmetria del piano: come interpretare i simboli delle notazioni • Primo simbolo: la lettera p o c indica se la cella è primitiva o centrata, rispettivamente. • Secondo simbolo: il numero, che segue p o c, è l’ordine di rotazione più elevato, p. es. 6 indica l’esistenza di una rotazione di 1/6 di giro. • Terzo simbolo: m indica l’esistenza di una riflessione di asse perpendicolare ad uno dei lati della cella g indica l’esistenza di una glisso-riflessione di asse perpendicolare ad uno dei lati della cella in assenza di riflessioni del tipo precedente 1 significa che non vi è nessun asse di simmetria del tipo precedente • Quarto simbolo: m o g indica la presenza di un asse di simmetria non perpendicolare ad uno dei lati della cella 1 significa che non vi è nessun asse di tale tipo Secondo le indicazioni precedenti, la notazione completa per le abbreviazioni usate convenzionalmente (che usano meno di 4 simboli) risulta pertanto essere la seguente : p1, p2, p3, p4, p6 pm pmm pg pgg pmg cm cmm p4m p4g p6m p111, p211, p311, p411, p611 p1m1 p2mm p1g1 p2gg p2mg c1m1 c2mm p4mm p4gm p6mm

LA MATEMATICA SOTTO I PIEDI Fine della presentazione

Contenuti sviluppati Mappa concettuale Tassellazioni Teorema di Pitagora Isometrie Poligoni

Isometrie nel piano euclideo Simmetria assiale Rotazione Simmetria centrale Simmetria assiale ripetuta Traslazione Il gruppo delle isometrie

Equazioni delle isometrie nel piano cartesiano Simmetria rispetto a ciascuno degli assi cartesiani Simmetria rispetto a rette parallele agli assi Simmetria rispetto all’origine

Riconoscere isometrie tassellazioni Individuare assi di simmetria Tassellazioni semiregolari Individuare il centro di simmetria Tassellazioni regolari Individuare il modulo di base

Poligoni Somma angoli interni Poligoni regolari Somma angoli esterni Poligoni stellati Poligoni equivalenti Poligoni Poligoni e arte Tassellazioni

Teorema di Pitagora Per risolvere un triangolo Per scomporre poligoni