TRIANGOLI E PARALLELOGRAMMI GEOMETRIA TRIANGOLI E PARALLELOGRAMMI

CONGRUENZA DEI TRIANGOLI E SUE CONSEGUENZE

FIGURE CONGRUENTI Due triangoli sono congruenti se esiste un moviemnto rigido con il quale essi possono essere sovrapposti in modo da coincidere. Questo movimento farà coincidere i vertici, i lati e gli angoli del primo triangolo con i vertici e gli angoli corrispondenti del secondo triangolo.

C C1 A B B1 A1 ABC A1B1C1  AB  A1B1, AC A1C1, lati omologhi o corrispondenti BC C1B1, A A1, B B1, angoli corrispondenti C C1 Due triangoli sono congruenti se hanno i sei elementi (3lati e 3 angoli) rispettivamente congruenti (angoli congruenti sono opposti a lati congruenti e viceversa). Ma bastano 3 di queste relazioni di congruenza per dire che i triangoli sono congruenti.

PROPRIETA’ L’inverso di un teorema è una proprietà

PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo tra loro compreso, essi sono congruenti. OSSERVAZIONE: ad angoli congruenti stanno opposti lati congruenti, e viceversa, a lati congruenti sono opposti angolicongruenti.

A B B1 A1 IPOTESI: AC A1C1 lato AB  A1B1 lato CABC1A1B1 angolo C C1 A B B1 A1 IPOTESI: AC A1C1 lato AB  A1B1 lato CABC1A1B1 angolo TESI: ABCA1B1C1 triangolo Bastano queste 3 relazioni (2 lati ed un angolo congruenti) per dimostrare che i due angoli sono uguali.

DIMOSTRAZIONE (verifica sperimentale) Si parte dall’angolo: CABC1A1B1 Se con un movimento rigido sovrappongo i due angoli, anche le due semirette (lati dei triangoli) si sovrapporranno. La semiretta che contiene AC si sovrappone a quella che contiene A1C1. AB si sovrappone ad A1B1. Poiché AC è congruente ad A1C1 ed AB ad A1B1, Ccoincide con C1, il vertice B coincide con B1, è chiaro che il lato BC coincide e si sovrappone con B1C1. Anche l’angolo in C1 coincide con C e B coincide con B1. Quindi il triangolo ABC coincide con il triangolo A1B1C1.

TEOREMA In un triangolo isoscele, gli angoli alla base sono congruenti. C IPOTESI: ACBC TESI: CABCBA A E B

DIMOSTRAZIONE Si considera la bisettrice dell’angolo al vertice CE. Consideriamo i due triangoli ACE e CBE, essi hanno: CE in comune CA CB per ipotesi ACEBCE per costruzione, poiché ho creato e tracciato la bisettrice I due triangoli sono congruenti per il 1° criterio dei congruenza, perché hanno 3 elementi congruenti, 2 lati ed un angolo. Il triangolo ACE  CBE, quindi l’angolo CAB  ABC, C.V.D.(come volevasi dimostrare)

ANGOLI SUPPLEMENTARI Gli angoli supplementari di uno stesso angolo o di angoli congruenti, sono congruenti tra loro. Angoli supplementari di uno stesso angolo. i due angoli supplementari sono uguali π -   π -  π - 

Angoli supplementari di angoli congruenti, sono complementari tra loro. a b a1 b1   o o Angoli    Anche gli angoli supplementari π -   π -  saranno congruenti

PROPRIETA’ Somme o differenze di angoli rispettivamente congruenti, sono congruenti.      +    +   -    - 

TEOREMA Angoli opposti al vertice sono congruenti A B   O Angolo AOB   O Angolo AOB Da dimostrare     e  sono supplementari dello stesso angolo AOB π- AOB=  π- AOB=  per la definizione di angoli supplementari π  π AOB  AOB π-AOB  π- AOB    perché sono differenze di angoli congruenti

SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA Se due triangoli hanno rispettivamente due angoli e il lato tra loro compreso congruenti, essi sono congruenti. C C1 D A B A1 B1 IPOTESI: Angolo A  A1 Angolo B  B1 AB A1B1 TESI: Triangolo ABC  A1B1C1

DIMOSTRAZIONE per assurdo IPOTESI: vera (Nego la TESI) non TESI: vera Se ottengo una contraddizione o un assurdo…non potendo essere vera la non TESI, non TESI: falsa Vuol dire che la TESI è vera TESI: vera

DIMOSTRAZIONE 1. IPOTESI: lato AB  A1B1 angolo CAB  C1A1B1 angolo ABC  A1B1C1 TESI: triangolo ABC  A1B1C1 2. Nego la TESI: ABC non congruente a A1B1C1 ACA1C1 supponiamo che i leti siano diversi ACA1C1 supponiamo che uno dei due angoli sia maggiore dell’altro; esisterà un punto di AC, detto D, tale che AD sia congruente ad A1C1: AD  A1C1 Consideriamo il triangolo ABD e quello A1B1C1, essi hanno: AB  A1B1 per ipotesi CAB  C1A1B1 per ipotesi AD  A1C1 per costruzione Hanno due lati ed un angolo compreso congruenti: per il 1° criterio di congruenza. I rispettivi angoli opposti devono essere congruenti: angolo ABD  A1B1C1 perché angoli corrispondenti in triangoli congruenti.

Angolo CBA  C1B1A1 ABD  A1B1D1 per la proprietà transitiva della congruenza. Ma angolo ABD  CBA è un ASSURDO perché l’angolo ABD è una parte di ABC, preché DB, la semiretta, è interna all’angolo ABC. Resta dimostrata la verità della TESI. C C1 D A B A1 B1

2° TEOREMA DELL’ANGOLO ESTERNO E’ UNA PROPRIETA’ DEI TRIANGOLI In ogni triangolo un angolo esterno è congruente alla somma dei due angoli interni ad esso “non adiacenti”. La somma degli angoli interni di un triangolo qualuncue è congruente ad un angolo piatto. - gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari. in ogni triangolo equilatero ciascun angolo è congruente a 60°. se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti hanno congruenti anche gli angoli rimanenti (per differenze di angoli congruenti)

Pag. 79 n° 17 IPOTESI: ABC triangolo DAC angolo esterno TESI: angolo DAC  angoli CAB + ACB DIMOSTRAZIONE: Traccio un asemiretta di origine A parallela a BC e interna all’angolo CAD. Considero le rette AH//BC tagliate dalla trasversale BD. Esse formano: gli angoli corrispondenti DAH e ABC  per la proprietà delle rette parallele. Considero le rette AH//BC tagliate dalla trasversale AC. Esse formano: gli angoli alterni interni HAC e BCA  per la proprietà delle rette parallele. Essendo gli angoli DAC= angoli DAH+HAC allora, DAC  CBA + ACB perché somme di angoli congruenti.

LA SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN TRIANGOLO È CONGRUENTE A 180° La conseguenza è che la somma degli angoli interni di un triangolo è congruente a 180° (pag. 80 n°18): gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari, per la proprietà del triangolo rettangolo; In ogni triangolo equilatero ciascun angolo è congruente alla 3^ parte di un angolo piatto, per la proprietà del triangolo equilatero; Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti, hanno congruenti anche gli angoli rimanenti; per differenza di angoli congruenti. Di conseguenza: abbiamo il 2° criterio generalizzato

2° CRITERIO GENERALIZZATO Due triangoli aventi rispettivamente congruenti un lato e due angoli qualsiasi, purché ugualmente disposti, sono congruenti.

1° CRITERIO DEL TRIANGOLO ISOSCELE Sapendo che un triangolo ha 2 angoli congruenti, il triangolo è isoscele, per il 1° criterio

2° CRITERIO DEL TRIANGOLO ISOSCELE Sapendo che un triangolo ha 2 lati congruenti, il triangolo è isoscele, per definizione

2^ PROPRIETA’ DEL TRIANGOLO ISOSCELE In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è pure altezza e mediana relativa alla base.

3^ PROPRIETA’ DEL TRIANGOLO ISOSCELE In un triangolo isoscele la mediana alla base è pure altezza e bisettrice al vertice.

4° PROPRIETÀ DEL TRIANGOLO ISOSCELE In un triangolo isoscele l’altezza relativa alla base è anche mediana e bisettrice dell’angolo al vertice.

SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN POLIGONO La somma degli angoli interni di un poligono convesso è congruente a tanti angoli piatti quanti sono i lati del poligono meno 2.

CONGRUENZA DI 2 TRIANGOLI RETTANGOLI Per essere congruenti devono avere: un cateto  : secondo il 1° criterio un cateto e l’angolo acuto adiacente  : per il 2° criterio L’ipotenusa e un angolo acuto: per il 2° criterio generalizzato un cateto e l’angolo acuto opposto: per il 2° criterio generalizzato L’ipotenusa ed un cateto

PARALLELOGRAMMO È un quadrilatero avente i lati opposti paralleli

PROPRIETA’ DEL PALALLELOGRAMMO In ogni parallelogrammo: Ciascuna diagonale divide il parallelogrammo in 2 triangoli congruenti I lati opposti sono congruenti Gli angoli opposti sono congruenti Gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari Le due diagonali hanno lo stesso punto medio

CRITERI DEL PARALLELOGRAMMO In ogni parallelogrammo: Se le diagonali hanno lo stesso punto medio Se i lati sono congruenti Se gli angoli opposti sono congruenti Se gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari Se ha due lati opposti congruenti e paralleli

PROPRIETA’ DEL QUADRATO E DEL RETTANGOLO Parallelogramma avente 4 angoli retti

PROPRIETA’ DEL QUADRATO E DEL RETTANGOLO Le diagonali sono congruenti Il centro è equidistante dai vertici

CRITERIO DEL RETTANGOLO Un parallelogramma, avente le diagonali congruenti, è un rettangolo