Ricerca di minimi e massimi di funzioni

Introduzione Data una funzione f che dipende da una o più variabili, si vogliono trovare i valori delle variabili in corrispondenza dei quali f assume valore massimo o minimo, e calcolare tale valore i due problemi sono equivalenti: il massimo (minimo) di f è il minimo (massimo) di –f Classificazione degli estremi: estremo globale: è il punto in cui la funzione assume il valore più alto (o più basso) in assoluto estremo locale: è il punto in cui la funzione assume il valore più alto (o più basso) limitatamente ad un intorno dell’estremo (massimi e minimi relativi) In genere si vogliono ricercare gli estremi locali di una funzione Ci sono due tipi di metodi di ricerca di massimi e minimi: metodi che non richiedono il calcolo delle derivate metodi che richiedono il calcolo delle derivate nel caso multidimensionale la derivata è un gradiente in genere questi metodi richiedono un numero maggiore di calcoli, ma sono più efficaci

Intrappolamento (“bracketing”) Un minimo di una funzione f(x) si dice intrappolato se esistono tre punti a,b,c con a<b<c tali che f(b)<f(a) e f(b)<f(c) in questo caso, se f(x) è continua, il minimo si troverà in un punto dell’intervallo [a,c] nel caso di un massimo, devono esistere tre punti a,b,c con a<b<c tali che f(b)>f(a) e f(b)>f(c) x y a b c f(c) f(b) f(a)

Metodo della sezione aurea (1) Si parte da un minimo inizialmente intrappolato Detti a,b,c i punti che intrappolano il minimo si ha: Analogamente a quanto viene fatto nel metodo di bisezione, si cerca un nuovo punto x, compreso tra a e b oppure tra b e c, che restringa l’intervallo Supponiamo di scegliere x tra b e c: se f(x)>f(b) il nuovo tripletto di punti sarà a,b,x se f(x)<f(b) il nuovo tripletto di punti sarà b,x,c x y a b c x y a b c x x

Metodo della sezione aurea (2) Il processo di intrappolamento viene arrestato quando la distanza c-a è sufficientemente piccola se  è la precisione della macchina, si potrebbe pensare di fermare il processo quando a=b(1- ) e c=b(1+ ) in realtà conviene fermarsi prima per evitare troppi calcoli Se x=b è la posizione del minimo, in un intorno di x si ha: Il secondo termine della somma deve essere trascurabile rispetto al primo (di un fattore ): Poiché il termine sotto radice è in genere dell’ordine dell’unità, è sufficiente che la larghezza frazionaria dell’intervallo |x-b|/b sia dell’ordine di ε1/2 in questo modo si evita di effettuare troppe bisezioni

Metodo della sezione aurea (3) Quale è la strategia migliore per scegliere il nuovo punto x in ogni iterazione? Poniamo: Supponiamo che il punto x successivo si trovi tra b e c e poniamo: Se x si trova tra a e b si ragiona analogamente (in questo caso sarà Z<0) a b c x W(c-a) (1-W)(c-a) Z(c-a)

Metodo della sezione aurea (4) A seconda del valore di f(x) si sceglierà il nuovo tripletto di punti: se f(x)>f(b) i nuovi 3 punti da usare sono a,b,x il nuovo intervallo [a,x] ha lunghezza (W+Z)(c-a) se f(x)<f(b) i nuovi 3 punti da usare sono b,x,c il nuovo intervallo [b,c] ha lunghezza (1-W)(c-a) Conviene scegliere Z in maniera tale che, qualunque condizione si verifichi, l’intervallo finale abbia sempre la stessa lunghezza: Con questa scelta |b-a|=|x-c|: a b c x W(c-a) (1-W)(c-a) Z(c-a)

Metodo della sezione aurea (5) Il punto x è il simmetrico di b nell’intervallo [a,c] il punto x si trova sempre all’interno del più lungo tra i segmenti [a,b] (se Z<0) e [b,c] (se Z>0) Consideriamo i tripletti di punti a,b,c e b,x,c: Se gli intervalli vengono divisi sempre allo stesso modo, allora i due rapporti devono essere uguali e quindi deve aversi: a b c x W(c-a) (1-W)(c-a) Z(c-a)

Metodo della sezione aurea (6) L’intrappolamento ottimale porta a tripletti di punti in cui il punto centrale si trova ad una distanza frazionaria W=0,38197 da uno dei due estremi e ad una distanza frazionaria 1-W=0,61803 dall’altro estremo (sezioni auree) Dato un tripletto di punti a,b,c, il punto successivo x in cui calcolare il valore della funzione si trova alla distanza frazionaria W=0.38197 dal punto di mezzo del tripletto, nel più lungo dei due intervalli [a,b] o [b,c] Se gli intervalli del tripletto di partenza non rispettano i rapporti aurei non è un problema la procedura iterativa converge rapidamente verso intervalli ottimali La dimensione dell’intervallo ottenuto alla n-esima iterazione è pari a 0,61803 volte la dimensione dell’intervallo ottenuto alla (n-1)-esima iterazione questo valore va confrontato con il valore di 0,5 del metodo di bisezione per la ricerca degli zeri

Interpolazione parabolica (1) Se la funzione f(x) è abbastanza regolare, in un intorno del minimo si può approssimare il suo grafico con quello di una parabola Sia x0 l’ascissa del minimo e sviluppiamo f(x) in serie di Taylor in un intorno di x0: avendo sfruttato il fatto che f’(x0)=0 In prossimità del minimo ha dunque senso approssimare il grafico della funzione con quello di una parabola Una volta individuati 3 punti a,b,c che intrappolano il minimo di f(x) consideriamo la parabola per i tre punti [a,f(a)], [b,f(b)] e [c,f(c)] il minimo della parabola (che ne è anche il vertice) sarà usato come approssimazione del minimo della funzione

Interpolazione parabolica (2) Scriviamo l’equazione della parabola che passa per i tre punti [a,f(a)], [b,f(b)] e [c,f(c)] nella forma: e determiniamo i parametri A, B e C: Restano da risolvere la prima e la terza equazione per trovare i valori di A e B

Interpolazione parabolica (3) Riscrivendo in maniera opportuna le due equazioni e sottraendo membro a membro si ha:

Interpolazione parabolica (4) Cerchiamo adesso l’ascissa del minimo della parabola: Sostituendo i valori di A e B determinati prima si ha: L’interpolazione parabolica viene usata nel metodo di Brent, in combinazione con la regola aurea

Massimi e minimi di funzioni in più di una variabile

Metodo di Nelder e Mead (1) Il metodo di Nelder e Mead, noto come “downhill simplex method” o “metodo dell’ameba”, permette di ricercare massimi e minimi di funzioni di più variabili In tale metodo si utilizzano soltanto i valori della funzione, senza calcolarne le derivate Definizione: si chiama “simplex” in uno spazio a N dimensioni la figura geometrica definita da N+1 vertici e da tutte le linee che connettono tali vertici nello spazio a 2 dimensioni un simplex è un triangolo nello spazio a 3 dimensioni un simplex è un tetraedro In generale ci interessano i simplex non degeneri, ossia i simplex che racchiudono un volume N-dimensionale nello spazio a 2 dimensioni un triangolo è degenere se i suoi 3 vertici sono collineari in tal caso il triangolo degenera in un segmento e la sua superficie è nulla nello spazio a 3 dimensioni un tetraedro è degenere se i suoi 4 vertici sono complanari in tal caso il tetraedro degenera in un triangolo ed il suo volume è nullo in generale, nello spazio a N dimensioni un simplex è degenere se i suoi N+1 vertici sono contenuti in un iperpiano di dimensione N-1

Metodo di Nelder e Mead (2) Si sceglie un simplex di partenza individuato dagli N+1 punti P0,P1,...,PN in genere conviene fissare P0 e scegliere gli altri N punti in modo che sia: dove gli ei sono N vettori unitari linearmente indipendenti e λ è una costante che può rappresentare una costante di scala del problema in esame in principio si possono scegliere N valori di λi diversi Si procede in maniera iterativa: in ogni iterazione il simplex ottenuto nell’iterazione precedente viene opportunamente modificato

Metodo di Nelder e Mead (3) Possibili operazioni: riflessione: il punto in cui f(x) ha il valore più alto viene sostituito con il suo simmetrico rispetto alla faccia opposta del simplex riflessione con espansione: il punto in cui f(x) ha il valore più alto è sostituito con un punto simmetrico rispetto alla faccia opposta del simplex, a distanza maggiore contrazione lungo una dimensione: il punto in cui f(x) ha il valore più alto è sostituito con un punto lungo la perpendicolare alla faccia opposta, a distanza minore contrazione lungo tutte le dimensioni verso il punto in cui f(x) ha il valore più basso: gli altri N punti del simplex dove f(x) ha il valore maggiore vengono spostati lungo la congiungente con il punto in cui f(x) ha il valore più basso in direzione di tale punto

Metodo di Nelder e Mead (4) B C A’ A B C A’ riflessione riflessione con espansione f(A)>f(B)>f(C) A B C A’ C A’ A B’ B contrazione in una dimensione contrazione lungo più dimensioni

Metodo di Nelder e Mead (5)

Metodo di Nelder e Mead (6) La procedura iterativa sceglie di volta in volta quale è l’operazione più opportuna da compiere sul simplex di partenza La procedura termina quando la distanza percorsa in una iterazione è più piccola di un valore di tolleranza prefissato dall’utente tipicamente si sceglie una tolleranza pari alla precisione della macchina A volte la procedura iterativa può essere terminata erroneamente è sempre bene far ripartire l’algoritmo dal punto in cui è stato individuato il minimo se effettivamente il punto di partenza è un minimo, allora la procedura iterativa restituirà ancora una volta tale punto

Esempio Consideriamo la funzione f(x,y)=(1-x)2+100(y-x2)2+1 Tale funzione ha un minimo in (1,1) e f(1,1)=1