Decadimento g L’emissione di raggi g (radiazione elettromagnetica) si verifica quando un nucleo si forma in uno stato eccitato (ad es. dopo un decadimento a o b o dopo un urto). La trattazione delle transizioni radiative nei nuclei è generalmente simile a quella per gli atomi, eccetto che Atomo Eg  eV l  108 fm G  109 s-1 . Solo le transizioni di dipolo sono importanti Nuclei Eg  MeV l  102 fm G  1016 s-1 . Sono importanti anche transizioni di ordine superiore. Il moto collettivo di . molti p porta a rate di transizione maggiori Due tipi di transizioni: Transizioni elettriche (E): sono dovute da una carica oscillante che causa un’oscillazione del campo elettrico esterno Transizioni magnetiche (M): sono dovute a una corrente o un momento magnetico variabile che causano un campo magnetico variabile Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

L’emissione di un singolo g è proibita fra due stati J = 0. Nel caso più semplice, il fotone porta via il momento angolare L quando un protone di un nucleo fa una transizione dallo stato iniziale di momento angolare Ji allo stato finale di momento angolare Jf Il fotone ha JP=1-  L  1 L’emissione di un singolo g è proibita fra due stati J = 0. Transizioni 0  0 possono verificarsi solo attraverso conversione interna o con l’emissione di più di un g Le probabilità di transizione sono ottenute utilizzando la regola d’oro di Fermi Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Apriamo una parentesi ... Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Il campo elettromagnetico Le equazioni di Maxwell sono Introducendo il potenziale scalare f e il potenziale vettore A, il campo elettrico e magnetico possono essere espressi come Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Queste non determinano i potenziali univocamente, poichè la trasformazione trasformazione di gauge non cambiano E e B  invarianza di gauge

Riscriviamo le eqq. 1 e 2 in termini dei potenziali. Concentriamoci sulla 2. Usando la relazione possiamo riscrivere Definition of nuclear physics Areas of study and the applications L’invarianza di gauge ci permette di fissare delle condizioni. Una conveniente è gauge di Coulomb

che è un’equazione d’onda. Se assumiamo soluzioni del tipo Consideriamo adesso il caso del campo libero, cioè assenza di cariche e correnti: r = 0, j = 0. In assenza di cariche, eq. 1 diventa che ha come soluzione che si annulla all’infinito f = 0. Eq. 2 diventa invece che è un’equazione d’onda. Se assumiamo soluzioni del tipo la condizione fissata dal gauge di Coulomb implica che Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Quindi A è perpendicolare alla direzione di propagazione del vettore d’onda k  onda trasversale

Modi normali del campo di radiazione Supponiamo che il sistema sia racchiuso in una scatola di lato A. Abbiamo le condizioni di frontiera Le funzioni formano un insieme completo di vettori ortonormali trasversi. Possiamo quindi espandere A in serie di Fourier usando questi campi Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Coefficiente inserito solo per convenienza futura Questa forma assicura che A sia reale: A = A*

La soluzione di questa equazione può essere scritta come Se sostituiamo questa espansione nell’equazione d’onda di A troviamo che ciascun coefficiente al(k,t) soddisfa La soluzione di questa equazione può essere scritta come Se definiamo i vettori l’espansione di Fourier assume la forma Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Questa può essere ulteriormente semplificata introducendo

Per i campi elettrico e magnetico abbiamo Energia del campo elettromagnetico. Vogliamo calcolare l’energia totale del campo in termini di A(k), Per i campi elettrico e magnetico abbiamo Nei quadrati di queste somme, tutti i prodotti con k e k’ tali che k’  -k sono nulli nell’integrale perchè contengono termini del tipo Definition of nuclear physics Areas of study and the applications dalle condizioni di frontiera Nei termini con k’ = - k gli esponenziali scompaiono per cui

Poichè abbiamo Torniamo ai vettori Troviamo che Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Troviamo che

L’oscillatore armonico L’hamiltoniana dell’oscillatore armonico classico può essere fattorizzata nel modo seguente In meccanica quantistica dobbiamo fare attenzione all’ordine perchè x e p non commutano Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Di conseguenza

Introduciamo gli operatori possiamo riscrivere l’hamiltoniana nella forma Poichè l’energia del sistema è una grandezza definita positiva, segue che anche l’operatore N = aa+ è definito positivo. Quindi N possiede un autovalore minimo non negativo n0  0. Dall’equazione agli autovalori segue che Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Quindi a|n> e a+|n> sono autostati di n corrispondenti a autovalori n e n + 1

Se n0 è l’autovalore minimo, allora Quindi gli autovalori di N sono gli interi n = 0, 1, 2, 3, ... Se lo stato |n> è normalizzato a 1, allora anche |n1> sono normalizzati se Possiamo costruire lo stato |n> applicando ripetutamente a+ sullo stato del vuoto Queste sono dunque anche gli autostati dell’hamiltoniana dell’oscillatore armonico con autovalori dell’energia Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Gli operatori a+/ a sono detti di innalzamento/abbassamento o di creazione/distruzione

Confronto con l’hamiltoniana del campo di radiazione: Evoluzione temporale. Abbiamo finora fissato il tempo (t = 0). L’evoluzione temporale può essere seguita nella rappresentazione di Heisemberg (gli operatori sono funzione del tempo) da cui Confronto con l’hamiltoniana del campo di radiazione: - Stessa forma di H (a parte un fattore costante) - Stessa equazione che governa l’evoluzione temporale dei termini a e a+ Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Quantizzazione del campo di radiazione L’hamiltoniana del campo di radiazione è una sovrapposizione di oscillatori armonici. Introduciamo quindi le relazioni di commutazione l’hamiltoniana del campo di radiazione diventa Gli operatori Nl(k) = a+l(k) al(k) hanno autovalori nl(k) = 0, 1, 2, ... e autostati Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Gli autostati e gli autovalori di H sono

nl(k) = numero di fotoni di polarizzazione l e momento k. Poichè nl(k) = 0, 1, 2, ...  i fotoni soddisfano la statistica di Bose-Einstein – sono bosoni L’energia dello stato del vuoto |0> (lo stato in cui non ci sono fotoni) è Questa è però una costante additiva senza significato fisico che può essere eliminata traslando lo zero della scala dell’energia. Il potenziale vettore diventa ora un operatore Definition of nuclear physics Areas of study and the applications contiene operatori di distruzione  può diminuire il numero di fotoni contiene operatori di creazione  può aumentare il numero di fotoni

Chiusa parentesi ... Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Interazione radiazione-materia L’hamiltoniana di una particella libera è descritta H = p2 / 2m. L’interazione con la radiazione è descritta operando la sostituzione Abbiamo Gauge di Coulomb Possiamo quindi decomporre H nella parte libera e in quella di interazione Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Termine lineare in A: descrive processi in cui è emesso o assorbito un fotone Termine quadratico in A: descrive processi in cui sono emessi o assorbiti due fotoni

Transizioni radiative In una transizione fra due stati atomici o nucleari un viene emesso o assorbito un fotone. Abbiamo gli stati iniziale e finale stato iniziale stato finale Abbiamo stato nucleare stato fotonico Dobbiamo quindi calcolare l’elemento di matrice Definition of nuclear physics Areas of study and the applications In HI contribuirà solo la parte di A contenente operatori di creazione, e solo il termine dell’espansione k che conserva l’energia

Emissione spontanea: nl(k) = 0 nello stato iniziale Abbiamo quindi Aspetto interessante: fattore nl(k) + 1  emissione stimolata – più fotoni ci sono nello stato finale maggiore è l’emissione Emissione spontanea: nl(k) = 0 nello stato iniziale Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Il rate di transizione è dato dalla regola d’oro di Fermi

Interazione di dipolo Nell’approssimazione di dipolo si ha Giustificazione: valida se la lunghezza d’onda della radiazione l = 2p / k > dimensioni lineari R del sistema, cosicchè Per raggi g emessi da nuclei abbiamo R  fm. Inoltre, Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Quindi l’approssimazione di dipolo è valida per energie tipiche delle transizioni nucleari. Ora Usiamo l’equazione del moto

Arriviamo quindi al risultato La differenza di energia fra lo stato finale e iniziale è uguale all’energia del fotone emesso Arriviamo quindi al risultato Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Il rate di transizione è

Poichè k = /c possiamo anche riscrivere Densità di stati finali. Il numero di stati fotonici nell’intervallo (k, k + dk) è Poichè k = /c possiamo anche riscrivere La densità di stati è Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Il rate di transizione è quindi

Somma sugli stati di polarizzazione l del fotone. Abbiamo I vettori e1(k), e2(k), e k formano un sistema ortonormale. Quindi  = angolo fra rBA e k Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Quindi Otteniamo la probabilità di transizione totale integrando su tutte le direzioni

Rate di transizione totale Per stimare questo rate poniamo R = raggio nucleare Essendo Eg = h, Per Eg = 1 MeV, R = 5 fm, Definition of nuclear physics Areas of study and the applications (per una transizione atomica abbiamo w  109 s-1)

 illustrazione del principio di corrispondenza Il rate può essere convertito nell’intensità della radiazione (potenza) moltiplicando per l’energia di un fotone Questa è la formula classica dell’intensità emessa da un dipolo oscillante avente momento di dipolo  illustrazione del principio di corrispondenza Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Regole di selezione Poichè le funzioni d’onda nucleari hanno parità definita, l’elemento di matrice può essere non nullo solo se gli stati iniziale e finale hanno parità opposta Transizione E1  la parità del nucleo cambia Supponiamo di avere uno stato iniziale e finale caratterizzati da numeri quantici ni, li, mi, e nf, lf, mf (trascuriamo lo spin dei nucleoni). L’elemento di matrice ha la forma Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Concentriamoci sulla parte angolare. Abbiamo

Quindi l’integrale contiene termini del tipo Facendo uso di possiamo riscrivere Quindi l’integrale contiene termini del tipo Consideriamo prima l’integrazione azimutale, Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Questo porta quindi alla regola di selezione

Stato di polarizzazione circolare a sinistra=stato di elicità positiva Assumiamo che l’asse z coincida con la direzione del vettore d’onda k. Allora ez = 0 e m = ±1 cosicchè Se lf = mf = 0 allora m = -mi. Assumiamo ad esempio che polarizzazione del lungo z sia mi = 1. Allora m = -1 e il vettore di polarizzazione della radiazione è La conservazione del momento angolare richiede che esso sia portato via dal fotone. Quindi il suo spin deve essere allineato lungo la direzione z positiva  deve avere elicità positiva Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Stato di polarizzazione circolare a sinistra=stato di elicità positiva Stato di polarizzazione circolare a destra=stato di elicità negativa

In generale vale la relazione (C sono detti coefficienti di Wigner) L’integrazione in  dà luogo a un’altra regola. Assumiamo il caso lf = 0. Poichè Y 0,0=1 / (4p)1/2 , abbiamo Quindi lo stato iniziale deve avere li = 1. Transizioni 0  0 sono proibite. In generale vale la relazione (C sono detti coefficienti di Wigner) Sostituendo nella parte angolare dell’ampiezza otteniamo Definition of nuclear physics Areas of study and the applications a meno che regola di selezione della radiazione di dipolo elettrico (non ci sono transizioni 00)

Transizioni di ordine superiore Se le regole di selezione proibiscono la transizione di dipolo A  B, il processo di emissione può procedere attraverso termini di ordine superiore dell’espansione Col secondo termine abbiamo a, b (=1, 2, 3) sono le componenti cartesiane dei vettori e, k, r L’elemento di matrice può essere scritto come somma di una parte simmetrica e una antisimmetrica Definition of nuclear physics Areas of study and the applications operatore momento angolare antisimmetrico  interazione di dipolo magnetico operatore di quadrupolo elettrico  interazione di quadrupolo elettrico

Interazione di dipolo magnetico Interazione di dipolo magnetico: Lz = r1p2 – r2p1 proporzionale al momento magnetico  generata dalle correnti elettriche dovute ai protoni Dobbiamo inoltre aggiungere il contributo dei momenti magnetici intrinseci. La componente z dell’elemento di matrice contiene quindi l’operatore Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Sotto parità il momento magnetico si trasforma come il momento angolare Transizione M1  non cambia la parità del nucleo

Possiamo quindi scrivere Tipicamente Magnetone nucleare Possiamo quindi scrivere Nel caso di un protone la sua lunghezza d’onda Compton è Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Assumendo R  5 fm, troviamo

Radiazione di multipolo Se gli stati nucleari iniziale e finale differiscono per più di una unità di momento angolare radiazione di multipolo di ordine superiore Classificazione Dipolo E1 Dipolo M1 Quadrupolo E2 Quadrupolo M2 ottupolo E3 Ciascun termine successivo in A è ridotto rispetto al precedente di un fattore kR. Per k  1 MeV, R  5 fm  kR  5 MeV fm  0.025 (5 MeV fm / hc). Quindi Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Abbiamo le regole di selezione della parità L’elemento di matrice di una transizione E2 va come r2  pari sotto trasformazione di parità Abbiamo le regole di selezione della parità transizioni EL parità = (-1)L transizioni ML parità = (-1)L+1 e del momento angolare Definition of nuclear physics Areas of study and the applications In generale, un decadimento procederà in modo dominante dal processo di ordine più basso permesso dalla conservazione del momento angolare e della parità. Ad esempio, se un processo ha DJ = 2, la parità non varia, esso procederà via E2, anche se M3 e E4 sono pure permessi.

Anche gli effetti collettivi possono essere importanti: Esempio: Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Informazioni sulla natura delle transizioni è molto utile per dedurre i valori JP degli stati. Anche gli effetti collettivi possono essere importanti: - molti nucleoni partecipano alle transizioni - Se un nucleo un grande valore di Q stati rotazionali eccitati favoriscono le transizioni E2

Generalizzazione dei risultati. I calcoli dettagliati danno dovute al momento magnetico intrinseco dovute alle coordinate spaziali Gli elementi di matrice elettrico e magnetico dovuti alle coordinate spaziali possono essere scritti in coordinate polari Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Ciascuna ampiezza è una somma di Z integrali ! I termini Q’Lm, M’Lm sono la somma di A integrali e contengono le matrici di Pauli.

Assumiamo che RnL sia costante da r = 0 a r = R. Poniamo Per fare una stima proviamo qualcosa di semplice. Consideriamo la transizione di un singolo protone Assumiamo che RnL sia costante da r = 0 a r = R. Poniamo normalizzazione della funzione d’onda L’integrale radiale è quindi Definition of nuclear physics Areas of study and the applications L’integrazione della parte contenente le funzioni sferiche porta a un fattore S(Ji,Jf,L) che è dell’ordine dell’unità modulo quadro dell’ampiezza

In modo analogo, per transizioni magnetiche si ha Procedendo in modo sistematico si ottengono le stime di Weisskopf Esse forniscono non tanto stime assolute dei rate. Sono utili per confronti relativi dei rate di transizione Definition of nuclear physics Areas of study and the applications