Leggi di potenza e di Zipf Social Networks

Distribuzione di parametri Esempio: supponendo di avere a disposizione i dati sul numero di accessi a un certo insieme S di n siti Web, studiare la distribuzione di A(x) rispetto a x, dove: x = # accessi nell’ultimo mese A(x) = # di siti ai quali sono stati fatti x accessi nell’ultimo mese Social Networks

Piu’ formalmente… Interessa il seguente problema: data una popolazione S di n individui e un parametro P (reale o intero) di interesse, determinare l’andamento di A(x), dove x = valore del parametro A(x) = # individui per cui P = x Social Networks

Esempio: distribuzione degli accessi a siti Web x = # accessi, A(x) = # siti a cui sono stati fatti x accessi A(x) = (1/x), dove  > 2 Social Networks

Esempio: distribuzione del reddito - curva di Pareto x = # reddito, A(x) = # individui con reddito x A(x) = (1/x), dove  > 2 Social Networks

Esempio: distribuzione del numero di link entranti x = # di link entranti, A(x) = # pagine Web con x link entranti A(x) = (1/x), dove  ≈ 2.1 Scala logaritmica Social Networks

Legge di potenza A(x) segue una legge di potenza su una popolazione di N individui se: Per semplicita’ xmin = 1 Si osservi che x  {1, … , X} e che ∑xA(x) = N perche’ A(x) e’ una distribuzione La legge di potenza e’ anche detta distribuzione heavy-tailed o a coda larga Social Networks

Andamento x A(x) 1  cresce 2 > 1 Social Networks

Invarianza di scala Una funzione f(x) esibisce invarianza di scala se f(ax) = bf(x), dove a e b sono costanti Per una distribuzione A(x), invarianza di scala significa che, per ogni x e per ogni costante a, # individui che esibiscono il valore ax del parametro e’ ~ # individui che esibiscono il valore x del parametro Proprieta’ fondamentale: le leggi di potenza sono le uniche soluzioni di f(ax) = bf(x) Social Networks

Esempio/dimensioni dei file Si osserva che il numero di file di dimensione 2x e’ all’incirca 1/4 del numero di file di dimensione x Ad esempio, # file di dimensione 2 KB ≈ (1/4) # file di dimensione 1 KB La distribuzione A(x) soddisfa dunque la seguente proprieta’: A(2x) = (1/4)A(x) e dunque e’ una legge di potenza Social Networks

Invarianza di scala/2 A(x) = # siti cui sono stati fatti x accessi A(x) segue una distribuzione del tipo: Dove X e’ di nuovo il valore max. osservato per x. Dunque: Social Networks

Invarianza di scala/3 A/x e’ la frazione di siti ai quali sono stati fatti x accessi durante il periodo di osservazione Social Networks

Supponiamo di sapere che A(2x) = (1/4)A(x). Determinare  Esempio Supponiamo di sapere che A(2x) = (1/4)A(x). Determinare  Social Networks

Esempio/2 Sappiamo che A(x) deve seguire una legge di potenza, quindi A(x) sara’ del tipo: N e’ il numero di individui Social Networks

Esempio/3 Questo significa che A(x)/A(2x) = 2 = 1/4 Cio’ implica  = 2 Social Networks

Rappresentazione in scala logaritmica Le leggi di potenza diventano lineari se rappresentate in scala logaritmica: Le leggi di potenza sono le uniche a godere di tale proprieta’ Nota: si osservi che A ed N sono costanti per una particolare popolazione osservata Social Networks

Esempio: distribuzione degli accessi a siti Web Si osservi che il parametro  e’ la tangente (< 0) della retta di interpolazione Social Networks

Legge di Zipf Si ha quando studiamo il problema seguente: qual e’ il # accessi all’i-esimo sito piu’ popolare? dove N e’ il numero di siti considerati e 0 <  <= 1 Si osservi che ∑iZ(i) = X, il numero complessivo di accessi a tutti i siti Social Networks

Andamento al variare di  Z(i)  cresce i Andamento secondo legge di potenza ma la distribuzione studiata e’ diversa Social Networks

Esempio: distribuzione degli accessi a siti Web L’i-esimo elemento dell’asse delle ascisse rappresenta l’i-esimo sito piu’ popolare Siti con uguale numero di accessi ordinati a piacere Social Networks

Relazione tra leggi di potenza e di Zipf Proprieta’: legge di potenza implica legge di Zipf e viceversa Social Networks

Relazione tra leggi di potenza e di Zipf Si puo’ dimostrare che se A(x) segue una legge di potenza con parametro  allora Z(i) segue una legge di Zipf con parametro  = 1/(-1) La legge di Zipf rappresentata in coordinate logaritmiche corrisponde a una retta con pendenza - Social Networks

Esempio/1 Si supponga di considerare N siti Web e si supponga che l’i-esimo sito piu’ popolare abbia ricevuto R(i) richieste, dove Troviamo un limite inferiore a Rj, il numero complessivo di accessi ai j siti piu’ popolari Social Networks

Esempio/2 Si approssima la somma con un integrale x1--1 ≥ (x-1)1- per x ≥ 1 Vero per x = 1 Derivata di f(x) = x1--1 - (x-1)1- e’ > 0 per x ≥ 1 Social Networks

Esempio/3 Social Networks

Esempio/4 Dunque: Ad esempio, per  = 0.9, Rj > 0.8X non appena j/N ≥ (0.8)10 ≈ 0.11 Cio’ significa che l’ 11% dei siti piu’ popolari riceve piu’ dell’ 80% degli accessi Social Networks

Somme e integrali Z(i) 1 2 3 j j+1 i La sommatoria corrisponde alla somma delle aree dei rettangoli Social Networks

Riferimenti L. Adamic. Zipf, Power-laws, and Pareto - a ranking tutorial http://www.hpl.hp.com/research/idl/papers/ranking/ranking.html M. E. Newman. Power laws, Pareto distribution and Zipf’s law http://arxiv.org/abs/cond-mat/0412004 Anche: M. Mitzenmacher. A Brief History of Generative Models for Power Law and Lognormal Distributions http://www.eecs.harvard.edu/~michaelm/NEWWORK/postscripts/history-revised.pdf Social Networks