Dipartimento di Informatica e Sistemistica Alessandro DE CARLI Anno Accademico TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO CALCOLO DIRETTO DELLEVOLUZIONE DI UN SISTEMA DINAMICO

INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE2 ASSEGNATI N COPPIE DI VALORI DELLA ASCISSA T i E DELLA CORRISPONDENTE ORDINATA Y i, LINTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE CONSENTE DI CALCOLARE LANDAMENTO DELLA CURVA CONTINUA, ANCHE NELLA DERIVATA PRIMA E SECONDA, CHE PASSA IN PUNTI ASSEGNATI LINTERPOLAZIONE È EFFETTUATA TRAMITE UNA CUBICA I CUI COEFFICIENTI SONO CALCOLATI IN FUNZIONE DEI VALORI ASSEGNATI T i E Y i (ASCISSE E ORDINATE) IL PASSO DI DISCRETIZZAZIONE DELLA CURVA INTERPOLANTE È FISSATO DALLUTENTE I VALORI DISCRETIZZATI DELLA CURVA INTERPOLANTE, INSIEME CON I COEFFICIENTI RELATIVI AI SINGOLI TRATTI DI CURVA INTERPOLANTE, POSSONO ESSERE CALCOLATI APPLICANDO LE ISTRUZIONI DEL MATLAB TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO

INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE3 LISTRUZIONE MATLAB PER CALCOLARE I VALORI DELLA CURVA INTERPOLANTE È y = spline(T,Y,t) IN CUI: yÈ IL FILE RELATIVO AI VALORI DISCRETIZZATI DELLA CURVA INTERPOLANTE TÈ IL FILE RELATIVO ALLE ASCISSE DEI VALORI ASSEGNATI T = [ T 1 T 2 T N ] YÈ IL FILE RELATIVO ALLE CORRISPONDENTI ORDINATE Y = [ Y 1 Y 2 Y N ] tÈ IL FILE RELATIVO ALLA BASE DEI TEMPI CON PASSO DI DISCRETIZZAZIONE dt TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO

INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE4 INTERPOLAZIONE CON SPLINE y i (t) = a i t 3 + b i t 2 + c i t + d i 0 < t < t i DERIVATA PRIMA DERIVATA SECONDA DERIVATA TERZA t1t1 t2t2 t3t3 t4t4 t5t5 a1b1c1d1a1b1c1d1 a2b2c2d2a2b2c2d2 a3b3c3d3a3b3c3d3 a4b4c4d4a4b4c4d4 a5b5c5d5a5b5c5d5 TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO

INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 5 CALCOLO DELLA SPLINE INTEPOLANTE LA SPLINE INTERPOLANTE È COSTITUITA DALLA COMBINAZINE LIARE DELLA SEGUENTI VARIABILI DI TIPO CANONICO: GRADINO RAMPA LINEARE RAMPA QUADRATICA RAMPA CUBICA I COEFFICIENTI DELLA INTERPOLAZIONE LINEARE SONO CALCOLATI IN MODO DA GARANTIRE LA CONTINUITÀ DEL VALORE ISTANTANEO, DELLA DERIVATA PRIMA E DELLA DERIVATA SECONDA. A TALE SCOPO VIENE UTILIZZATA LISTRUZIONE MATLAB: K0 = spline(T,Y); KK=K0.coefs; d1d1 c1c1 b1b1 a1a1 d2d2 c2c2 b2b2 a2a2 d3d3 c3c3 b3b3 a3a3 d4d4 c4c4 b4b4 a4a4 … … … … … … … … KK = IN CUI:

INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 6 (0) = 0 (t) = (t) u(t) = T (t) u(t) 0 = = i = 6 a i 2 b i didi cici 0 < t < T i+1 - T i 0 i = didi cici 6 a i 2 b i = i = LA SPLINE INTERPOLANTE PUÒ ESSERE CACOLATA ANCHE COME EVOLUZIONE LIBERA DI UN SISTENA DINAMICO CON 4 POLI NELLE ORIGINE

INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE AUTOMAZIONE INDUSTRIALE 7 ISTRUZIONI MATLAB PER IL CALCOLO DEI COEFFICIENTI K0=spline(T,Y); KK=K.coefs; a i KK(i:i,4:4) TiTi YiYi i DATI DI PROVACOEFFICIENTI MATRICE KK b i KK(i:i,3:3) c i KK(i:i,2:2) d i KK(i:i,1:1)

INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO t (sec) t1t1 t2t2 t3t3 t5t5 t7t7 t4t4 t6t6 1 = = = = = = = u(t 1 ) = 1 exp( t 1 ) 0 u(t 2 ) = 2 exp( t 2 ) 0 u(t 3 ) = 3 exp( t 3 ) 0 u(t 4 ) = 4 exp( t 4 ) 0 u(t 5 ) = 5 exp( t 5 ) 0 u(t 6 ) = 6 exp( t 6 ) 0 u(t 7 ) = 7 exp( t 7 ) 0

CALCOLO DELLEVOLUZIONE TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 9 CALCOLO CONGIUNTO DELLA EVOLUZIONE LIBERA E DELLA EVOLUZIONE FORZATA DI UN SISTEMA DINAMICO COME EVOLUZIONE LIBERA DI UN SISTEMA A STATO AUMENTATO SISTEMA DINAMICO LINEARE E STAZIONARIO VARIABILE DI FORZAMENTO DI TIPO ESPONENZIALE y(t) = c T x (t) x (t) = A x (t) + b u(t) x (0) = x 0 u(t) = 1 u(t) = t u(t) = t 2 /2 u(t) = t 3 /6

TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 10 (0) = 0 (t) = (t) u(t) = T (t) y(t) = c T x(t) x(t) = A x(t) + b u(t) x(0) = x 0 y(t)u(t) = 0 1 = = 0 = 1 = 1 1 u(t) 1/6 u(t) 1/2 1 u(t) t (sec) u(t) 1 = = 0 = = = CALCOLO DELLEVOLUZIONE

TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 11 x(0) = x 0 (0) = 0 (t) = (t) u(t) = T (t) y(t) = c T x(t) x(t) = A x(t) + b u(t) y(t)u(t) (t) = x(t) (t) S = A b T 0 = x0x0 0 A B T (t) cTcT 0 I 0 y(t) u(t) (t) = e S t

CALCOLO DELLEVOLUZIONE TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 12 e S t = e A te A t e t 0 (e A t e t ) b (t) A -1 (e A t – I)b (t) x(t) = (t) x 0 + (t) 0 EVOLUZIONE LIBERA E FORZATA DELLE VARIABILI DI STATO DEL SISTEMA DINAMICO u(t) = e t (t) EVOLUZIONE DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO y(t) = c T x(t) EVOLUZIONE LIBERA E FORZATA DELLA VARIABILE DI USCITA DEL SISTEMA DINAMICO

CALCOLO DELLOSCILLAZIONE PERMANENTE TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 13 CALCOLO DIRETTO DELLA OSCILLAZIONE PERMANENTE IPOTESI 1 - È ASSEGNATO LANDAMENTO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO 2 - LA VARIABILE DI FORZAMENTO PUÒ ESSERE SUDDIVISA IN ALCUNI TRATTI CON ANDAMENTO DI TIPO CANONICO 3 - È ASSEGNATO IL MODELLO LINEARE DEL SISTEMA DINAMICO PER CALCOLARE LANDAMENTO DELLA OSCILLAZIONE PERMANEN- TE OCCORRE CONOSCERE IL VALORE DELLE CONDIZIONI INIZIALI x 0 RELATIVO AD UN ISTANTE DEFINITO PROCEDURA 1 -VIENE RICAVATA LA MATRICE DEL SISTEMA A STATO AUMENTATO CHE FORNISCE LANDAMENTO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO NONCHÉ LEVOLUZIONE LIBERA E DELLEVOLUZIONE FORZATA DEL SISTEMA DINAMICO 2 -VIENE CALCOLATO IL VALORE NUMERICO DELLA SOLUZIONE PER OGNI INTERVALLO DI TEMPO IN CUI È STATO SUDDIVISO LANDAMENTO PERIODICO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO

TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO VENGONO CONCATENATE LE SINGOLE SOLUZIONI IN FUZIONE DELLA SOLA INCOGNITA x 0 4 -VIENE RISOLTA LEQUAZIONE LINEARE CHE FORNISCE IL VALORE DELLINCOGNITA x 0 5 -VIENE CALCOLATO IN FUNZIONE DI x 0 LANDAMENTO DELLA OSCILLAZIONE PERMENTENTE CHE COINCIDE CON LA VARIABILE DI USCITA DEL SISTEMA DINAMICO ESEMPIO CALCOLO DELLA OSCILLAZIONE PERMANENTE DI UN SISTEMA DINA- MICO IL CUI FORZAMENTO È OTTENUTO DA UN RELÈ IN CUI LA DU- RATA DEL CICLO DI COMMUTAZIONE È PREFISSATA ASPETTI INNOVATIVI DEL METODO METODO DI CALCOLO DI TIPO DIRETTO IN CUI LA PRECISIONE DEL RISULTATO È INDIPENDENTE DAL PASSO DI DISCRETIZZAZIONE E DALLA CONDIZIONE SCELTA PER LA VERIFICA DELLA PERIODICITÀ LAPPROCCIO CONVENZIONALE CONSISTE NEL FISSARE IL PASSO DI DISCRETIZZAZIONE E LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ. VIENE APPLICATO UN METODO ITERATIVO DI RICERCA DELLA SOLUZIONE CALCOLO DELLOSCILLAZIONE PERMANENTE

CONDIZIONE DI PERIODICITÀ TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 15 t1t1 t2t2 a1a1 a2a2 0 a1a1 0 1 = 0 -a = (t 1 ) (t 2 ) x0x0 x(t 1 )x0x0 x(t 1 ) = (t 1 ) x 0 + (t 1 ) 01 x(t 2 ) = (t 2 ) x(t 1 ) + (t 2 ) 02 = x 0 x 0 = (t 2 )( (t 1 ) x 0 + (t 1 ) 01 ) + (t 2 ) 02 x 0 = ( (t 2 ) (t 1 ) – I ) -1 ( (t 2 ) (t 1 ) 01 + (t 2 ) 02 ) PER 0 < t < t 1 y(t) = c T x(t) = c T ( (t) x 0 + (t) 01 ) PER 0 < t < t 2 y(t) = c T x(t) = c T ( (t) x(t 1 ) + (t) 02 ) TRACCIAMENTO DELLANDAMENTO CALCOLO DIRETTO DELLE CONZIONI INIZIALI CALCOLO DELLOSCILLAZIONE PERMANENTE

TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 16 CALCOLO DIRETTO DELLA OSCILLAZIONE DI CICLO LIMITE IPOTESI 1 - È ASSEGNATO IL MODELLO LINEARE DEL SISTEMA DINAMICO 2 - È ASSEGNATO LANDAMENTO DELLA NON LINEARITÀ 3 - LA VARIABILE DI FORZAMENTO È SUDDIVISA IN ALCUNI TRATTI CON ANDAMENTO DI TIPO CANONICO PER CALCOLARE LANDAMENTO DELLA OSCILLAZIONE DI CICLO LIMI- TE OCCORRE CONOSCERE LA DURATA DEL PERIODO T* E IL VALORE DELLE CONDIZIONI INIZIALI x 0 (T*) IN CORRISPONDENZA DELLISTAN- TE INIZIALE DI UN PERIODO PROCEDURA 1 -VIENE RICAVATA LA MATRICE DEL SISTEMA A STATO AUMENTA-TO CHE FORNISCE LANDAMENTO DELLA VARIABILE DI FORZA- MENTO E LEVOLUZIONE LIBERA E FORZATA DEL SISTEMA DINAMICO 2 -VIENE CALCOLATO IL VALORE NUMERICO DELLA SOLUZIONE PER OGNI INTERVALLO DI TEMPO IN CUI È STATO SUDDIVISO LANDA- MENTO PERIODICO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO CALCOLO DEL CICLO LIMITE

TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO VIENE RICAVATA LE CONDIZIONE DI PERIODICITÀ 6 -VIENE CALCOLATO IL CORRISPONDENTE VALORE NUMERICO DEL VETTORE CONDIZIONI INIZIALI X(0) 4 -VIENE RICAVATA LE CONDIZIONE DI INVERSIONE DI SEGNO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO 5 -VIENE ASSEGNATO UN VALORE DI TENTATIVO ALLA DURATA T DEL PERIODO DI OSCILLAZIONE DI CICLO LIMITE 7 -VIENE CONTROLLATO SE RISULTA VERIFICATA LA CONDIZIONE DI VARIAZIONE DEL SEGNO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO 8 -SE TALE CONDIZIONE NON RISULTA VERIFICATA VIENE MODIFICATO IL VALORE DEL PERIODO T. LA PROCEDURA RIPARTE DAL PASSO 6 9 -SE RISULTA VERIFICATA RISULTA DETERMINATO IL PERIODO T* DELLA OSCILLAZIONE DI CICLO LIMITE E IL CORRISPONDENTE VALORE X*(0) DELLE CONDIZIONI INIZIALI 10 –UNA VOLTA DETERMINATI I VALORI DI T* E DI X*(0), VIENE CALCOLATO LANDAMENTO DELLA OSCILLAZIONE TRAMITE IL MODELLO DINAMICO PRECEDENTEMENTE RICAVATO CALCOLO DEL CICLO LIMITE

CONDIZIONE DI PERIODICITÀ TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 18 0 a 0 = 0 a 0 = - (T/2) x0x0 x(t 1 )x0x0 x(T/2) = (T/2) x 0 (T) + (T/2) 0 x 0 (T) = x 0 (0) = - x 0 (T/2) CONDIZIONE DI PERIODICITÀ a T/2 a x(T) = (T/2) x(T/2) - (T/2) 0 = x 0 (T) x 0 (0) = ( (T/2) + I ) –1 (T/2) 0 CALCOLO DIRETTO DELLE CONZIONI INIZIALI y(0) = y(T/2) = 0 CONDIZIONE DI INVERSIONE DI SEGNO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO CALCOLO DEL CICLO LIMITE

TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 19 s s s y*(t) = 0y(t)u(t)e(t) A = b = c T = 0 = 1 = y(0) T/2 T*/2 0 T* tempo CICLO LIMITE ESEMPIO CALCOLO DEL CICLO LIMITE

TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 20 CALCOLO DIRETTO DEL CONTENUTO ARMONICO DI UNA OSCILLAZIONE PERMANENTE IPOTESI 1 - È ASSEGNATA LA DURATA DI UN PERIODO E LANDAMENTO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO 2 - LA VARIABILE DI FORZAMENTO PUÒ ESSERE SUDDIVISA IN ALCUNI TRATTI CON ANDAMENTO DI TIPO CANONICO 3 - È ASSEGNATO IL MODELLO LINEARE DEL SISTEMA DINAMICO IL VALORE DELLE COMPONENTI ARMONICHE COINCIDE CON LEVOLUZIONE FORZATA DELLE VARIABILI DI STATO DI UN SISTEMA DINAMICO IN CUI: 4 - È GIÀ STATO CALCOLATO IL VALORE CONDIZIONI INIZIALI X 0 IN CORRISPONDENZA DELL ISTANTE INIZIALE 5 - È NOTO LORDINE DELLARMONICA DI CUI SI DEVONO CALCOLARE LE COMPONENTI ARMONICHE 1 - LA MATRICE DINAMICA È CARATTERIZZATA DA DUE POLI COMPLESSI DI VALORE COINCIDENTE CON LA PULSAZIONE DELLA ARMONICA DI CUI DEVONO ESSERE CALCOLATE LE COMPONENTI CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO

TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO LEVOLUZIONE DINAMICA PARTE DA CONDIZIONI INIZIALI NULLE 3 - IL VALORE DELLE VARIABILI DI STATO ALLA FINE DI UN PERIODO COINCIDE CON LE COMPONENTI ARMONICHE DELLA OSCILLAZIONE PERIODICA AGGREGANDO AL MODELLO DINAMICO DEL SISTEMA IN ESAME QUELLO DEL: 1 - SISTEMA DINAMICO CHE CONSENTE IL CALCOLO DIRETTO DELLA EVOLUZIONE FORZATA 2 - SISTEMA DINAMICO CHE CONSENTE IL CALCOLO DIRETTO DELLE COMPONENTI ARMONICHE VIENE CALCOLATA: 1 - LOSCILLAZIONE PERMANENTE 2 - LANDAMENTO PERIODICO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO 3 - LE COMPONENTI ARMONICHE COME EVOLUZIONE LIBERA DI UN SISTEMA DINAMICO A STATO AUMENTATO ESTESO AL CALCOLO DELLA EVOLUZIONE E DELLE COMPONENTI ARMONICHE CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO

TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 22 VANTAGGI DEL METODO DIRETTO PER IL CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO: 1 - NEL CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO IL PASSO DI DISCRETIZZAZIONE COINCIDE CON QUELLO DI DISCONTINUITÀ DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO; 2 - LANDAMENTO DELLA FORMA DONDA PERIODICA NON SUBISCE APPROSSIMAZIONI COLLEGATE ALLE MODALITÀ DI ELABORA- ZIONE DELLALGORITMO DI CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO; CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO 3 - IL PASSO DI DISCRETIZZAZIONE DIPENDE SOLO DALLE DISCONTINUITÀ DELLA VARIABILE DI DORZAMENTO E NON DALLORDINE DELLARMONICA ; 4 - LE ARMONICHE DI ORDINE SUPERIONE SONO CALCOLATE CON UNA PRECISIONE CHE DIPENDE SOLO DALLA LUNGHEZZA DI PAROLA UTILIZZATA NELLE ELABORAZIONI NUMERICHE.

TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 23 y(t) = c T x(t) x(t) = A x(t) + b u(t) x0x0 (0) = 0 (t) = (t) u(t) = T (t) u(t) y(t) (t) = (t) + y(t) 0 = 0 (1) (2) = 2 T n 2 T - n 0 0 = 0 2 T T n ( 1) = 0 2 T n cos () t y(t) dt 2 T n (2) = 0 T 2 T n sin () t y(t) dt 2 T y(t) = c T x(t) = c T ( (t) x 0 + (t) 0 ) CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO

TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 24 (t) = (t) = S c T 0] 0 0 = 0 0 (t) = (t) (0) = 0 x(t) (t) VARIABILI DI STATO FORZAMENTO COMPONENTI IN FASE E IN QUADRATURA A 0 c T 0 0 b 0 x(t) (t) = 0 x0x0 0 x0x0 0 CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO

P W M PULSE WIDTH MODULATION SISTEMA DA CONTROLLARE ATTUATORE ON-FF y(t)m(t) u(t) TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 25 (s+1)(s+3) 2s+6 s 1 s 2 +.5s METODO DIRETTO2 ITERAZIONI: 1 CONDIZIONI INIZIALI 2 TRACCIAMENTO METODO INDIRETTO18 ITERAZIONI: 2 AGGIORNAMENTO DELLE CONDIZIONI INIZIALI 1 TRACCIAMENTO tempo T CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO

t T TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO ordine delle armoniche PROCEDURA: 1 VENGONO CALCOLATE LE CONDIZIONI INIZIALI X 0 PER IL TRACCIAMENTO DELLANDAMENTO PERIODICO 2 VENGONO INSERITE LE CONDIZIONI INIZIALI X 0 NEL VETTORE (T) PER IL CALCOLO DELLE COMPONENTE ARMONICHE DI ORDINE N 3 VIENE RIPETUTO IL CALCOLO ENTRO LO SPETTRO DI INTERESSE 4 VIENE RICOSTRUITO LANDAMENTO UTILIZZANDO LE ARMONICHE CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO