2.2 Matrici Pre, Post, di incidenza; grafo di stato; equazione di stato, di transizione

rete di Petri: N = (T, P, Pre, Post) DEFINIZIONE FORMALE T : insieme dei nodi transizione P : insieme dei nodi posto Pre : matrice delle marcature per lo scatto Post : matrice delle marcature create dallo scatto rete di Petri: N = (T, P, Pre, Post)

T= t1 t2 t3 P= marcatura: M= m2 p1 m1 p2 p1 t1 p2 p3 m3 m5 p3 p4 p5 p6 3 SCATTO DELLA PRIMA TRANSIZIONE (t1): PUO’ AVVENIRE SE LA MACCHINA E’ DISPONIBILE (AD ESEMPIO DOPO UN CAMBIO UTENSILE, la cui modellazione toglie la marca da m1 con un’altra rete che ha il posto in comune con quella in figura). L’insieme dei posti P viene organizzato in un vettore colonna, quello delle transizioni, T in un vettore riga, la marcatura in un vettore colonna isomorfo a P. m6 p6 marcatura: M=

Pret1= Pret3= Pret2= p1 p2 t1 p3 t2 p5 p4 t3 1 m1 p6 m2 1 1 m3 m4 m5 1 m4 m3 m2 m1 m5 m6 1 p6 Per ogni transizione la corrispondente colonna della matrice Pre, isomorfa a P, dà il numero di marche che ci devono essere in ciascun posto affinché la transizione stessa sia abilitata. Pret1= Pret3= Pret2=

Pre= Post = 1 p1 p2 p3 p4 p5 p6 t1 t2 t3 p2 p1 t1 p3 p5 t1 t2 t3 p1 p2 p1 p2 p3 p4 p5 p6 t1 t2 t3 p2 p1 t1 p3 p5 t1 t2 t3 p1 p2 p3 p4 p5 p6 1 t2 p4 Per ogni transizione la corrispondente colonna della matrice Post, isomorfa a P, dà il numero di marche che create in ciascun posto dallo scatto della transizione stessa. Post = t3 p6

Scatto di t: M  Min(t) = Pre(t) RETE DI PETRI N p2 p1 t1 p3 p5 t2 p4 t3 Spesso la colonna Pre(t) viene indicata con Min(t). p6 Scatto di t: M  Min(t) = Pre(t)

RETE DI PETRI MARCATA: (N, M0) condizione della macchina p2 p1 inizio operazione t1 pezzo in lavorazione pezzo in ingresso p3 t2 fine operazione p5 pezzo in attesa p4 m10 1 3 scambio t3 Come è utile ricordare, un sistema a eventi discreti è definito dall’insieme delle possibili successioni di eventi che originano dalla situazione iniziale. Di conseguenza sono rappresentabili da una rete di Petri marcata: la rete non marcata dà la struttura, i vincoli logici, ma le possibili evoluzioni sono date dalla marcatura iniziale, che rappresenta la situazione iniziale. La marcatura iniziale si indica solitamente con Mo. m20 p6 m30 M0= m40 m50 m60

Grafo di stato della rete (N, M0) p2 p1 inizio op. t1 m10 1 3 p3 m20 t2 fine operazione p5 m30 M0= p4 m40 scambio A ogni marcatura corrisponde uno stato globale della rete. A partire dalla marcatura iniziale Mo, facendo scattare separatamente le transizioni abilitate si sviluppa il grafo di stato, che ovviamente rappresenta l’automa equivalente. t3 m50 m60 p6 M0

Grafo di stato della rete (N, M0) p2 p1 inizio op. t1 p3 M1 t1 t2 fine operazione m11 1 3 p5 m21 p4 m31 scambio t3 M1= m41 p6 m51 m61 M0

Grafo di stato della rete (N, M0) p2 p1 M2= 1 3 m52 m42 m32 m22 m12 m62 M2 t2 inizio op. t1 p3 fine operazione t2 p5 p4 scambio t3 p6 t1 M0 M1

Grafo di stato della rete (N, M0) p2 p1 M3 t3 inizio op. t1 p3 t2 fine operazione m13 1 4 p5 m23 p4 m33 scambio t3 M3= m43 p6 m53 m63 t1 t2 t2 M0 M1 M2 M2

Grafo di stato della rete (N, M0) p2 p1 inizio op. t1 p3 M4= 1 4 m54 m44 m34 m24 m14 m64 M4 t1 t2 fine operazione p5 p4 scambio t3 p6 t1 t2 t3 M0 M1 M2 M3

Grafo di stato della rete (N, M0) p2 p1 t2 M5= 1 4 m55 m45 m35 m25 m15 m65 M5 inizio op. t1 p3 t2 fine operaz. p5 p4 scambio t3 M4 p6 In questo caso il grafo di stato o automa equivalente è un semplice cammino dallo stato iniziale Mo a quello finale M5. t1 t1 t2 t3 M0 M1 M2 M3

Interfaccia con il sistema di trasporto condizione della macchina: disp. p. att. lav. p. att. ingr. t1 p. in lav. t5 op. pezzo in ingr. t2 p.att.usc. forcella libera da p. in uscita Per vedere un grafo di stato un po’ più complesso, si considere il sistema di automazione già visto in precedenza, però distinguendo il pezzo in uscita sulla forcella esterna da quelli fuori sui rulli di uscita. scambio t3 M0 p. in usc. t4 uscita pezzi fuori

GRAFO DEGLI STATI t1, t4 concorrenti in M0 t1, t5 concorrenti in M2 M1 In Mo le transizioni t1 e t4 sono entrambe abilitate. Lo scatto prima di t1 lascia abilitata t4 e viceversa. Quando più transizioni sono abilitate in una marcatura e lo scatto di una qualsiasi lascia abilitate le altre, quelle transizioni si dicono concorrenti. Facendo scattare prima l’una, poi l’altra, si giunge alla stessa marcatura (in figura M4) con percorsi diversi paralleli. t5

Interfaccia con il sistema di trasporto condizione della macchina p.att. lav. p. att. ingr. t1 p. in lav. t5 t5 op. pezzo in ingr. t2 p.att.usc. forcella libera da p. in uscita In M4, t2 e t5 sono concorrenti. scambio t3 M4 p.in usc. t4 uscita pezzi fuori

GRAFO DEGLI STATI M1 M0 M2 M4 M7 M* Facendo scattare t5, si giunge a M7. t1,t4 in M0; t2,t4 in M1; t1,t5 in M2 concorrenti

Interfaccia con il sistema di trasporto condizione della macchina p.att. lav. p. att. ingr. t1 p. in lav. t5 t5 op. pezzo in ingr. t2 p.att.usc. forcella libera In M7 è abilitata slo t2. scambio t3 M7 p.in usc. t4 uscita pezzi fuori

GRAFO DEGLI STATI M5 M1 M6 M0 M4 M7 M8 M2 M* Facendo scattare t2 in M4 si giunge a M6, cui si può giungere con il percorso t1,t2,t4. Da M7 con t2 o da M6 con t5 si giunge a M8. t5 M* t1 t1,t4 in M0; t2,t4 in M1; t1,t5 in M2; t2,t5 in M4 concorrenti

Interfaccia con il sistema di trasporto condizione della macchina p.att. lav. p. att. ingr. t1 p. in lav. t5 t5 op. pezzo in ingr. t2 p.att.usc. forcella libera In M8 è abilitata solo t3. scambio t3 M8 p.in usc. t4 uscita pezzi fuori

GRAFO DEGLI STATI (AUTOMA) In M8 è abilitata solo t3 che porta a M9 t5 M* t1 t3 M9 t1,t4 in M0; t2,t4 in M1; t1,t5 in M2; t2,t5 in M4 concorrenti

Interfaccia con il sistema di trasporto condizione della macchina p.att. lav. p. att. ingr. t1 p. in lav. t5 t5 op. pezzo in ingr. t2 p.att.usc. forcella libera scambio t3 M9 p.in usc. t4 uscita pezzi fuori

GRAFO DEGLI STATI (AUTOMA) Concorrenti: t1,t4 in M0 e in M10; t2,t4 in M1 e in M’; t2,t5 in M4 t5 M* t1 t3 In M8 è abilitata solo t3 che porta a M9 t2 t1 M’ M9 M”’ t4 t4 t4 M10 t1 M” M11 t2

Interfaccia con il sistema di trasporto condizione della macchina p.att. lav. p. att. ingr. t1 p. in lav. t5 t5 op. pezzo in ingr. t2 p.att.usc. forcella libera scambio t3 M10 p.in usc. t4 uscita pezzi fuori

Stato finale: sistema bloccato condizione della macchina p.att. lav. p. att. ingr. t1 p. in lav. t5 t5 op. pezzo in ingr. t2 p.att.usc. forcella libera scambio t3 M11 p.in usc. t4 uscita pezzi fuori

Pre= Post = C = Post - Pre MATRICE DI INCIDENZA p2 p1 t1 p5 p3 t2 1 p1 p1 p2 p3 p4 p5 p6 t1 t2 t3 p4 1 1 p1 p2 p3 p4 p5 p6 t3 Post = Il cambio di marcatura allo scatto di una transizione è dato dalla differenza fra le corrispondenti colonne di Post e di Pre. La matrice differenza C si chiama di incidenza. Si faccia attenzione che lo stesso nome indica una matrice diversa in un grafo generale. La rete è un grafo bipartito, in cui gli archi vanno dai nodi posti a quelli transizione e viceversa. La matrice C dà l’incidenza complessiva delle transizioni sui posti, sommando quella positiva, pari alle marche create, per gli archi entranti nei posti a quella negativa, pari alle marche eliminate, per gli archi uscenti dai posti. Invece, quella che si definisce per un grafo generale dà l’incidenza dell’insieme di tutti i nodi su se stessi e considera solo gli archi entranti (qual’è la sua espressione in funzione di Pre e Post per il grafo della rete di Petri, ordinando i nodi transizione dopo tutti i nodi posto?). p6 C = Post - Pre t1 t2 t3

EQUAZIONE DI STATO C = M1= + = M0+C e1 p2 p1 -1 1 1 -1 p1 p2 p3 p4 p5 1 -1 p1 p2 p3 p4 p5 p6 t1 C = p3 t2 p5 p4 t3 t1 t2 t3 p6 1 1 -1 Il passaggio da uno stato a quello successivo può essere espresso con la matrice di incidenza sommando allo stato di partenza la colonna della C relativa alla transizione che scatta. La colonna i-esima, relativa alla transizione ti, può essere selezionata per post-moltiplicazione di C per il versore ei, vettore colonna della dimensione di T con tutti zeri, tranne un 1 all’i-esimo posto. Si ottiene un’equazione che descrive il passaggio di stato. 1 scatto di t1: M1= + = M0+C e1

EQUAZIONE DI TRANSIZIONE p2 p1 Sequenza di scatti s12: t1 t2 t1 Occorenza degli scatti: s12= e1 + e2 p3 M2= M1+ C e2 = M0 + C s12 t2 p5 p4 M2= M0 + C s12 t3 1 1 -1 p6 Concatenando più equazioni di stato si ottiene l’equazione che dà lo stato di arrivo a partire da quello di partenza dopo una sequenza ammissibile di scatti. L’occorrenza o conteggio degli scatti della sequenza è la somma dei versori relativi alle transizioni della sequenza ed è un vettore colonna in cui ogni componente dà il numero di volte che la corrispondente transizione scatta nella sequenza. 1 M2 = + = M1+C e2 scatto di t2:

Sequenze ammissibili: t4 M5 t2 M1 M6 t1 t5 M0 t2 t4 t1 t2 M4 M7 M8 t4 M2 t5 Corrispondono ad un percorso nel grafo degli stati sono ammissibili S124 S412 S142 S1245 S4152 Le sequenze ammissibili e le relative equazioni di transizioni corrispondono a un percorso sul grafo di stato S143 : no Transizioni: M6= M0+C s124 M8= M0+C s1245