Diffusione da superfici frattali : Università degli studi di Napoli “Federico II” Facoltà di Ingegneria TESI DI LAUREA di DE ROSA NICOLA Diffusione da superfici frattali : Il metodo delle condizioni al contorno estese

SOMMARIO Geometria frattale Modello fBm Modello WM Diffusione da superfici frattali monodimensionali Diffusione da superfici frattali bidimensionali

Geometria frattale Autoaffinità o autosimilarità: su differenti scale, i frattali deterministici (merletto a trina di Von Koch, curva di Von Koch, etc) saranno identici, mentre i frattali aleatori presenteranno le stesse proprietà statistiche; Dimensione frattale: misura il grado di frastagliatura ed irregolarità di un oggetto; è in generale un numero reale positivo (ad esempio la dimensione della curva di Von Koch è 1.2618).

Modello fBm (Fractional Brownian motion) Un processo z(x,y) descrive una superficie fBm se per ogni x, x’,y, y’, i suoi incrementi soddisfano tale relazione: dove: H:coefficiente di Hurst; D=3-H:dimensione frattale; ; T :Topotesia.

Modello WM (Weierstrass-Mandelbrot) WM monodimensionale matematica: è una sovrapposizione di infiniti toni sinusoidali; Noi useremo una WM monodimensionale fisica, che si ottiene troncando su M toni la WM matematica, ed è espressa dalla seguente formula analitica: è il numero d’onda della componente fondamentale; , irrazionale, è il passo della progressione geometrica con cui sono spaziate le componenti spettrali; a è un fattore di scala dell’altezza del profilo. tengono conto del comportamento in’ampiezza e fase di ogni tono.

Diffusione da superfici frattali monodimensionali Dall’applicazione del teorema di equivalenza scaturiscono tali equazioni:

in cui: sono le funzioni di Green rispettivamente nel mezzo 1 e nel mezzo 2; sono rispettivamente il campo totale nel mezzo 1, nel mezzo 2 ed il campo incidente che è un’onda piana polarizzata linearmente lungo l’asse y; condizioni al contorno:

Sfruttando la quasi-periodicità della funzione WM Espansione in serie di Fourier generalizzata del campo superficiale in termini di M indici q che variano tra - e + , sono i coefficienti della serie di Fourier. , ; + calcolo di integrali di tipo Neumann e Dirichlet

Espressione del campo diffuso e trasmesso in termini di M indici l che variano tra - e +

Le ampiezze devono soddisfare tale sistema matriciale : noto il campo incidente

devono soddisfare tali espressioni : ; Equazione del reticolo .

E’ possibile avere una soluzione numerica? Sì, a patto che si tronchino le matrici e si implementi di conseguenza un criterio che non apporti significative degradazioni dei campi Si fissa l’ordine di interazione massimo dei campi: Si scelgono gli indici q ed l tali che:

Efficienza del modello Ragioni di carattere energetico Considerazioni sui diagrammi di irradiazione diffusi Implementazione di un criterio numerico-energetico Presentazione dei suddetti diagrammi

Legge della conservazione dell’energia Criterio energetico Legge della conservazione dell’energia Potenza diffusa Potenza trasmessa Normalizzazione al campo incidente

Il criterio che imponiamo è: Ci fornisce anche un criterio per fissare l’ordine di interazione massimo a cui fermare il calcolo dei campi in gioco.

Presentazione dei risultati ottenuti Il mezzo 1 è lo spazio libero, mentre il mezzo 2 è un dielettrico omogeneo con permittività ; I parametri usati sono: Faremo variare tali parametri mostrando varie situazioni di interesse.

Al variare di la struttura del diagramma si conserva, e c’è solo un cambiamento nell’ampiezza e nella potenza diffusa.

H: agisce sui gruppi di modi, decrescendo il diagramma si sparpaglia e la sua struttura si conserva.

a: abbatte o incrementa tutti i toni, agisce sui modi di un gruppo, cambiandone il rapporto e provocando la non conservazione della struttura del diagramma d’irradiazione. a=0.01 a=0.03 a=0.05

L: un suo aumento provoca un restringimento del diagramma che al limite tende a una delta di Dirac.

: provoca una traslazione del diagramma in corrispondenza della direzione speculare.

Ma la soluzione numerica è affetta da limiti di validità? Sì, per superfici molto rugose nasce il problema del mal-condizionamento delle matrici, la cui inversione diventa delicata, le cui cause sono da ricercare: nei modi evanescenti, legati al calcolo delle correnti superficiali, per cui le funzioni di Bessel presentano un argomento immaginario nel parametro di rugosità nelle funzioni di Bessel che è grande, dal momento che è grande

Si può controllare il mal-condizionamento? Sì, aumentando la precisione nei calcoli tramite il comando SetPrecision di Mathematica 5.0, dove per precisione si intende il numero di cifre significative con cui vengono svolti i calcoli Si sposta il mal-condizionamento Aumentano i tempi di calcolo

Parametri fissati: H=0.5, f=600 MHz, Qualche esempio Parametri fissati: H=0.5, f=600 MHz, Precisione 16 a=0.051 e=1.00025 2 minuti Precisione 20 a=0.059 e=1.00082 9 minuti +15.7% +60.8 % ? +39% Precisione 30 a=0.110 e=1.51667 10 minuti Precisione 25 a=0.082 e=1.01194 9 minuti ?

Per precisione 30 il mal-condizionamento nasce prima, visto l’elevato valore di e Rosso: precisione 30 Blu: precisione 25 ERRORE Il vero valore di a varia tra 0.082 e 0.090, accettando un errore su e tra 1.2% e 2.63 % , in circa 10 minuti

E se aumentassimo ulteriormente la precisione? 11 minuti il mal-condizionamento nasce prima Il vero valore di a varia tra 0.082 e 0.090, come per precisione 30, ma in circa 11minuti

Diffusione da superfici frattali bidimensionali tiene in conto il comportamento in direzione di ogni tono. Modello di superficie: WM bidimensionale fisica: Modello elettromagnetico: campo magnetico elettrico funzione di Green

L’unica sorgente superficiale è Caso c.e.p L’unica sorgente superficiale è che espandiamo in serie di Fourier generalizzata in termini di M indici q che variano tra - e + è il vettore dei coefficienti di Fourier. + calcolo di integrale di tipo Dirichlet

Espressione del campo diffuso in termini di M indici l che variano tra - e + E’ un problema vettoriale:soluzione? Proiezione delle equazioni sui tre assi cartesiani Risoluzione di tre problemi scalari

Campo incidente: onda piana polarizzata lungo y Componente del campo diffuso lungo y: Calcolo dei coefficienti in’ampiezza:

Calcolo della corrispondente componente del campo totale A: matrice diagonale delle ampiezze del campo incidente; ;

Come calcoliamo le altre due componenti del campo diffuso? Allo stesso modo della componente lungo y, con una differenza: in tal caso =0, per cui : Calcolo delle corrispondenti componenti del campo totale

I parametri usati sono: Qualche esempio numerico I parametri usati sono: Realizzazione del campo diffuso Riporteremo dei tagli del diagramma 3-D al variare dei parametri.

H: legato all’inviluppo del diagramma, ne provoca uno sparpagliamento quanto piu’ è piccolo.

a: agendo su tutti i toni, provoca un cambiamento del rapporto tra i modi di un gruppo.

CONCLUSIONI La geometria frattale ha dotato la ricerca sulla diffusione da superfici naturali di uno strumento efficiente ed adeguato a descrivere la complessità del mondo naturale; Il metodo EBCM con l’uso della WM ha permesso di trovare una soluzione del campo diffuso come sovrapposizione modale, in linea di principio valida per qualsiasi superficie: il limite di validità è dato dal mal-condizionamento delle matrici per superfici molto rugose, che ha una sua ragione fisica ed è quindi ineliminabile; è possibile controllarlo aumentando la precisione nell’inversione delle matrici;

è sufficiente fermarsi a precisione 30; Anche per il caso 2-D il campo diffuso è scritto come sovrapposizione modale: il problema è vettoriale; proiettiamo le equazioni ottenute sui tre assi e risolviamo problemi scalari; I risultati ottenuti in entrambi i casi sono il linea con le aspettative teoriche.

FINE PRESENTAZIONE

Approfondimento sulla geometria frattale Parametri superficiali: M=1 M=2 M=3 M=4

M=5 M=6

Approfondimento sulla generazione dei modi radiativi Parametri superficiali: campo diffuso

campo diffuso campo diffuso campo diffuso

Approfondimento del teorema di equivalenza H Ji Campo diffuso diverso da zero z r Js ^ n r' x Campo diffuso + campo incidente=0

Campo diffuso nullo z r Js ^ n r' x