APPLICAZIONI

TRASLAZIONALE MOTO VIBRAZIONALE ROTAZIONALE

MOTO TRASLAZIONALE V = 0 Ψk(x) = A eikx + B e-ikx Ek = k2ħ2/2m Energia NON quantizzata

Il moto traslazionale in uno spazio confinato é quantizzato

PARTICELLA NELLA SCATOLA ENERGIA POTENZIALE Parete

MECCANICA CLASSICA DISTRIBUZIONE uniforme

QUANTIZZAZIONE: DIMOSTRAZIONE INFORMALE MECCANICA QUANTISTICA QUANTIZZAZIONE: DIMOSTRAZIONE INFORMALE Onde stazionarie all’interno della scatola. Il segmento di lunghezza L deve contenere un numero intero n di mezze lunghezze d’onda  solo certi valori di  sono accettabili λ = h/mv relazione di de Broglie  solo certi valori della velocità sono accettabili sono accettabili solo certi valori dell’energia cinetica, cioè dell’energia totale n: numero quantico Quantizzazione dell’energia

QUANTIZZAZIONE: DIMOSTRAZIONE FORMALE Regione I Regione II Regione III V =  V = 0 V =  0 L x La particella non può esistere al di fuori della buca PI(x) = 0 = ΨI(x) ΨI*(x) PIII(x) = 0 = ΨIII(x) ΨIII*(x)

La funzione d’onda deve essere continua (Born) Nella regione II La funzione d’onda deve essere continua (Born) Condizioni al contorno ψ(0) = 0 ψ(L) = 0 0 1 B = 0

A = 0 e k = 0 sono entrambe inaccettabili perché allora per qualsiasi x ψ(x) = 0 e quindi P(x) = 0: la particella non esisterebbe. n = 1, 2, 3, … Numero quantico

AUTOFUNZIONI n = 1, 2, … solo certe funzioni sono ammesse L

Al crescere di n diminuisce λ, aumenta la curvatura e quindi l’Energia cinetica, cioè l’Energia totale. Ψ non è autofunzione del momento lineare

AUTOVALORI ENERGIE PERMESSE CLASSICAMENTE n = 1, 2, 3, …

Solo certe energie sono permesse: l’energia è quantizzata e caratterizzata dal numero quantico n I livelli sono progressivamente più separati.

n ≠ 0  l’energia più bassa possibile NON è zero: energia di punto zero. Δx ~ L  Δpx non può essere 0 E cinetica non può essere 0. Ψ è 0 al di fuori della buca, entrando nella buca deve incurvarsi per diventare diversa da 0, altrimenti sarebbe 0 in tutto lo spazio e la particella non esisterebbe.

Tanto più grande è la massa m del sistema, tanto più classico è il sistema. Tanto più grande è il sistema (L), tanto più vicini sono i livelli e tanto più classico è il sistema n=3 n=2 n=1

AUTOFUNZIONI NODO Funzione simmetrica rispetto al centro della scatola Funzione antisimmetrica rispetto al centro della scatola

AUTOFUNZIONI (n-1) nodi

DISTRIBUZIONE non uniforme

ORTOGONALITA’ Funzioni d’onda che corrispondono ad energie differenti sono ortogonali

PRINCIPIO DI CORRISPONDENZA Andamento di |Ψ|2 al crescere di n Per n piccolo forte differenza tra la distribuzione classica e quantistica Principio di corrispondenza: per n grande i risultati quantistici corrispondono alle predizioni classiche Distribuzione quanto-meccanica Distribuzione classica

Buca di potenziale e sistemi coniugati numero C λmax (nm) sperimentale etilene 2 162.5 butadiene 4 210 esatriene 6 247 ottatetraene 8 286 vitamina A 10 306 β-carotene 22 497 β-carotene

A causa della sua semplicità matematica, il modello della particella nella scatola è usato per trovare soluzioni approssimate per sistemi più complessi in cui una particella è intrappolata in una regione molto piccola di basso potenziale tra due barriere di potenziale elevato

Buca di potenziale e sistemi coniugati L (nm) Teoria Esperimento cianina 0.556 328 nm 523 nm pinacianolo 0.834 453 nm 605 nm dicarbocianina 1.112 580 nm 706 nm

Nanoparticelle Fluorescenza a differenti lunghezze d’onda irradiando con la stessa sorgente UV Bohr radius: The natural, preferred distance of separation between the positive and negative charges in the excited state of the material. Riducendo le dimensioni delle particelle i livelli si separano progressivamente e si ha quindi uno spostamento nell’emissione verso lunghezze d’onda più corte.

Particelle di CdSe a) assorbimento in luce visibile b) emissione dopo irraggiamento con UV