APPLICAZIONI

PARTICELLA NELLA BUCA infinita finita Energia potenziale 

 decade esponenzialmente Esiste una probabilità finita di trovare la particella in una zona classicamente proibita

infiniti livelli  nulla sulle pareti livelli in numero finito  simile come forma, ma penetra nelle pareti.

Poiché la Ψ penetra nelle pareti, per la particella è come se la buca fosse più grande. Livelli più ravvicinati.

Atomi e molecole e modello particella nella buca finita Elettroni negli atomi: modello particella nella buca finita Solo per energie elevate si ha sovrapposizione delle funzioni d’onda Solo gli elettroni di valenza contribuiscono al legame chimico.

Esempio di una buca di potenziale microscopica un semiconduttore a “buca quantistica” Una buca quantica è un “sandwich” fatto da due differenti semiconduttori in cui l’energia degli elettroni è differente, e la cui struttura atomica è così simile che possono crescere insieme senza un’apprezzabile densità di difetti: Materiale A (AlGaAs) Materiale B (GaAs) Energia elettronica Posizione Usata in molti dispositivi elettronici (alcuni transistor, diodi, laser a stato solido)

Si depositano differenti strati di atomi su di un substrato cristallino AlGaAs GaAs AlGaAs Processo: epitassia con fasci molecolari Al As Ga U(x) x Celle effusive Un elettrone ha meno energia in GaAs che in AlGaAs. Può essere intrappolato nella buca. “ingegneria su nanoscala” Buche quantiche come queste sono usate come diodi che emettono luce (LED) diodi laser (usati nel lettori cd)

RIFLETTANZA TOTALE Legge di Snell n1 sin θ1 = n2 sin θ2

Tunneling ottico L’onda che subisce riflessione totale all’interno del materiale in realtà penetra nell’aria per alcune lunghezze d’onda.

RIFLETTANZA TOTALE ATTENUATA radiazione rivelatore onda evanescente

MOTO VIBRAZIONALE

F = - k x moto armonico x spostamento k: costante di forza Posizione di equilibrio F = - k x moto armonico k: costante di forza

POTENZIALE Spostamento, x Energia Potenziale, V

Se la curvatura di V è molto grande attorno al minimo, k è grande Energia potenziale x=R-Re k grande k piccolo Se la curvatura di V è molto grande attorno al minimo, k è grande

TRATTAZIONE CLASSICA x0 La frequenza  dipende solo da m e k Energia Potenziale, V Spostamento, x x0 -x0 x0 La frequenza  dipende solo da m e k L’ampiezza x0 può essere qualsiasi

A parità di massa m, al crescere della costante di forza k la frequenza cresce A parità di costante di forza k, al crescere di m la frequenza diminuisce: effetto isotopico C-H  3000 cm-1 C-D  2100 cm-1

PROPRIETA’ dell’oscillatore armonico classico Energia: E = T + V = ½kx02 = qualsiasi valore se x0 = 0, E = 0 E = ½kx02 x +x0 -x0 P(x) Punti di inversione classici Probabilità:

I livelli per il potenziale armonico sono equispaziati. Particella nella scatola: tanto più grande è L, tanto più vicini sono i livelli n=3 n=2 n=1 Nel potenziale armonico, al crescere di V(x) il sistema è meno confinato. I livelli per il potenziale armonico sono equispaziati.

TRATTAZIONE QUANTISTICA I livelli energetici di un oscillatore armonico sono ugualmente spaziati con separazione ħ, con  = (k/m)½. Anche nello stato a più bassa energia, un oscillatore ha E > 0

Livelli discreti ed equispaziati Anche quando v = 0, c’è ancora energia in quantità Energia vibrazionale di punto zero

Ψv = polinomio di Hermite . e-ax2 Autofunzioni Le autofunzioni dell’oscillatore armonico sono simili a quelle della particella nella scatola, ma vanno a zero solo all’infinito penetrando nella barriera di potenziale. Il potenziale V(x) va all’infinito solo a distanza infinita. mentre nella scatola T = costante, per l’oscillatore armonico T varia [ T = E – V(x) ] e quindi la curvatura della  è più complessa. Ψv = polinomio di Hermite . e-ax2

v = 0 Funzione d’onda Ψ e distribuzione di probabilità Ψ2 per lo stato a più bassa energia

Probabilità classica e quantistica E = ½kx02 Classica P(x) minima a x=0 P(x) = 0 oltre x0 x P(x) Quantistica (n=0) P(x) massima a x=0 P(x)  0 oltre x0 -x0 +x0 Punti di inversione classici

La probabilità di trovare la particella al di fuori dei punti classici di inversione del moto è diversa da zero Effetto Tunnel – penetrazione in zone classicamente proibite

v = 1 Funzione d’onda Ψ e distribuzione di probabilità Ψ2 per il primo stato eccitato

Funzioni d’onda dei primi 4 stati v=0 v=1 v=2 v=3 x Funzioni d’onda dei primi 4 stati Numero dei nodi = numero quantico v Si alternano funzioni simmetriche ed antisimmetriche rispetto ad x = 0 Data la simmetria del potenziale V(-x)=V(x)  |(-x)|2 =|(x)|2  (-x) = ±(x)

Principio di corrispondenza ||2

Confronto dei livelli energetici Particella nella scatola Oscillatore armonico E n=5 v=5 v=4 n=4 v=3 v=2 n=3 v=1 n=2 v=0 n=1 Energia di punto zero

OSCILLATORE ARMONICO Vibrazione delle molecole biatomiche Vibrazione delle molecole poliatomiche Moti vibrazionali nei solidi Decomposizione del campo elettromagnetico in oscillatori