Lezioni di epistemologia e storia della scienza V. Michele Abrusci Roma, novembre-dicembre 2008

Stato dell’arte Fra la fine del secolo XIX e l’inizio del secolo XX, lo sviluppo della logica matematica è strettamente legato alla presentazione di diversi “programmi fondazionali” costituisce una base per la nascita della “filosofia della scienza” (positivismo logico) che caratterizzerà l’intero secolo

Stato dell’arte , 2 La logica matematica nasce nella seconda metà del XIX secolo con la scoperta che l’oggetto della logica è di natura matematica e quindi deve essere trattato con metodi matematici: Proposizioni e connettivi (Boole, algebra di Boole) Insiemi (Cantor, teoria degli insiemi) Dimostrazioni (Hilbert, teoria della dimostrazione) La logica matematica nasce nell’ambito delle tendenze tipiche della matematica del XIX secolo: Algebra astratta Metodo assiomatico astratto Aritmetizzazione dell’analisi e della geometria

Stato dell’arte, 3 Algebra astratta: dall’algebra come teoria della risoluzione delle equazioni all’algebra come teoria delle strutture algebriche Svolta: la dimostrazione dell’impossibilità della soluzione delle equazioni di grado superiore Una struttura algebrica per la logica (algebra di Boole) : la struttura astratta fatta da 0 (falso, vuoto) e 1 (vero, tutto) le operazioni (connettivi) di congiunzione (intersezione), disgiunzione (unione) e negazione (complemento).

Stato dell’arte, 4 Metodo assiomatico: applicato a una disciplina, consiste nell’individuare alcuni concetti (“concetti primitivi”, “facilmente comprensibilii”) da cui ottenere tutti gli altri mediante definizioni logiche (le definizioni logiche trasmettono la intelligibilità dei concetti) alcuni teoremi (“assiomi”, “verità immediate”) da cui ottenere tutti gli altri mediante dimostrazioni logiche (le dimostrazioni logiche trasmettono la verità delle proposizioni) esempi: geometria euclidea, Fisica di Newton, ecc. presuppone che una disciplina sia “matura” e “sviluppata” metodo di organizzazione, più che di sviluppo Ruolo della logica: dimostrazione, definizione

Stato dell’arte, 5 Metodo assiomatico astratto Nasce nella fine del secolo XIX (Hilbert, Peano) Motivato dall’algebra astratta e dalla nascita delle geometrie non-euclidee Gli assiomi sono la “definizione” dei concetti primitivi (come si fa in algebra astratta) L’accettazione degli assiomi è basata non sulla loro verità immediata ma sulla prova della loro “non-contraddittorietà” (come si fa nelle geometrie non-euclidee) Esempi: Geometria (Hilbert), Aritmetica (Peano) Ruolo della logica: prova della non-contraddittorietà (impossibilità di una dimostrazione)

Stato dell’arte, 6 Aritmetizzazione della analisi e della geometria Definizione “aritmetica” dei numeri reali (insiemi infiniti di numeri razionali) (Dedekind, Cantor, Weierstrass) I numeri reali sono un “modello” degli assiomi della geometria euclidea (la non-contraddittorietà degli assiomi della geometria euclidea è ricondotta a quella della teoria dei numeri reali, Hilbert) I numeri razionali e I numeri interi si definiscono a partire dai numeri naturali “Aritmetica” (dei numeri naturali), e “logica” (degli insiemi infiniti) ossia teoria degli insiemi di Cantor

Stato dell’arte, 7 Aritmetizzazione del concetto di dimostrazione Dimostrazione : può essere vista come “successione finita di proposizioni scritte in un linguaggio su un alfabeto finito” Codificazione: le proposizioni sono codificabili mediante numeri naturali, le dimostrazioni sono codificabili mediante numeri naturali L’asserzione logica “non esiste una dimostrazione di una contraddizione dagli assiomi (di una teoria) diventa – via codifica - una asserzione aritmetica Idea di Hilbert, realizzata da K. Goedel Teoria matematica della dimostrazione: in realtà, teoria aritmetica delle dimostrazioni.

Stato dell’arte, 8 I programmi fondazionali collegati alla logica matematica: Basati sulla “riduzione della matematica a aritmetica, algebra, logica” (la geometria “si riduce” a aritmetica e logica) Sono i modelli dei programmmi fondazionali del novecento “Logicismo” “Costruttivismo” “Programma Hilbertiano”

Stato dell’arte, 9 Logicismo: Ridurre tutta la matematica alla logica, ossia definire in termini logici i concetti matematici; in sostanza, resta da definire il concetto di numero naturale La Logica così “fonderebbe” la matematica Modello dei programmi fondazionali che mirano a “ridurre tutte le scienze a una sola scienza”, definendo in termini di quella scienza tutti i concetti delle altre scienze Cantor?, Frege, Russell

Stato dell’arte, 10 Costruttivismo Accettare in matematica (in aritmetica) ciò che si può “costruire”, in sostanza ciò che si può costruire da parte di un solo agente e in termini aritmetici, respingendo il resto (dimostrazioni di esistenza senza esempi, concetti astratti, infinito attuale, ecc.) Così, la matematica sarebbe fondata perché purificata da elementi criticabili e poggiata sulle costruzioni Modello dei programmi fondazionali che mirano a discriminare ciò che si deve conservare e ciò che non si deve conservare nelle scienze, sulla base di una concezione filosofica o epistemologica Matematica intuizionista (Brouwer), matematica predicativista (Poincaré, Weyl), analisi logica del concetto di costruzione e di macchina che costruisce

Stato dell’arte, 11 Programma Hilbertiano: Dimostrare con metodi aritmetici sicuri la non-contraddittorietà degli assiomi della matematica, in sostanza dell’analisi (aritmetica dei numeri reali), dimostrare che esiste un modello degli assiomi senza mostrarlo Così, l’aritmetica costruttiva e sicura fonderebbe la sicurezza di tutta la matematica Modello dei programmi fondazionali che mirano a stabilire la sicurezza dei metodi e delle discipline utili senza fondare i “contenuti” di quelle discipline Teoria hilbertiana della dimostrazione

Stato dell’arte, 12 Tutti i programmi fondazionali crollano entro la prima metà del secolo XX: Logicismo : antinomia di Russell, il sistema “logico” che permetteva di definire i concetti matematici (Frege, Cantor) è contraddittorio, né si trovano suoi sostituti “credibili” Costruttivismo: la purificazione intuizionista o predicativista non è accettata dalla comunità scientifica matematica Programma Hilbertiano: il teorema di Goedel di incompletezza (1931) fissa il suo fallimento

Stato dell’arte, 13 Tutti i programmi sono contraddistinti da: “riduzione” , della matematica Alla logica (logicismo) All’aritmetica costruttiva che dà i contenuti (costruttivismo) o che stabilisce la sicurezza dell’intera matematica (programma hilbertiano) assenza di approccio “geometrico” e dominio dell’approccio “combinatorio”, “algebrico”, “linguistico” Teoria degli insiemi senza considerazioni geometriche Costruttivismo di carattere algebrico-aritmetico Teorie assiomatiche basate sul linguaggio, dimostrazioni intese nel loro aspetto linguistico e algebrico assenza del tema “interazione” Applicazione , piuttosto che interazione tra funzione e argomento Un solo agente che esegue le operazioni Aspetto statico delle teorie da fondare

Stato dell’arte, 14 Tutti i programmi sono caratterizzati anche da: Distinzione rigida oggetto/soggetto Logicismo: il soggetto conosce l’universo degli insiemi senza modificarlo Costruttivismo: c’è solo il soggetto Programma Hilbertiano: Distinzione rigida sintassi / semantica Implicita nel logicismo, conta la semantica Solo sintassi nel costruttivismo Esplicita nel programma hilbertiano, conta la sintassi Distinzione rigida finito/infinito Teoria degli insiemi come teoria dell’infirnito Costruttivismo come tentativo di far a meno dell’infinito Programma Hilbertiano, come tentativo di giustificare l’infinito mediante il finito

Stato dell’arte, 15 Nonostante il fallimento, i programmi fondazionali continuano ad essere sostenuti – prevalentemente in ambiente filosofico e logico, non nell’intero mondo matematico Influenzano la nascita della filosofia della scienza (v. avanti), - in particolare logicismo e programma hilbertiano Danno origine all’informatica (macchina di Turing, funzioni calcolabili), - in particolare costruttivismo e programma hilbertiano

Stato dell’arte, 16 La filosofia della scienza, secondo il positivismo logico: Modello: la fisica e la matematica Cosa è una scienza Teoria ed empiria nella scienza Cosa sono le spiegazioni scientifiche Cosa sono le leggi Sviluppo delle scienze

Filosofia della Scienza, oggi, 1 Il modello di scienza: Positivismo logico: la fisica e la matematica, tutte le scienze si riconducono ad esse (“fisicalismo”, interpretare ciascuna scienza in termini della fisica), e si modellano secondo esse Oggi: proporre un’auronomia di ciascuna scienza, e promuovere l’interazione tra le scienze

Filosofia della Scienza, oggi, 2 Cosa è una scienza: Positivismo logico: un complesso di concetti e di proposizioni accertate (“vere”) su quei concetti, organizzato (organizzabile) secondo il metodo assiomatico Oggi: introdurre due importanti caratteristiche, almeno, che sconvolgono il quadro precedente: Le questioni aperte I metodi

Filosofia della scienza, oggi, 3 Teorico ed empirico nella scienza: Positivismo logico: I concetti si distinguono in teorici e empirici Le proposizioni “vere” si distinguono in teoriche (solo concetti teorici), empiriche (solo concetti empirici), miste (concetti teorici e concetti empirici) La distinzione non c’è in matematica La distinzione è critica in ogni altra scienza, l’empirico è dominato e influenzato dal teorico, come si arriva al teorico?

Filosofia della scienza, oggi, 4 Teorico ed empirico nella scienza: Oggi: la distinzione ha senso solo in termini di modalità di uso: Le proposizioni empiriche sono proposizioni che possono essere usate in un ragionamento una sola volta, esprimono singolarità, eventi, Le proposizioni teoriche sono proposizioni che possono essere usate in un ragionamento anche più volte, ciò che esprimono persiste dopo l’uso La distinzione tra concetti empirici e teorici ha meno rilevanza

Filosofia della scienza, oggi, 5 Cosa sono le spiegazioni scientifiche Spiegare un evento, una proposizione empirica, mediante una o più ipotesi, proposizioni teoriche, in un dato contesto empirico… Spiegazione deduttiva: l’evento è una conseguenza logica della ipotesi e del contesto Spegazione probabilistica: l’evento è una conseguenza probabilistica della ipotesi e del contesto Spiegazione teleologica: l’evento è finalizzato ad altro evento, sulla base della ipotesi e del contesto Spegazione causale: l’evento è causato da altro evento, sulla base della ipotesi e del contesto Ecc. Spiegazione: è in questo atto che si vede il ruolo delle proposizioni empiriche e delle proposizioni teoriche

Filosofia della scienza, oggi, 6 Cosa sono le spiegazioni scientifiche: Introdurre nuove tipologie di spiegazione scientifica (sulla base di nuove scienze) Distinguere: Il carattere del rapporto tra evento e ipotesi + contesto : deduttivo, probabilistico Il carattere del rapporto tra eventi , sulla base (deduttiva o probabilistica) di ipotesi +contesto: causale, teleologico, ecc, Apporto della logica e delle singole discipline

Filosofia della scienza, oggi, 7 Cosa sono le leggi scientifiche: Proposizioni teoriche che hanno conseguenze “empiriche” , dunque “falsificabili” (Popper) Ipotesi usate nelle spiegazioni Ipotesi “convalidate”: come? Le loro conseguenze empiriche sono tutte verificate? Impossibile Accordo “teorico” con le altre leggi : sì La “falisificazione” è assoluta: basta che non sia convalidata da una conseguenza empirica La “convalida” no? Discutere

Filosofia della scienza, oggi, 8 Cosa sono le leggi scientifiche: Conseguenza empirica di una proposizione teorica: B, tale che A →B A “vera” se tutte le sue consgeuenze empiriche sono “vere”: impraticabile A “falsa” – da respingere – se una sua consgeuenza empirica è “falsa” , in base alla regola logica del “modus tollens” : da A →B e dalla negazione di B, si conclude la negazione di A. “salvataggio delle ipotesi”…

Filosofia della scienza, oggi, 9 Sviluppo della scienza: Positivismo logico: insensibile alle “crisi” e alle “rotture” che ci sono nel corso della storia, Si ha per “approfondimento” (nuovi principi più generali) o per “estensione” (aggiunta di nuovi principi, scoperta di nuove conseguenze) Alcune critiche: Feyerabend, Kuhn: il ruolo delle rivoluzioni scientifiche, il ruolo importante del cambio delle teorie, del cambio dei paradigmi, della rottura con il passto, delle “rivoluzioni” L’attenzione alla storia della scienza, e il rapporto tra storia e filosofia della scienza

Filosofia della scienza, oggi, 10 Alcune rotture epistemologiche, derivanti da : La meccanica quantistica L’informatica La biologia Le scienze economiche e sociali La logica

Filosofia della scienza, oggi, 11 Meccanica quantistica: Caduta della tradizionale impostazione : il soggetto nel conoscere l’oggetto non lo modifica, fino a “la verità è la corrispondenza tra ciò che è e che si dice” L’impostazione tradizionale può essere usata, ma non sempre, e non a livelli più profondi di indagine Tentativi vari di “far tornare i conti” (ad esempio “variabili nascoste”) Soluzione: interazione tra soggetto e oggetto, nuova matematica (geometria non commutativa), nuova filosofia; impostazione utile anche altrove

Filosofia della scienza, oggi, 12 L’informatica Cosa è la verità nell’informatica? Per una singola macchina? Non “ciò che è”, ma è “adeguamento a protocolli interni” Come si stabilisce la verità in una rete? Mediante interazione, mediante confronto, e modifica di protocolli. Superamento dell’idea “verità come adeguamento alla realtà esterna”

Filosofia della scienza, oggi, 13 Biologia: Evoluzionismo: una specie è data con la sua evoluzione, non è quindi un aggregato di individui, certe inferenze (dalla specie agli individui) non sono lecite, certi modi di ragionare (per oggetto qualunque) non sono più utilizzabili, ecc. – La logica tradizionale vale solo se si fa astrazione: un solo istante. Un modello “storico” di spiegazione Il ruolo della sperimentazione ( Popper)

Filosofia della scienza, oggi, 14 Biologia: Leggi non “prescrittive”, ma “proscrittive” (vincoli di impossibilità) Posizionamento “non neutrale” del soggetto Cambiamento nel rapporto tra “ricerca delle leggi” e “analisi dei concetti” (a vantaggio dell’ultima) Sperimentabilità Spiegazione in termine di rete, piuttosto che in termine di causalità: non spiegazione deterministica, ma probabilistica perchè c’è interazione . – I vecchi modelli funzionali di spiegazione Il tempo : nuove idee, che si aggiungono a quelle provenienti dalla fisica e dal calcolo (informatica)

Filosofia della scienza, oggi, 15 Scienze economiche e sociali: Mai state entro il modello della filosofia della scienza (positivismo logico), se non per il principio popperiano di falsificazionismo Certo, tutti I fenomeni visti con l’informatica, con la biologia e con la meccanica quantistica trovano qualcosa di analogo nelle scienze economiche e sociali

Filosofia della scienza, oggi, 16 Logica: Scoperta di fenomeni “quantistici” entro la logica Scoperta dell’utilità di dimostrazioni non corrette (v. analogo in altre scienze), che possono ben interagire con quelle corrette e che hanno una loro autonomia Scoperta del ruolo determinante dell’interazione e della dualità Importanza della geometria in logica

“Metafore del vivente” Facoltà di Filosofia, La Sapienza, v. Carlo Fea, 2 (via Nomentana – Piazza Bologna) 27 novembre: 15-19 Prandi. L’interazione metaforica come grandezza algebrica Capozzi. Segni visibili e retorica Gagliasso. L’ambiguo ruolo della metafora nelle scienze del vivente Casonato. L’ambiguo ruolo della metafora nelle scienze del vivente 28 novembre: 9-13 Boniolo. Modelli e esperimenti mentali Longo. L’informazione in biologia: dal modello matematico al fascino discreto della metafora Lassègue. Metaphors without the literal-figural distinction Barsanti. Il labirinto della natura: dalle metafore alle immagini Turchetto e Cavazzini. Tra Adam Smith e Darwin: scambi di metafore 28 novembre: 15-19 Buiatti. Metafore biologiche meccanicistiche: una concezione della vita Debru. Le metafore del cervello Santarpia. Metafore pesanti: markers fisologici e markers discorsivi Gelo. L’analisi della metafora in psicoterapia Fraire e Luchetti. Metafora-transfert 29 novembre: 9-13 (linguistica e filosofia)