Geometria euclidea, affine e proiettiva Anno accademico 2008/09 3. Il birapporto. Le coordinate cartesiane omogenee. g.e.a.p. 08/09 3

Che cosa si conserva per proiezioni e sezioni? Non l’eguaglianza tra segmenti Dato un segmento diviso in parti uguali, in che relazione stanno le parti del segmento che è la sua proiezione? Da M. Menghini, www.treccani.it/site/ Scuola/Zoom/prospettiva/ scuola_zoom.htm g.e.a.p. 08/09 3

Da Stillwell, “The four pillars of geometry”, cap. 5, esercizio Supponiamo che il pavimento abbia delle righe di piastrelle che incontrano l’asse delle x nei punti di ascissa x = 0,1,2,3,…. e che l’artista copi la vista del pavimento su uno schermo trasparente che passa per l’asse (verticale) delle y, tenendo un occhio fermo nella posizione di coordinate (1,1). Allora la vista in prospettiva dei punti di ascissa 0,1,2,3,… sull’asse delle x sarà la successione di punti sull’asse delle y mostrata della figura che segue g.e.a.p. 08/09 3

Esercizio Mostrare che la retta da (1,1) a (n,0) taglia l’asse delle y nel punto di ordinata n/(n+1). Quindi, le immagini prospettiche dei punti x = 0,1,2,3…. sono i punti y = 0, ½, 2/3, ¾,…… la retta di O = (1,1) e (n,0) ha equazione x + (1+n)y  n =0 ponendo in questa equazione x = 0 si ottiene y = n/(1+n ) . g.e.a.p. 08/09 3

Non si conserva il rapporto di due segmenti, bensì il rapporto dei rapporti di quattro segmenti. Möbius (1790-1868) ritrovò un risultato già noto a Pappo: dati quattro punti allineati A, B, C, D, proiezioni e sezioni conservano il loro birapporto g.e.a.p. 08/09 3

Dimostrazione elementare Quindi: (A,B,C,D) = (A’,B’,C’,D’), c.v.d.

Esempi di proprietà proiettive Sono proprietà invarianti per proiezioni e sezioni: per tre punti, l’appartenenza ad una retta (essere allineati) per quattro punti non allineati, l’appartenenza ad uno stesso piano (individuato da tre di essi) per una quaterna ordinata di punti allineati, il loro birapporto. g.e.a.p. 08/09 3

La proiezione in coordinate Scegliamo: centro di proiezione O = (0,0,0) Proiettiamo da O il piano z = 1 Per ogni P = (x*,y*,1), costruiamo la retta OP (x*,y*,1)  (tx*,ty*,t),t   Abbiamo una funzione iniettiva dal piano alla stella delle rette per O Si può renderla una bigezione? g.e.a.p. 08/09 3

Controimmagine di una retta Una retta r per O è determinata dai parametri direttori (l,m,n)  (0,0,0): r = {(tl,tm,tn), t  . Se n  0, r interseca il piano z = 1 in (l/n,m/n,1), di cui è immagine nella proiezione da O: (l/n,m/n,1)  {(tl,tm,tn), t Se n = 0, r è parallela al piano, lo interseca in un punto improprio (l,m,0)  {(tl,tm,0), t (l,m,0) rappresenta un punto improprio! g.e.a.p. 08/09 3

Coordinate omogenee nel piano ampliato (x, y) coordinate cartesiane di un punto P proprio nel piano (x1,x2,x3) tali che x1/x3 = x, x2/x3= y si chiamano coordinate omogenee di P. Sono definite a meno di un fattore moltiplicativo non nullo Se P appartiene alla retta di equazione ax + by + c = 0 le sue coordinate omogenee verificano l’equazione omogenea g.e.a.p. 08/09 3

Coordinate omogenee nel piano ampliato L’equazione omogenea è verificata dalla terna (b,a,0), che non dipende dal valore di c. (b,a,0) è il punto improprio della retta Una terna ordinata di numeri reali (z1,z2,z3)(0,0,0), se z30, individua il punto proprio (z1/z3,z2/z3) se z3=0, individua il punto improprio del fascio con direzione (-z2,z1) g.e.a.p. 08/09 3

Chiusura proiettiva L’equazione omogenea rappresenta la retta come insieme di tutti i suoi punti propri più il punto improprio La retta così ampliata viene detta “chiusura proiettiva” della retta definita dall’equazione non omogenea La retta impropria ha l’equazione x3 = 0 g.e.a.p. 08/09 3

Punti impropri di una curva algebrica Sia F(x,y) un polinomio (a coefficienti reali). Si chiama “curva algebrica” di equazione (1) F(x,y) = 0 l’insieme C dei punti del piano le cui coordinate soddisfano (1). La chiusura proiettiva della curva C è l’insieme dei punti del piano ampliato le cui coordinate omogenee soddisfano l’equazione algebrica omogenea ottenuta da (1) ponendo x1/x3 = x, x2/x3= y e moltiplicando per il minimo comune multiplo dei denominatori. L’intersezione della retta impropria con la chiusura proiettiva di C costituisce il “luogo all’infinito” di C. g.e.a.p. 08/09 3

Esempio Sia C la parabola di equazione y + x2 + x = 0. Ponendo x1/x3 = x, x2/x3= y , si ottiene La chiusura proiettiva di C ha l’equazione Il luogo improprio è formato da un solo punto, di coordinate omogenee (0,1,0). g.e.a.p. 08/09 3

Punti impropri delle coniche Una conica, di equazione (a coefficienti reali), ha come chiusura proiettiva la curva d’equazione omogenea Il luogo improprio è definito dal sistema g.e.a.p. 08/09 3

Punti impropri delle coniche I punti impropri sono due reali, distinti o coincidenti, a seconda che sia La conica non ha punti impropri reali se è I2 > 0. g.e.a.p. 08/09 3