Matrice ABCD I coefficienti A e D sono adimensionali, B è un’impedenza e C un’ammettenza Definibile solo per un numero pari di porte Reciprocità (2 porte) se det(ABCD)=AD-BC=1 Reciprocità (2N) se AD-BC=I dove I matrice identità Per un circuito simmetrico vale anche A=D Assenza di perdite: A e D reali, B e C immaginari puri

Matrice ABCD Normalizzata In tal caso tutti i coefficienti sono adimensionali

Matrice di diffusione (S) di un 2 porte Definiamo quantità legate alle ampiezze delle onde incidenti e riflesse In tal caso vale (se consideriamo le tensione e le correnti normalizzate alle due porte) La matrice S è quella che lega le ampiezze delle onde riflesse a quelle delle onde incidenti

Matrice di diffusione (S) di un 2 porte Cioè, s11 è legato al coefficiente di riflessione alla porta 1 quando la due è chiusa su carico adattato (non c’è onda riflessa a2); Cioè, s21 è legato al coefficiente di trasmissione dalla porta 1 alla porta 2 quando la due è chiusa su carico adattato La matrice S è definita quindi solo quando si specifichino le impedenze caratteristiche delle linee che portano l’onda ai terminali dell’oggetto da caratterizzare, ovvero le impedenze di normalizzazione La matrice S si definisce perché misurabile anche (e soprattutto) a frequenze di microonde

Matrice di diffusione (S) di un n porte definiamo con Oppure (il che è lo stesso) La matrice S è I cui elementi Notate che, nel caso molto comune di normalizzazione di tutte le porte ad una sola impedenza caratteristica (tipicamente 50 W) questa diventa Cioè proprio i coefficienti di riflessione e trasmissione quando le porte sono chiuse sull’impedenza di normalizzazione

Matrice di diffusione (S) di un n porte Ma perché usare tale normalizzazione? Se calcoliamo la potenza media che incide alle porte E la potenza riflessa Quindi con tale definizione le quantità sono legate all’energia trasportata dal campo elettromagnetico La potenza netta entrante nel circuito sarà pari alla differenza tra potenza incidente e riflessa, sommata su ciascuna porta Ma sappiamo che quindi

Matrice di diffusione (S) di un n porte In assenza di perdite, tale potenza deve essere nulla per qualunque insieme di eccitazioni a per cui Condizione di assenza di perdite (Unitarietà di S) La reciprocità invece implica che S sia simmetrica Consideriamo un due porte simmetrico e senza perdite: vediamo qual è il numero minimo di parametri necessari a caratterizzarlo; la matrice S è 2x2 Nel definire la matrice S, dobbiamo specificare il piano di riferimento di fase si ciascuna porta: in pratica dobbiamo per esempio specificare in un dispositivo ad una porta, in quale sezione della linea di alimentazione il coefficiente di riflessione è misurato. Se la linea è senza perdite, il cambiamento della sezione comporterà solo un cambiamento della fase del coefficiente di riflessione Possiamo quindi sempre scegliere un piano di riferimento per cui la fase di s11 sia zero, cioè s11 sia reale

Proprietà di un 2 porte simmetrico senza perdite La condizione di assenza di perdite porta a Possiamo porre, parametrizzando con Quindi abbiamo un solo parametro indipendente

Proprietà di un 3 porte simmetrico, reciproco, senza perdite Immaginiamo di avere un 3 porte con simmetria rotazionale, così che s11=s22=s33 Anche in questo caso scegliamo il piano di riferimento per ottenere s11 reale; la matrice diventa Imponendo l’assenza di perdite otteniamo Che NON AMMETTE SOLUZIONI PER a=0

Proprietà di un 3 porte simmetrico, reciproco, senza perdite Quindi un tre porte simmetrico, reciproco e senza perdite non può essere adattato simultaneamente a tutte le porte Può esserlo, invece, un 3 porte non reciproco, o uno con perdite Un particolare 3 porte non reciproco estremamente importante nella pratica è il circolatore Di fatti possiamo dimostrare che 3 porte adattato, senza perdite non reciproco è necessariamente un circolatore Infatti la matrice S di un 3 porte adattato è Imponendo l’assenza di perdite otteniamo le equazioni Che sono soddisfatte se Chiaramente non reciproco Oppure se

Circolatore Le due possibili soluzioni corrispondono a due possibili circolatori, uno che consente flusso di potenza in senso orario e l’altro in senso antiorario La prima soluzione quindi descrive un circuito che trasmette potenza dalla porta 1 alla 2, o dalla 2 alla 3 o dalla 3 alla 1, ma non in direzione opposta o tra porte non contigue 1 2 3 1 2 3 1 2 3 TX RX Esempio possibile utilizzo: radar in cui la stessa antenna è usata sia in trasmissione che in ricezione

Proprietà di un 4 porte reciproco, senza perdite, adattato alle porte In tal caso la matrice è Imponiamo l’assenza di perdite E sottraendo E sottraendo Le due possono essere soddisfatte se S14=S23=0: ACCOPPIATORE DIREZIONALE I prodotti per gli elementi diagonali danno poi

Proprietà di un 4 porte reciproco, senza perdite, adattato alle porte Che implica Possiamo scegliere il piano di riferimento in modo che S12 sia reale Inoltre, considerando che S13 ed S24 hanno stesso modulo, in forma polare scriviamo Ora valutiamo l’equazione che viene dal moltiplicare riga 2 e colonna 3 Cioè, sostituendo Due scelte particolari si incontrano nella pratica Accoppiatore simmetrico o a quadratura di fase, la cui matrice S è quindi Notate che, in questo caso, oltre alla simmetria della matrice imposta dalla reciprocità, essa è simmetrica anche rispetto alla diagonale secondaria, indicando un circuito con un piano di simmetria

Proprietà di un 4 porte reciproco, senza perdite, adattato alle porte Accoppiatore antisimmetrico, la cui matrice S è quindi Notate infine che a e b non sono indipendenti, infatti Ora, analizzando in dettaglio le altre possibili soluzioni, si perviene o a riconsiderare lo stesso caso sin qui analizzato, o ad ottenere il caso S12=S13=S24=S34=0, cioè 2 due porte disaccoppiati ed indipendenti Quindi, escludendo quest’ultimo caso - di nessun interesse- ogni 4-porte reciproco e senza perdite adattato si comporta come un accoppiatore direzionale. e l’accoppiatore direzionale in quadratura di fase deve per forza essere simmetrico.

Proprietà di un 4 porte reciproco, senza perdite, adattato alle porte quindi, schematicamente, un accoppiatore ideale cede potenza alla porta accoppiata in ragione del fattore di accoppiamento (coupling factor) mentre cede tutta la potenza rimanente alla porta diretta La porta rimanente è disaccoppiata o isolata 1 2 3 4 accoppiata isolata

Accoppiatori Nella pratica caratterizzano un accoppiatore: Accoppiamento Cioè, che frazione della potenza in ingresso è ceduta sulla porta accoppiata Isolamento Cioè, che frazione della potenza in ingresso è ceduta sulla porta isolata Direttività Cioè, capacità dell’accoppiatore di isolare onde che vanno in una direzione e nella direzione opposta Se la potenza in ingresso si divide tra porta diretta ed accoppiata in parti uguali (1/2 della potenza va sulla 2 ed 1/2 sulla 3), ovvero se il fattore di accoppiamento è 3dB, si parla di ibridi. In tal caso In tal caso, la matrice S per un ibrido ideale a 90° è mentre, la matrice S per un ibrido ideale a 180° è

Divisore di potenza a “T” E’ un semplice 3 porte per divisione o combinazione potenza Essendo reciproco e senza perdite, non può essere adattato a tutte le porte B è una suscettanza che tiene conto dei campi dovuti alla discontinuità Volendo adattare alla porta di ingresso, la condizione è che I valori di Z1 e Z2 possono poi essere scelti per avere diversi rapporti di divisione. Chiaramente le 2 porte rimanenti non possono essere adattate Trascuriamo inizialmente B, e consideriamo a la frazione trasmessa alla porta 1 ed 1- a quella alla 2; essendo la porta di ingresso adattata otteniamo Chiaramente l’impedenza vista per esempio guardando nella linea 1, sarà il parallelo di Z0 e Z2

Chiaramente l’impedenza vista per esempio guardando nella linea 1, sarà il parallelo di Z0 e Z2 Ed il coefficiente di riflessione diviene

Divisore resistivo Si può adattare alle porte, anche se le porte di uscita non sono isolate Analizziamo il caso di divisore con fattore 1/2 L’impedenza vista in uno dei rami di uscita Quindi, considerando i due rami di uscita in parallelo, deve essere Essendo il 3 porte simmetrico, lo stesso avviene guardando nella porta 2 o nella porta 3: S11=S22=S33=0 Se la tensione alla porta 1 è V1, la tensione al centro (V) è E le tensioni di uscita Per cui S21=S31=S23=1/2, ovvero -6dB Appare chiaro che metà della potenza è dissipata nei resistori

Divisore Wilkinson E’ un divisore che utilizza resistori, ma Se le porte sono adattate, nessuna potenza viene dissipata: solo la potenza riflessa è dissipata Consente di ottenere isolamento tra le porte di uscita; studiamo quello a 3dB Per studiarlo, normalizziamo tutto a Zo e ridisegniamo evidenziando le simmetrie

Divisore Wilkinson Possiamo studiarlo sfruttando la sovrapposizione degli effetti Se volessimo infatti sapere la risposta del circuito quando alla porta 2 applichiamo un generatore Vg2=4V mentre la porta 3 (Vg3) è lasciata a 0 potremmo prima studiare il caso in cui applichiamo Vg2=Vg3=2V e poi il caso Vg2=-Vg3=2V: la somma dei due casi produce il risultato desiderato Calcolare la risposta a tali eccitazioni particolari (simmetrica ed antisimmetrica, ovvero pari e dispari) è più semplice, poiché la simmetria del problema consente di ridurre, come vedremo il 2-porte a 2 singole porte indipendenti Questa è una proprietà del tutto generale dei circuiti con simmetrie, per cui si possono trovare insiemi di eccitazioni, o autoeccitazioni, che decompongono il problema a N porte in N problemi ad una porta Consideriamo i due problemi indipendentemente, a partire dall’eccitazione pari

Divisore Wilkinson 1 Se Vg2 e Vg3 sono uguali, le tensioni V2 e V3 sono uguali 2V Quindi non fluisce corrente nel resistore, che possiamo togliere 2V Anche nel nodo di ingresso non fluisce corrente: è di fatto un circuito aperto In pratica c’è uno zero di corrente in tutti i rami che attraversano il piano di simmetria: si parla di muro magnetico Il circuito risulta quindi un semplice tratto di linea in quarto d’onda chiuso su resistenza 2, per cui guardano nella porta 2 si vede un’impedenza E chiaramente scegliendo Z pari alla radice di 2, si vede in ingresso 1, cioè adattamento; quindi Ora ci occorrono V1 e V2: sappiamo che l’impedenza che vediamo nel nodo di V2 è 1: quindi abbiamo un partitore resistivo, e V2 risulta Per conoscere V1, ricordiamo che si tratta di un tratto di linea in quarto d’onda, in cui V(0)=V=V++V-

Divisore Wilkinson D’altro canto sappiamo anche la corrente che fluisce sul resistore 2

2V -2V Divisore Wilkinson Trattiamo il caso dispari: Vg2 e Vg3 sono uguali e opposte 2V In pratica c’è un massimo di corrente in tutti i rami che attraversano il piano di simmetria, ovvero uno zero di tensione sul piano di simmetria: si parla di muro elettrico -2V Il circuito risulta quindi quello di partenza in cui tutti i nodi centrali sono stati rimpiazzati da un corto a massa Ora, il corto della porta 1, dopo un quarto d’onda diventa un aperto, e “vediamo” solo r E vediamo che quindi se r=2, il coefficiente di riflessione è nullo, cioè Chiaramente ora risulta

Divisore Wilkinson Per vedere cosa succede alla porta 1, ci comportiamo in modo simile al caso pari, infatti il circuito appare così il resistore non è attraversato da corrente (quindi lo possiamo togliere) e si tratta di due tratti in quarto d’onda, ciascuno che vede un’impedenza di ingresso normalizzata pari a che posti in parallelo danno di nuovo impedenza 1, cioè adattamento (S11=0) Ora, per riottenere la matrice S complessiva, bisogna ricombinare i risultati ottenuti, “pesandoli” con le eccitazioni ipotizzate in particolare, sappiamo che S22 ed S33 saranno 0, visto che lo sono sia nel caso pari che nel caso dispari, così come 0 sarà S23=S32, visto che sia nel caso pari che dispari le porte 2 e 3 sono disaccoppiate

Divisore Wilkinson grazie al fatto che, in questo caso, tutte le porte sono adattate se chiuse sull’impedenza di normalizzazione Per S12 avremmo e, per simmetria (porte 2 e 3 interscambiabili)