Esempio

Esempio (cont.)

Ritardo di gruppo Nel caso appena visto: Grafico del ritardo di gruppo I valori sono normalizzati alla costante

Risposte ottime Risposta massimamente piatta

Butterworth

Risposta Equiripple

Polinomio di Tchebysheff

Dettaglio della risposta in banda

Grado del filtro Normalmente si usano quantità espresse in dB: Perdite di inserzione minime in banda soppressa: Perdite di ritorno minime in banda passante:

Rapporto delle frequenze di cut-off Oltre a Lr e La viene tipicamente richiesto il rapporto tra la frequenza di cutoff della banda soppressa e quello della banda passante Risposta max piatta: Ora, essendo:

Esempio filtro massimamente piatto Nel caso si specifichi il rapporto g delle frequenze di cut-off, cioè il rapporto tra minima pulsazione soppressa e massima pulsazione passante: Essendo:

Grado del filtro max piatto Se LR >>1 Ma Pertanto: Es:

Grado del filtro equiripple Alla frequenza di cut-off della banda soppressa (ws=g): Osservando che:

Grado Risposta Tchebysheff (cont.) Es: Contro il valore 12 richiesto dal filtro con risposta max piatta

Confronto risposte prototipi LP Butterworth e Chebyshev

Prototipi passa-basso a scala

Valori dei parametri per un filtro Butterworth

Valori dei parametri per un filtro Chebyshev

Esempio: Filtro Chebyshev n=4, LR=20 dB g4 g2 0.7628 1.2919 R' 0.819 g3 g1 1 V 1.5775 0.931 Si noti che in questo caso l’impedenza del generatore è diversa da 1 mentre quella di carico è unitaria. Si possono allora normalizzare tutte le impedenze rispetto a quella del generatore. Così facendo si ottiene:

Ovvero, normalizzando rispetto a R’ g4 g2 0.7628 1.2919 1 g3 g1 V 1.5775 0.931 1/R'

Trasformazione del prototipo passa-basso in quello passa-banda Attraverso il cambiamento di variabile: Essendo gli estremi della banda passante

Trasformazione serie A partire dai parametri del filtro passa basso, mediante la trasformazione in frequenza illustrata, le induttanze serie originarie L si trasformano nei risonatori serie L' e C '

Trasformazione parallelo Analogamente, le capacità parallelo C diventano risonatori parallelo L'' e C'':

Trasfomazione Lp-Bp per il circuito prototipo di grado 4 SPECIFICHE - Estremi della banda passante: 37 GHz - 37.3 GHz. - Return loss minimo in banda passante (LR): = 20 dB. - Attenuazione minima in banda soppressa (LA): 40 dB per f  37.750 GHz. Con le trasformazioni mostrate si ottiene il circuito:

L' implementazione della rete mostrata pone alcuni problemi: Difficoltà nella implementazione del circuito risonante in un dispositivo a microonde L' implementazione della rete mostrata pone alcuni problemi: la realizzazione dei risonatori; la connessione tra i diversi blocchi non può avvenire in un unico punto fisico, come accade nel prototipo illustrato, per cui la caratteristica viene irrimediabilmente alterata; impiegando strutture guidanti vere risulta difficoltoso collegare elementi in serie e in parallelo;

Quindi il prototipo deve essere modificato perché diventi simile alla struttura fisica che lo realizza Il primo passo è quello di trasformare i risonatori in modo da renderli tutti serie o parallelo; tale operazione viene resa possibile tramite l'impiego di INVERTITORI DI IMPEDENZA. Un invertitore di impedenza è un rete due porte la cui matrice di trasmissione vale:  

Trasformazione circuito parallelo Con K viene indicata l'impedenza caratteristica dell'invertitore; è agevole dimostrare l'uguaglianza tra una suscettanza parallelo ed una reattanza serie compresa tra due invertitori uguali, come illustrato : L' uguaglianza sussiste se :  - L'=C"*K² - C'=L"/K² Si osservi che, dopo ogni trasformazione, il risonatore serie conserva la medesima frequenza di risonanza del risonatore parallelo:

Anche i parametri dei risonatori serie possono essere modificati tramite l'utilizzo di due trasformatori, come illustrato di seguito:

Quindi la rete a scala iniziale viene trasformata in un circuito in cui vi sono solamente risonatori serie separati da invertitori di impedenza:

Realizzazione dei risonatori serie Un tratto di linea di trasmissione di impedenza caratteristica Z0 e lunghezza elettrica =l, ammette il circuito equivalente: l jX Z0 jB jB

Se la lunghezza elettrica  del tratto di linea è pari a  alla pulsazione di risonanza 0, sviluppando X() in serie di Taylor attorno a = e arrestando lo sviluppo al primo ordine, si ottiene: Perché l'uguaglianza precedente sia verificata per un intorno non nullo della pulsazione 0, è necessario che :

 D’altra parte: Quindi: L dipende dal tipo di struttura guidante che si sta utilizzando. Tramite l‘impiego di invertitori di impedenza e trasformatori è possibile così acquisire notevole flessibilità nella costruzione del circuito, rimanendo vincolata la sola pulsazione di risonanza.

I trasformatori sono stati inglobati negli invertitori di impedenza considerando che la cascata di un invertitore K e un trasformatore n:1 è ancora un invertitore di impedenza caratteristica K/n e, analogamente, la cascata di un trasformatore 1:n e un invertitore K produce un invertitore di impedenza nK. I valori i L0i saranno determinati in funzione delle strutture guidanti che verranno utilizzate per costruire il filtro. I valori di K possono essere dedotti utilizzando le seguenti relazioni, in cui con Li e Ci vengono indicati i valori delle capacità e delle induttanze relative al prototipo passa banda descritto.

Realizzazione degli invertitori di impedenza in microstriscia Il calcolo delle dimensioni delle finestre avviene oggigiorno attraverso simulatori elettromagnetici dedicati allo studio di circuiti planari, come Ensemble, Microwave Office, etc.

Equalizzazione della fase Calcolata il gap che consente di ottenere la stessa riflettenza dell’invertitore, si aggiusta la fase aggiungendo a dx e sx del gap due tratti di linea negativa che producano la compensazione di fase desiderata. Il calcolo delle dimensioni delle finestre avviene oggigiorno attraverso simulatori elettromagnetici commerciali basati su tecniche idonee come HFSS, Microwave Studio, Mician, WASP, et cetera. Risultati in forma chiusa ma notevolmente approssimati sono reperibili in ‘Microwave Handbook’, di N. Marcuvitz (1948).

Realizzazione degli invertitori di impedenza in guida rettangolare Le due linee di trasmissione sono realizzate tramite tratti di guida d'onda rettangolare aventi, alla frequenza di centro banda, impedenza caratteristica Z1 e Z2; se indichiamo con a1 e a2 le larghezze delle due guide, i coefficienti di riflessione alle sezioni aa' e bb' hanno lo stesso valore:

Nel caso in cui le guide a dx e sx della finestra siano uguali: La simmetria della finestra implica A=D

Uguagliando le matrici di trasmissione dei due circuiti, si ottiene: Se la finestra è modellata con una suscettanza parallelo b Se la finestra è modellata con una suscettanza parallelo b. Quanto maggiore è b (finestra più chiusa) tanto più

Risposta tipica di un filtro BP

Realizzazione degli invertitori di impedenza in microstriscia Il calcolo delle dimensioni delle finestre avviene oggigiorno attraverso simulatori elettromagnetici dedicati allo studio di circuiti planari, come Ensemble, Microwave Office, etc.

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