Elettromagnetismo per la Trasmissione dell’Informazione Prof. Marco Farina Dipartimento di Bioingegneria, Elettronica e Telecomunicazioni

Modalità Esami Prova scritta “Auto-correzione” Prova orale

Testi consigliati Ramo-Whinnery-Van Duzer: Campi e Onde nell’elettronica delle Telecomunicazioni R. Feynman, La Fisica di Feynman, vol 2: Elettromagnetismo e Materia, Zanichelli

Un po’ di storia... William Gilbert (1544-1603): “De Magnete”; la ‘terrella’; distinzione fenomeni elettrici e magnetici; Otto Von Guericke (1602-1686): ingegnere; studi sul vuoto; primo “generatore” con sfera di zolfo Stephen Gray (1666-1736): conduttori ed isolanti Charles Dufay (1698-1739): chimico; elettricità “vetrosa” e “resinosa” Pieter Van Musschenbroek (1692-1761) di Leida: fisico; il primo condensatore John Canton (1718-1772): induzione elettrica Benjamin Franklin (1706-1790): tipografo, giornalista, inventore, politico… Conservazione della carica, proprietà dei corpi appuntiti Charles Augustine de Coulomb (1736-1806): ingegnere; legge quantitativa

Un po’ di storia... Henry Cavendish (1731-1810): più famoso per contributi in chimica; analogo di Coulomb, e studi su capacità di condensatori di forme diverse (definizione di capacità) Joseph Louis Lagrange (1736-1813): il concetto di potenziale Pierre Simon De Laplace (1749-1827) Siméon Denis Poisson (1781-1840) George Green (1793-1841) Carl Friederich Gauss (1777-1875) Alessandro Volta (1745-1827): elettroforo, elettrometro, eudiometro, pila… Hans Christian Oersted (1777-1851): effetti magnetici delle correnti André-Marie Ampère (1775-1836): leggi dell’azione meccanica tra correnti elettriche Michael Faraday (1791-1867): attività colossale (leghe dell’acciaio, rotazioni elettromagnetiche, liquefazione dei gas, vetri ottici, scoperta del benzene, induzione elettromagnetica, decomposizione elettrochimica, scariche nei gas, benzene, elettricità e magnetismo, diamagnetismo…. Il più grande fisico sperimentale del XIX secolo

Un po’ di storia... James Clerk Maxwell (1831-1879):teoria dell’elettromagnetismo (“Treatise on electricity and Magnetism”), termodinamica e meccanica statistica. Maxwell intuì che la luce era una manifestazione del campo elettromagnetico Da una lettera di Faraday a Maxwell nel 1857: “...C’è qualcosa che mi piacerebbe chiederle. Quando un matematico impegnato sulla ricerca delle azioni e sugli effetti fisici è giunto alle sue conclusioni, non è possibile che queste ultime siano esposte nel linguaggio di tutti i giorni, con la pienezza, chiarezza e precisione che esse hanno nelle formule matematiche? E, in caso affermativo, il farlo non sarebbe un gran dono verso uno come me? Tradurle dal linguaggio dei geroglifici in cui sono espresse, così che anche uno come me vi possa lavorar su per mezzo di esperimenti….” Heinrich Hertz (1857-1894):Generazione/rivelazione onde EM: prove della teoria di Maxwell

Struttura dell’atomo Negli anni ‘30 J.J. Thomson, Ernest Rutherford, Niels Bohr e James Chadwick sviluppano il modello di tipo “planetario”, con un nucleo di protoni e neutroni circondato di una nube di elettroni Z = numero atomico A = numero di massa Nel Nucleo: Z protoni A – Z neutroni Z elettroni esterni 10-10 m 10-15 m

Struttura dell’atomo …non prendete troppo sul serio l’idea planetaria... …nessuna possibilità di trovarci sopra dei lillipuziani ... Del resto: perché un elettrone non cade nel nucleo? Non c’è spiegazione nella meccanica classica La spiegazione è nel “principio di indeterminazione” della meccanica quantistica, che stabilisce che alcune quantità (coniugate) non sono misurabili simultaneamente con precisione arbitraria; l’incertezza nella misura di grandezze coniugate è tale che il loro prodotto non può essere migliore di una costante (legata alla costante di Plank) (a meno di qualche fattore 2 e p…) Se elettrone e protone in un atomo di idrogeno finissero l’un l’altro, la quantità di moto tenderebbe a crescere fino ad infinito: il raggio dell’idrogeno è un compromesso tra la forza attrattiva e l’energia cinetica imposta dal principio di indeterminazione

Struttura dell’atomo supponete che a sia il “raggio” dell’atomo la quantità di moto sarebbe dell’ordine e l’energia cinetica La forza elettrica attrattiva darà all’elettrone un’energia potenziale L’energia totale è la somma dei due: vediamo a che distanza a l’energia è minimizzata raggio di Bohr….

Struttura dell’atomo Negli anni ‘50 Reines e Cowan dimostrano l’esistenza di un ulteriore tipo di particella, predetta da Wolfgang Pauli negli anni 30: il Neutrino Alla fine degli anni ‘30 nei raggi cosmici si identifica un cugino pesante dell’elettrone, il Muone (200 volte più pesante, per il resto identico all’elettrone) e più tardi, negli accelleratore di particelle, un altro cugino, Tau Nelle collisioni ad altissime energie, volte riprodurre condizioni successive al Big Bang, si identificano due parenti del neutrino, denominati muon-neutrino e tau-neutrino Neutrini, muoni e tau non sono costituenti della materia, e quelli ottenuti negli accelleratori sono di solito particelle effimere.

Struttura dell’atomo Nel ‘68 a Stanford si scopre che protoni e neutroni NON sono fondamentali: essi sono composti da combinazioni di QUARK (QUestion mARK) denominati SU e GIU’ (Up/Down), che hanno carica elettrica +2/3 e -1/3 rispetto alla carica dell’elettrone rispettivamente ci sono 2 UP ed 1 Down in un protone e viceversa in un neutrone Particelle non elementari composte da combinazioni di Quark vengono anche definiti Adroni, che si distinguono dai Leptoni (elettrone, muone, tau) che non hanno altri costituenti e non sono sensibili alla Forza Forte

“Zoologia” delle particelle Particelle elementari (Fermioni) +antiparticelle (identiche con carica opposta)

“Zoologia” delle particelle Combinazioni di Quark danno origine a: - Barioni, composti da 3 quark (come neutrone e protone) - Barioni esotici (4, 5 quark) - Mesoni (quark+anti-quark): pioni, kaoni…..

Le Forze Ad oggi tutte le interazioni sembrano ricondursi a 4 forze fondamentali Interazione Elettromagnetica Interazione Gravitazionale Interazione Nucleare Forte Interazione Nucleare Debole

Le Forze e i quanti “C’era un tempo in cui i giornali scrivevano che solo 20 persone avevano capito la teoria della relatività. Non credo che tale tempo sia mai esistito. Potrebbe essere esistito un tempo in cui un solo uomo l’aveva capita perché l’unico a concepirla, prima di scrivere il suo articolo. Ma dopo aver letto l’articolo molti capirono la teoria della relatività, in un modo o nell’altro, sicuramente più di venti. D’altro canto posso affermare con sicurezza che nessuno capisce la meccanica quantistica” Richard Feynman

Il paradosso alla fine del 1800 Data una cavità metallica, si valutano le soluzioni dell’insieme equazioni di Maxwell+condizioni al contorno Si verifica che solo un numero discreto di “modi” sono possibili, ovvero onde che hanno in ciascuna direzione un numero d’onda pari ad un multiplo discreto di p/L, se L è la dimensione in tale direzione della cavità Tuttavia il numero di modi possibili, sebbene discreto, è infinito L’uso della termodinamica classica (Rayleigh e Jeans) portava a prevedere che, ad una data temperatura, tutti i modi venissero eccitati con la stessa ampiezza: l’energia totale del sistema (integrale su tutti i modi)=infinito!

L’ipotesi di Planck Energia fornita per pacchetti interi (quanti) L’energia minima di un’onda è proporzionale alla frequenza dell’onda stessa Nella cavità alcuni modi avranno minima energia associata (il pacchetto più piccolo) troppo elevata per essere eccitati: ad una data temperatura solo un numero finito di modi è eccitato!

L’ipotesi di Planck: applicazione alla radiazione di corpo nero Occorreva solo stabilire sperimentalmente la costante di proporzionalità: la costante di Planck: h ~ 6.6 10-34 Js Legge di Rayleigh-Jeans Legge di Planck Con l’aggiustamento di un solo parametro si aveva un accordo perfetto con l’esperimento: premio Nobel 1918

Effetto Fotoelettrico Un metallo colpito da luce, può emettere elettroni Se si aumenta l’intensità della luce, non aumenta l’energia cinetica degli elettroni, ma il numero di elettroni emessi Se si aumenta la frequenza della luce incidente, aumenta l’energia cinetica degli elettroni Spiegazione (Einstein; 1905): la luce ha natura corpuscolare (fotoni) che hanno energia E=h f

Quindi corpuscoli o onde ? Credits:Dr. Tonomura Come reinterpretare i fenomeni luminosi in termini corpuscolari: Feynman http://vega.org.uk/video/subseries/8

Tornando alle interazioni I fotoni sono i quanti o i “mediatori” (particelle) delle forze elettriche (elettromagnetiche); quali per le altre forze? Il nostro corso

Esistono fattori comuni? Molti fisici teorici sono alla ricerca di una TOE (Theory Of Everything) cercando una spiegazione comune a tanta varietà di particelle Apparentemente gravità e le altre interazioni sottostanno a leggi inconciliabili (relatività generale e meccanica quantistica) Le due teorie più promettenti sono quelle dei Twistors (Roger Penrose, 1970) e quella delle Stringhe (1968-1970 circa) Nel 2003 Edward Witten ha collegato le due teorie, e in gennaio 2005, ad Oxford, la prima conferenza dedicata alla convergenza delle due teorie… Morale: Non tutto ciò che studiate è assodato, statico, immutabile! Da ingegneri, applicherete concetti che sono consolidati da un punto di vista operativo; concetti classici (equazioni di Maxwell) o quantistici (dispositivi, laser); senso critico!

Carica elettrica La carica elettrica (q) è la proprietà delle particelle sensibili alla forza (interazione) elettromagnetica, così come la massa (o carica) gravitazionale (m) è la proprietà delle particelle sensibili alla forza gravitazionale) La carica di una particella non dipende dal suo stato di moto: essa è uno scalare invariante, indipendente dal sistema di riferimento in cui viene misurata (principio di invarianza della carica elettrica) La carica elettrica elementare è quella dell’elettrone (e): scoperta da JJ Thomson nel 1897, fu misurata da R. Millikan tra il 1909 e il 1917

Quantizzazione della carica La carica elettrica osservata sperimentalmente è sempre un multiplo intero (positivo o negativo) di e I quark (carica frazionaria) non compaiono mai da soli (principio di schiavitù asintotica) ma in combinazioni che consentono di non violare tale regola

Neutralità della carica In un sistema isolato la somma algebrica delle cariche elettriche è costante Benjamin Franklin [1706-1790] La materia è macroscopicamente neutra A livello atomico le forze di attrazione tra cariche opposte sono formidabili

Quantificazione interazione tra cariche Charles Augustin de Coulomb [1736-1806] Legge di Coulomb (1785) q1 q2 r ur Nel vuoto

Legge di Coulomb Se l’origine non coincide con una delle due particelle q1 q2 r-r’ O r r’ Nota: permettività o permeabilità elettrica nel vuoto

Pensate ad una forza simile alla gravitazione […] ma che sia all’incirca un miliardo di miliardi di miliardi di miliardi di volte più forte.[…] tutta la materia è una miscela di protoni positivi ed elettroni negativi che si attirano e si respingono con questa gran forza. Tuttavia la compensazione è così perfetta che stando accanto ad un’altra persona voi non risentite alcuna forza. Eppure se ci fosse anche un piccolo difetto nella composizione ve ne accorgereste subito. Se vi trovaste ad un metro di distanza da un altro ed ambedue aveste l’un per cento di elettroni in più che di protoni, la forza di repulsione sarebbe incredibile. Quanto grande? Sufficiente per sollevare l’Empire State Building? No! Per sollevare il monte Everest? No! La repulsione sarebbe abbastanza grande per sollevare un “peso” uguale a quello della Terra! Richard P. Feynman

Forze in un sistema di cariche Sovrapposizione degli effetti + q 1 2 3 4 F =

Distribuzioni continue di carica Il numero di cariche solitamente coinvolte nei fenomeni elettromagnetici è così alto che ha senso considerare campi generati da distribuzioni continue La forza su q0 dovuta all’elemento infinitesimo di carica dq vale q0 dq r-r’ O r r’

Densità di carica in un volume dV V o l u m e d q C a r i c Q Carica totale distribuita nel volume V dq = r(r’) dV’ Integrale di difficoltà enorme!

Densità Superficiale di carica Carica Q Superficie S dS dq Carica totale sulla superficie

Densità Lineare di carica Carica totale sul filo

Intensità del campo elettrico + F = - q E Nel vuoto E E Linee di Campo

In presenza di materiale dielettrico - + E - + E Il campo elettrico all’interno di un dielettrico sarà la sovrapposizione del campo esterno e di quello indotto dalle cariche di polarizzazione: il dielettrico agisce quindi riducendo l’intensità del campo. Il fattore di riduzione di tale intensità è la costante dielettrica relativa er

In presenza di materiale Definiamo una quantità che non dipende dal mezzo: il vettore Spostamento Elettrico o Densità di Flusso Elettrico [C/m2] Nota: questa espressione è vera se il materiale è “lineare”, cioè se la carica indotta e quindi il campo di polarizzazione è proporzionale al campo che induce la polarizzazione. Se non lineare, e dipende da E Per una carica puntiforme:

Legge di Gauss in forma integrale La carica netta totale racchiusa richiede sia le cariche libere che quelle indotte, nel caso ci sia un materiale nel volume racchiuso dalla superficie di Gauss Non importa la posizione delle cariche (purché distinguiamo quelle interne da quelle esterne alla superficie) Il campo che compare è quello totale, cioè anche dovuto ad eventuali cariche esterne però una carica esterna non altera il flusso totale (tanto ne entra quanto ne esce) La legge di Gauss è una forma alternativa della legge di Coulomb: consente di sfruttare le simmetrie, ed è valida anche per cariche in moto

Legge di Gauss per D Legge di Gauss in forma Integrale Con D dobbiamo considerare solo la carica libera, visto che le cariche indotte in eventuali materiali sono contenute nella definizione di D

Distribuzione di carica coassiale Si supponga di avere un cavo coassiale infinitamente lungo, in cui il cilindro interno è uniformemente carico, con densità lineare di carica l. Lo spazio tra i due cilindri è riempito da un mezzo con costante dielettrica e. Si calcoli il campo tra i due conduttori. Si applica Gauss ad superficie cilindrica intermedia r di lunghezza l; il campo elettrico è solo radiale a b r D Stesso risultato in assenza di conduttore esterno

Teorema di Gauss in forma differenziale x y z n=x n’=-x E E’ dx dy dv

Teorema della Divergenza Integriamo a destra e a sinistra il teorema di Gauss in forma differenziale Confrontiamo con il teorema di Gauss in forma integrale e otteniamo

Nota Con gli operatori differenziali descriviamo ciò che succede in un punto: se in un certo punto la densità di carica è zero, in quel punto la divergenza è nulla L’operatore divergenza è l’espressione del flusso attraverso una superficie chiusa infinitesima: quanto più il campo “diverge” da quel punto, tanto maggiore è la densità di carica, sorgente del campo, in tale punto

Potenziale Per un campo conservativo è sempre possibile definire un POTENZIALE, ovvero una grandezza che dipende solo dalla posizione nello spazio Se esiste una ddp tra due punti, siamo in presenza di un campo si misura in Volt [V]=[J/C]; nota che E è misurato in N/C cioè V/m

Superfici Equipotenziali Sono definiti come luogo dei punti a potenziale costante sono sempre ortogonali alle linee di forza Campo uniforme Carica puntiforme dipolo

Il concetto di Gradiente Calcoliamo il prodotto scalare di E ed elemento infinitesimo di spostamento, per esempio lungo x dx E d Ex Il campo elettrico diviene funzione di uno scalare!!

Promemoria Fin qui abbiamo definito due “operatori differenziali”: La Divergenza (indicata con Div oppure ) essa associa ad un campo vettoriale una funzione scalare Il gradiente (indicato con Grad oppure “nabla”) essa associa ad una funzione scalare un campo vettoriale

Promemoria Notate come il simbolo della divergenza sia molto informativo: Nel calcolare facciamo effettivamente un prodotto scalare tra l’operatore gradiente ed il campo: infatti il gradiente è una sorta di vettore speciale (un operatore appunto…) che ha bisogno di avere qualcosa alla sua destra su cui “operare”: ha tre componenti che sono in realtà derivate

Alcune note Gli operatori differenziali che abbiamo introdotto, sono stati scritti in coordinate rettangolari (x,y,z) Essi assumono forme diverse nei diversi sistemi di riferimento (cilindrico, sferico ecc.) In generale li trovate tabellati, da usare all’occorrenza, o ve li fate spiegare da un professore di analisi Gli operatori sono potenti strumenti matematici, con un’algebra simile a quella delle matrici

Potenziale per una carica puntiforme Hanno senso solo differenze di potenziale Uno dei due potenziali è preso come “riferimento” In questo caso un riferimento comodo è B all’infinito

Calcolo del campo di un dipolo usando i potenziali Se vogliamo il campo elettrico in coordinate sferiche (come determinato in una precedente lezione) occorre calcolare il Grad(V) in coordinate sferiche

Campo Elettrico del dipolo a partire dal potenziale Il gradiente in coordinate sferiche è (come da appendice Ramo-Whinnery) Poiché V non dipende da f Quanto avevamo ottenuto in precedenza…... Nota: mentre il campo elettrico di una carica decresce con r come r-2, il dipolo, a causa della seconda carica ha campo che decresce come r-3

Potenziale di una distribuzione continua di cariche V P r r’ r-r’ r dV Distribuzione di cariche

L’approssimazione di dipolo per distribuzione arbitraria di cariche Distribuzione arbitraria di cariche: il potenziale in P in prima approssimazione, a grande distanza: P ri r di r’ Ma se ci sono cariche positive e negative in ugual quantità? L’approssimazione è chiaramente insufficiente

L’approssimazione di dipolo per distribuzione arbitraria di cariche Approssimiamo meglio ri P ri r di Per cui il potenziale diventa r’

L’approssimazione di dipolo per distribuzione arbitraria di cariche Se definiamo momento di dipolo per una distribuzione di cariche Vediamo che il secondo termine dell’espansione è Cioè esattamente il potenziale di dipolo calcolato nella scorsa lezione Questo è importante in quanto stabilisce che qualunque distribuzione di cariche, globalmente neutra, ad una certa distanza ha un potenziale (e quindi un campo) che dipende dal momento di dipolo

Esempio: approssimazioni a grande distanza Supponiamo di avere una distribuzione di cariche piuttosto complicata: Q1= 1nC in R1 (0.01,0.01,0.02)m Q3= 12nC in R3 (0.01,0.03,0.02)m Q2= 3nC in R2 (0.02,0.02,0.02)m Q4= 8nC in R4 (0.03,0.03,0.02)m Qual è il potenziale in P (3,0,4) m? P

Esempio: approssimazioni a grande distanza Le cariche sono tutte vicine all’origine, da cui P dista circa 5m Sappiamo quindi che il risultato sarà con buona approssimazione Se avessimo fatto il conto in modo esatto avremmo ottenuto ….la distanza in questo caso non è poi così grande...

Esempio2: approssimazioni a grande distanza Modifichiamo lievemente i dati (le cariche) del problema precedente: Q1= 1nC in R1 (0.01,0.01,0.02)m Q3= -4nC in R3 (0.01,0.03,0.02)m Q2= 5nC in R2 (0.02,0.02,0.02)m Q4= -2nC in R4 (0.03,0.03,0.02)m Qual è il potenziale in P(3,0,4) m? P

Esempio 2: approssimazioni a grande distanza Le cariche sono ancora tutte vicine all’origine, da cui P dista circa 5m Però se calcoliamo come prima Ovvero l’approssimazione è insufficiente: conta il contributo di dipolo (che sappiamo decrescere come r2) Calcoliamo il termine di dipolo:

Esempio 2: approssimazioni a grande distanza Se avessimo calcolato in modo “rigoroso” avremmo ottenuto

Metodo delle Immagini Se sostituiamo una superficie equipotenziale con una superficie conduttrice (o un conduttore pieno) avente il corretto potenziale, il campo rimane identico! IDEA: studiare i campi di distribuzioni di cariche in prossimità di conduttori rimpiazzando i conduttori con distribuzioni di carica appropriate, o viceversa, a seconda della difficoltà del problema

Metodo delle Immagini Tale procedura, ovvero sostituire ad un problema, un problema equivalente più semplice, è molto generale. Più avanti affronteremo il problema da un punto di vista matematico ( “unicità” di una soluzione di un sistema di equazioni integro-differenziali con condizioni al contorno) Ovviamente il problema è equivalente per tutto quanto è al di fuori del conduttore equivalente Il caso più semplice: un conduttore piano a potenziale zero (massa) in prossimità di una carica. Basta sostituire con un dipolo.

Carica in prossimità di un piano conduttore - P Il campo dovuto alla carica sola è r r a Sul piano, il campo è tutto ortogonale, con direzione -x, e la componente di r lungo x di r è -a, ovvero Aggiungiamo l’effetto della carica immagine raddoppiando il campo

Carica in prossimità di un piano conduttore - P La densità di carica indotta (Gauss) è r r a Notate che, se integriamo su tutto il piano (nota: (r,q) individuano un punto in coordinate polari) Come deve essere. La forza che subisce la carica è ovviamente (forza tra due cariche uguali e opposte…) Lo stesso risultato poteva essere ottenuto integrando i contributi di forza dovuti a s (molto più laborioso!!)

ATTENZIONE L’equivalenza è valida solo per la regione al di fuori del conduttore equivalente: es. appello luglio 2007 Flusso attraverso la sfera? NON E’ ZERO come potreste immaginare mettendo la carica immagine Usiamo il teorema della immagini per calcolare la carica sul piano Integrata nel cerchio di 1 m Quindi per Gauss:

Equazione di Poisson +Conservatività campo elettrostatico Teorema di Gauss Se il mezzo è omogeneo (costante dielettrica indipendente dalla posizione) In assenza di cariche (eq. Di Laplace)

Esercizio x y q r Data una carica q posta nell’origine, verificare che tutti i punti a distanza r verificano l’equazione di Laplace z

Esercizio (Continuo)

Come risolvere le equazioni di Laplace e Poisson Come risolvere le equazioni di Laplace e Poisson? Digressione sui numeri complessi Una variabile complessa è definita da una coppia di variabili reali Z=x+jy essendo j=(-1)1/2 Le coppie individuano un piano complesso o “piano di Gauss” In coordinate polari Gerolamo Cardano [1501-1576] Possiamo definire una funzione complessa di variabile complessa:

Digressione sui numeri complessi La derivata di una tale funzione è definita dal limite del rapporto incrementale Una funzione complessa è analitica (o regolare) se tale limite esiste ed è unico Condizione necessaria, è che il risultato che si ha derivando lungo dx o lungo jdy sia lo stesso, ovvero Uguagliando parte reale ed immaginaria si ha Condizioni di Cauchy-Riemann In realtà tali condizioni risultano anche sufficienti

Funzioni analitiche e potenziali Derivando la prima delle condizioni di CR rispetto a x, la seconda rispetto ad y e sommando si ha cioè l’equazione di Laplace in 2 dimensioni Analogamente, invertendo l’ordine della derivazione si ottiene Quindi parte reale e parte immaginaria di una funzione analitica possono essere usate come funzioni di potenziale in problemi 2D Non solo: se per esempio u è usato come potenziale ( e quindi u=cost individua superfici -anzi curve- equipotenziali), v=cost individua curve perpendicolari proporzionali al flusso Quindi: fissate delle condizioni al contorno per il potenziale, se troviamo una funzione analitica la cui parte reale (o immag) le soddisfa, abbiamo il potenziale e quindi il campo dappertutto!

Esempio Una funzione analitica Se tracciamo per esempio su mathcad la parte immaginaria, al variare della costante otteniamo Che sono le mappe di campo in prossimità di una lamina di metallo sottile. La parte reale infatti rappresenta le superfici equipotenziali Potenziale nullo

Esempio Se quindi assumiamo che la parte reale è il potenziale per la lamina, possiamo calcolare Ex in particolare è la componente di campo ortogonale allo spigolo della lamina: sappiamo che i campi ortogonali agli spigoli tendono ad infinito Se calcoliamo la prima derivata, vedremo che in x=0, per r →→0 il campo tende ad infinito come r -1/2 Quindi abbiamo anche un’informazione quantitativa della singolarità di campo in prossimità di uno spigolo a lama di coltello: diremo che l’ordine della singolarità è -1/2 In modo analogo (trovando opportune funzioni analitiche che siano in grado di soddisfare le condizioni al contorno) si possono calcolare gli andamenti di campo in prossimità di spigoli diversi. In generale si ottiene che per uno spigolo metallico con angolo F il campo tende ad infinito come rn con n=p/(2p-F)-1

Unicità soluzioni Eq. Poisson I potenziali governati dall’eq. Di Poisson (o da Laplace) in regioni con dati potenziali al contorno sono unici Dimostrazione per assurdo (Laplace): siano F1 e F2 soluzioni Contorno: F1- F2=0 Applichiamo il th.della divergenza a Introduciamo l’identità:

Unicità soluzioni Eq. Poisson Primo integrale nullo per eq Laplace Ultimo integrale nullo per ipotesi F1- F2=0 sul contorno F realeÞ Gradiente reale Þ Quadrato>=0 Integrale nullo Þ argomento nullo Condizione al contornoÞ costante nulla

Sovrapposizione degli Effetti Dividere un problema in più problemi più semplici Combinare le soluzioni per ottenere la risposta:LINEARITA’ EQ. LAPLACE E POISSON

Metodi analitici per risolvere le equazioni di Laplace/Poisson: separazione delle variabili Proviamo a cercare

Osservazioni Quali soluzioni usare? Dipende dalle condizioni al contorno La prima è periodica in y, la seconda in x Contorni all’infinito: sostituire f. iperboliche con esponenziali reali Le costanti di separazione vengono fuori dall’imposizione delle condizioni al contorno Le soluzioni dell’equazione di Laplace si definiscono Armoniche Una sola armonica può non essere sufficiente a soddisfare una o più delle condizioni al contorno: in tal caso si cerca la soluzione per serie di armoniche Nota: per kx=jky=0 la soluzione è

x y a b F=0 F=Vo Esempio Un caso bidimensionale con potenziale 0 su 3 lati, e fissato su un quarto Scegliamo soluzioni sinusoidali in y, perché consentono di avere zero in y=0 ed in y=b Il potenziale per x=0 è nullo:A=0 Il potenziale per y=0 è nullo:C=0 Il potenziale per y=b è nullo:kb=np Un solo termine non può soddisfare la condizione in x=a

Esempio (Cont.) I coefficienti si determinano imponendo la condizione al contorno restante (x=a) E’ un’espansione in serie di Fourier

Esempio (Cont.)

Serie di Fourier: (richiamo) Funzioni periodiche di periodo T: Il th. di Fourier asserisce che è possibile sostituire ad f una serie di seni e coseni di periodo multiplo di T T Coefficienti: usiamo ortogonalità sinusoidi, ovvero L’integrale del prodotto di due sinusoidi qualsiasi a diversa frequenza, nel quale siano commensurabili, è zero

Serie di Fourier: (richiamo) ortogonalità Moltiplicando ciascun termine della sommatoria per cos(nwt) ed integrando tra 0 e 2p, tutti i termini a destra si annullano tranne an a0 media di f nel periodo

Metodi numerici: differenze finite Una tecnica di “discretizzazione” molto diffusa: discretizzare: sostituire a equazioni differenziali/integrali, equazioni algebriche Costruiamo una griglia di punti, ed in alcuni dei punti il potenziale sia assegnato (condizioni al contorno). Siano i quadretti distanziati h Possiamo espandere in serie di Taylor il potenziale in un intorno del punto (x,y) Combinando le due si ottiene

Metodi numerici: differenze finite Per ogni punto della griglia (x0,y0) possiamo rimpiazzare l’equazione differenziale con il suo equivalente alle differenze finite: in esse non compaiono più derivate ma solo F(x0,y0), che divengono le incognite di un sistema ad n incognite ed n equazioni, n è il numero di punti considerato (x0,y0) (x0+h,y0) Un modo approssimato: notate che, dato un punto ed i 4 confinanti, l’eq di Laplace è soddisfatta se il punto centrale ha un potenziale pari alla media dei punti confinanti Sul sito http://www.av8n.com/physics/laplace.html due file Excel (versione “base” e “avanzata” -con un metodo più veloce-) che implementano quest’ultima strategia

Metodi numerici: differenze finite Esempio: appello del 31 Luglio 2007 Calcolare con le differenze finite il potenziale nei punti P1, P2... Supponiamo P2=P3=P4=0: calcoliamo P1 come media (7+2+0+0)/4=2.25V Aggiorniamo P2 di conseguenza (2.25+2+3+0)/4=1.813V Ora Aggiorniamo P4 (1.813+0+3+5)/4=2.453V P3 (7+2.25+2.453+5)/4=4.176 Torniamo a P1 (7+2+P2+P3)/4=3.747: diverso dal valore precedente: iteriamo Dopo qualche iterazione i risultati si stabilizzano P1: (7+2+P2+P3)/4=4.36 P2: (P1+2+3+P4)/4=3.364 P4: (P3+P2+3+5)/4=4.117 P3: (7+P1+P4+5)/4=5.119