Ottava Lezione Magnetismo

Riassunto della lezione precedente Soluzione eq di Poisson per differenze finite La corrente elettrica Legge di Ohm Campo Magnetico e Forza di Lorentz Effetto Hall

Considerazioni Non sono mai stati trovate evidenze di monopoli magnetici NO N S S N SI S N Il campo magnetico non compie lavoro: non può cambiare l’energia cinetica

Linee di Campo Luogo dei punti cui B è tangente Non esistono monopoli: le linee di campo magnetico sono sempre linee chiuse Il polo magnetico da cui emergono le linee di campo è detto polo nord, l’altro polo sud. Poli magnetici opposti si attraggono, poli magnetici simili si respingono.

Effetti della forza di Lorentz Immettiamo una particella carica in un campo magnetico uniforme, ortogonale alla direzione del moto (esce dal foglio) La forza prodotta dal campo magnetico non compie lavoro: è una forza centripeta e la particella ruota

Effetti della forza di Lorentz: campo magnetico uniforme ortogonale al moto Utilizzando la legge di Newton per un moto circolare uniforme Per cui il periodo T Senza effetti relativistici (v<<c) T non dipende dalla velocità, ma solo dal rapporto massa/carica Particelle più veloci ovviamente percorrono circonferenze più ampie

Effetti della forza di Lorentz: campo magnetico uniforme, non ortogonale al moto Se la velocità ha componente non nulla nella direzione di B, percorso elicoidale La componente della velocità parallela all’induzione da il passo dell’elica, quella ortogonale raggio e periodo. Raggio e periodo si calcolano considerando solo la componente ortogonale

Effetti della forza di Lorentz: campo magnetico non uniforme, non ortogonale al moto Se il campo magnetico B non è omogeneo, la particella sarà soggetta ad un moto a spirale con raggio ( e velocità di rotazione) variabile Se alle estremità B è molto intenso e ha una componente radiale, può riflettere la particella; se questo avviene alle due estremità si ha la “bottiglia magnetica”

Effetti della forza di Lorentz: campo magnetico non uniforme, non ortogonale al moto; Bottiglia magnetica infatti cioè Bz z Br Dopo una riflessione, invertendosi il senso del moto, si inverte la direzione di rotazione, e quindi la direzione di Fz

Aurore Boreali Il campo magnetico terrestre, addensandosi ai poli, agisce da “bottiglia magnetica” Tale bottiglia cattura elettroni e protoni del vento solare forzandoli ad andare avanti e indietro: fasce di Van Allen o magnetosfera Il “collo” (anzi i colli) della bottiglia è sopra i poli: le cariche si addensano e penetrano di più nell’atmosfera Urtandoli, eccitano gli atomi dell’atmosfera: colori diversi prodotti da emissione spontanea degli atomi di diverse sostanze (O, N ecc)

Tempeste magnetiche 11 Gennaio 1997: calcolati 1400 Gigawatt di energia dissipata nelle aurore boreali…..Black-out nei sistemi di comunicazione e guasti reti distribuzione elettrica Courtesy of (C) Pittsburgh Supercomputing Center (PSC) http://www.psc.edu/science/Goodrich/goodrich.html

Camera a bolle Un raggio gamma urta un atomo di idrogeno che perde un elettrone; il raggio gamma si trasforma in una coppia elettrone positrone; le traiettorie spiraliformi sono dovute alla presenza di un campo magnetico uniforme

Scoperta dell’elettrone J.J. Thomson, 1897 Un fascio di elettroni viene prodotto da un filamento incandescente. Ed accelerato da un campo elettrico L=lunghezza dei piatti v=velocità della particella m=massa della particella E=campo elettrico q=carica della particella Attraversa un condensatore a piatti piani dove subisce una deflessione: moto uniformemente accelerato, la deflessione è:

Scoperta dell’elettrone Si sovrappone un campo magnetico e se ne regola l’intensità fino a bilanciare la forza elettrica Quando ciò avviene q E = q v B. In questo modo si ottiene v = E / B Eliminando la velocità si ha il rapporto massa/carica in funzione della deflessione del fascio "I can see no escape from the conclusion that [cathode rays] are charges of negative electricity carried by particles of matter[...] What are these particles? are they atoms, or molecules, or matter in a still finer state of subdivision?” [J.J Thomson] La misura del rapporto, più di 1000 volte più piccolo di atomo di idrogeno carico, comportava o una massa molto più piccola di qualsiasi atomo o una carica molto più grande La misura di q per di Millikan chiarì che si trattava di una parte dell’atomo

Le Forze su un tratto di filo dl A Un elemento di corrente in un campo magnetico subisce una forza dovuta alla forza di Lorentz sulle singole cariche Dati due elementi di corrente, ciascuno subisce l’effetto del campo dell’altro; poniamo A la sezione dell’elemento di corrente e ricordiamo che qnv era la densità di corrente J: In generale, se si hanno due fili percorsi da corrente:

Le Forze su un tratto di filo Consideriamo il caso di un filo rettilineo immerso in un campo magnetico uniforme Se B perpendicolare al filo:

Momento di torsione su una spira Consideriamo una spira in un campo magnetico uniforme Lati 1 e 3 perpendicolari al campo; Lati 2 e 4 no I lati 2 e 4 subiscono forze uguali (F2 ed F4) e contrarie di modulo ibBsin(90°-q)=ibBcos(q) sulla stessa retta: equilibrio I lati 1 e 3 subiscono forze uguali e contrarie di modulo iaB su rette diverse: coppia

Momento di torsione su una spira Il momento meccanico vale Definiamo momento magnetico della spira e A=ab Il momento torcente diviene

Formula di Laplace Una corrente di cariche produce un campo magnetico: calcoliamolo Sia n la densità per unità di volume di cariche, dV l’elemento di volume percorso dalle cariche Ricordando che B dovuto ad una carica q in movimento: A dl u P dB Quindi il contributo di un elemento di corrente che contiene n dV cariche è Campo magnetico prodotto da una corrente filiforme

Legge di Biot-Savart Caso particolare della formula di Laplace per conduttore rettilineo: in questo caso il campo magnetico giace sul piano ora R P r dl a I dB l Inoltre Da cui Sostituendo dl ed r2

Forza tra due fili rettilinei percorsi da corrente Usiamo la legge di BS per il campo di induzione magnetica dei fili rettilinei x y dove

Forza tra due fili rettilinei percorsi da corrente cioè

Legge di Ampère dq r Calcoliamo la circuitazione di B lungo un arbitrario percorso chiuso intorno ad una corrente filiforme dl’ proiezione di dl sul versore lungo la circonferenza passante per il punto a distanza r

Considerazioni B è “solenoidale”: le linee di campo si chiudono sempre su sé stesse (inesistenza monopoli magnetici) Inesistenza cariche magnetiche+ teorema di Gauss: Forma integrale Differenziale

Un operatore differenziale per la circuitazione: il rotore Applichiamo il Th di Ampère ad una spira infinitesima, nel piano XY x y z dx -dx dy -dy I A B C D B1 B2 B‘ Scegliendo sup. elementari parallele ad YZ ed XZ, analogamente:

Un operatore differenziale per la circuitazione: il rotore Diremo che il vettore mJ è dato dal rotore(B): Corrisponde al prodotto vettoriale dell’operatore “del” Ñ e del campo B E’ una sorta di “densità di circuitazione”, ma ha come risultato un vettore, ortogonale alla superficie elementare su cui si calcola la circuitazione! Th di Ampère in forma differenziale