Tredicesima Lezione Relazioni energetiche e Condizioni al contorno per le Equazioni di Maxwell

Riassunto della lezione precedente Legge di Ampère-Maxwell Leggi di Maxwell in forma completa Importanza del termine aggiunto da Maxwell: paradossi evitati… Equazione d’onda per una regione omogenea, lineare e priva di sorgenti Una soluzione particolare: onda piana

Relazioni energetiche in un campo elettromagnetico: teorema di Poynting Definiamo la quantità ExH, vettore di Poynting: perché? pensando all’onda piana della lezione precedente pare una quantità interessante: è un vettore orientato nella direzione di propagazione. Dimensionalmente è una potenza per unità di area (E in V/m, H in A/m, EH è in VA/m2 cioè Watt/m2) Proviamo a trarre qualcosa dalle equazioni di Maxwell, ipotizzando solo di avere mezzi “senza memoria” (e,m non dipendono dal tempo), isotropi e lineari Distinguiamo le correnti in due classi: quelle impresse (per esempio da un generatore alternato) Ji e quelle indotte dal campo J

Relazioni energetiche in un campo elettromagnetico: teorema di Poynting Le equazioni del rotore sono in questo caso Calcoliamo la divergenza del vettore di Poynting ...Abbiamo usato un’altra identità Sostituiamo a secondo membro le eq di Maxwell

Relazioni energetiche in un campo elettromagnetico: teorema di Poynting Immaginiamo che le correnti indotte J fluiscano in un conduttore con conducibilità s: la legge di Ohm Inoltre, per mezzi lineari, isotropi, senza memoria Esprime la conservazione dell’energia densità di energia del campo elettromagnetico densità di potenza dissipata per effetto termico densità di potenza fornita dal generatore

Relazioni energetiche in un campo elettromagnetico: teorema di Poynting Integriamo su un volume per ricavarne la forma integrale: applichiamo il teorema della divergenza Il primo termine è un flusso di energia nel volume per unità di tempo Allora, rileggendo il teorema di Poynting come conservazione dell’energia, leggiamo l’equazione di sopra dicendo che l’energia che forniamo nell’unità di tempo ad una certa regione deve essere uguale alla somma di Potenza dissipata per effetto Joule nei conduttori Potenza immagazzinata dal campo elettromagnetico in tale regione Potenza netta portata via attraverso la superficie di bordo S della regione V dalle onde elettromagnetiche

teorema di Poynting: come viaggia l’energia? In un conduttore ideale E ed H sono nulli: quindi P è nullo. Dove viaggia l’energia? Immaginiamo un esperimento: i superconduttore Conduttore reale z B Il campo elettrico e la corrente nel filo sono orientati lungo z: legge di Ohm l Il campo magnetico è dato dalla legge di Biot-Savart Il vettore di Poynting Cioè viaggia esternamente (nel dielettrico o nel vuoto) e penetra radialmente

teorema di Poynting: come viaggia l’energia? Tra l’altro facendone il flusso attraverso un cilindro concentrico, di raggio r: solo la superficie laterale contribuisce: Pari alla potenza dissipata per effetto Joule

Condizioni al contorno Abbiamo le equazioni differenziali. Quali sono le condizioni al contorno? Come si devono comportare i campi quando incontrano un materiale diverso? Le equazioni di Maxwell valgono ovunque: usiamo la loro forma integrale e vediamo che vincoli devono rispettare le soluzioni delle equazioni differenziali (valide nel “punto”)

Condizioni al contorno: continuità componente elettrica tangenziale Supponiamo di avere due mezzi, caratterizzati da permettività (e1, m1) e (e1, m1), rispettivamente Decomponiamo il campo nelle sue componenti tangenziali (Et) ed ortogonali (En) alla superficie di separazione Usiamo la legge di Faraday, applicata ad un percorso rettangolare intorno all’interfaccia Riduciamo l’altezza del rettangolo fino a renderla infinitesima: il contributo alla circuitazione di En diventa nullo, come il flusso FB per cui Quindi la componente tangenziale di E deve essere continua all’interfaccia

Condizioni al contorno: continuità componente magnetica tangenziale Densità di corrente J Facciamo lo stesso ragionamento per H Usiamo la legge di Ampère-Maxwell, applicata ad un percorso rettangolare intorno all’interfaccia Riduciamo l’altezza del rettangolo fino a renderla infinitesima: il contributo alla circuitazione di Hn diventa nullo, come il flusso di D, ed il flusso di J (se si ha una densità finita di corrente J...) La componente tangenziale di H deve essere continua all’interfaccia

Condizioni al contorno: continuità componente elettrica D normale Usiamo la legge di Gauss applicata ad un cilindretto Facciamo tendere a zero l’altezza del cilindretto, così che si annulli qualunque contributo tangenziale. Se DS è la superficie della base Quindi in assenza di cariche libere superficiali s, la componente ortogonale di D è continua, cioè

Condizioni al contorno: continuità componente elettrica B normale Per B possiamo fare lo stesso, con la semplificazione che non esistono cariche magnetiche La componente ortogonale di B è continua, cioè

Condizioni al contorno: cosa succede in prossimità di un conduttore ideale?? Il campo elettrico interno è nullo La dimostrazione relativa alla continuità delle componenti tangenziali non cambia: è vera anche qui Quindi: La componente tangenziale di E è nulla sia dentro che in prossimità del conduttore Cosa possiamo dire della componente normale? Non conviene ragionare in termini di D nel conduttore... Ma vale sicuramente che Quindi Dn fuori, in prossimità del conduttore ideale è pari alla densità di carica superficiale

Condizioni al contorno: cosa succede in prossimità di un conduttore ideale?? Densità di corrente J Il campo magnetico? La discussione su B normale non cambia: la componente di B normale è nulla nel conduttore e deve essere nulla anche nelle immediate vicinanze Per quanto riguarda la componente tangenziale, si era assunta una densità di corrente finita. In realtà ora il campo magnetico tangenziale non è generalmente nullo al di fuori del conduttore (è legato ad E normale dalle eq di Maxwell) mentre è sicuramente nullo nel conduttore. Come è possibile? Occorre pensare che J -legata alla densità di carica- non sia finita (del resto l’importante è che I, la corrente -legata alla carica-, sia finita) nel qual caso il flusso sarebbe rimasto finito anche per un’area che tende a zero; si definisce una corrente per unità di larghezza Js [A/m] che scorre su uno strato infinitesimo di spessore: del resto le cariche su un conduttore sono tutte in superficie….

Condizioni al contorno per un conduttore ideale Quindi B ed H normali sono nulli su un conduttore, mentre H tangenziale è pari alla corrente superficiale Le precedenti relazioni le possiamo riassumere in forma vettoriale (indicando con n la normale alla superficie di separazione) Campo elettrico tangenziale nullo Campo di induzione magnetica normale nullo Campo induzione elettrica normale pari alla densità superficiale di carica Campo magnetico tangenziale pari alla densità di corrente superficiale

Ma occorrono tutte? Unicità della soluzione Dobbiamo distinguere tra problemi “interni” (in una regione finita) ed “esterni” (tutto lo spazio: tipico delle antenne) Concentriamoci per il momento sui problemi interni: immaginiamo di avere due soluzioni delle equazioni di Maxwell E,H,J ed Eo,Ho,Jo, in condizioni di linearità Scriviamo il teorema di Poynting per il campo n S in un dato volume V contenuto in una superficie S, cioè

Ma occorrono tutte? Unicità della soluzione Ip. 1: la sorgente del primo campo (J) è identica alla sorgente del secondo In pratica i due campi (E,H) ed (E0,H0) sono generati dalla stessa sorgente, quindi la “sorgente differenza” è nulla sempre Ip. 2: le componenti tangenziali sul bordo del volume (S) o del campo elettrico o del campo magnetico, coincidono In pratica, abbiamo indicato con n la solita normale alla superficie, e chiediamo che le componenti tangenziali dei due campi (E,H) ed (E0,H0) coincidono sul bordo della regione S. Come conseguenza su tutto il bordo, la componente tangenziale di E1 o di H1 diventa zero, ed il flusso del vettore di Poynting sparisce

Ma occorrono tutte? Unicità della soluzione Quindi rimaniamo con Che afferma che che l’energia elettromagnetica immagazzinata dal campo E1 H1 (integrale a primo termine) può essere o stazionaria o decrescere: infatti il secondo termine, essendo l’integrando positivo o nullo, è negativo o nullo Se però in un qualunque unico istante (es t=0) i campi coincidono, cioè E=Eo ed H=Ho in tutto il volume V, l’energia immagazzinata da E1,H1 in quel momento è ovviamente nulla. Ma abbiamo appena detto che l’energia (quantità positiva) può solo decrescere o rimanere uguale; non potendo decrescere sotto zero, non può che restare E=Eo ed H=Ho per ogni t

Unicità della soluzione Quindi perché la soluzione delle equazioni di Maxwell sia unica per problemi spazialmente limitati occorre e basta Assegnare le condizioni iniziali in tutto il volume Assegnare o le componenti tangenziali di H o quelle di E su S per ogni istante Risultato notevole! Può spaventare il fatto che, almeno in un istante iniziale, occorre assegnare il campo ovunque; considerate però che con sorgenti sinusoidali, in regime permanente (dove le condizioni iniziali non servono più e osserviamo le soluzioni, anch’esse sinusoidali, da un tempo arbitrariamente lungo) quanto detto dimostra che basta assegnare il campo tangenziale su una superficie in E oppure in H per avere la soluzione univocamente determinata!!