Quindicesima Lezione Onde piane in un mezzo con perdite; onde TEM; introduzione ai circuiti distribuiti

Riassunto della lezione precedente I fasori Equazioni di Maxwell nel dominio dei fasori Polarizzazione delle onde piane onde piane in direzione arbitraria onde in buoni conduttori

Onde piane in un mezzo con perdite Abbiamo parlato di “buon conduttore”, come quello in cui la corrente di spostamento è trascurabile rispetto alla corrente di conduzione, almeno nelle frequenze radio Un “buon dielettrico” è quello invece in cui avviene il contrario (es: aria, vetro, teflon, allumina ecc) Moltissimi materiali non sono né l’uno né l’altro: come trattarli? Se la parte conduttiva soddisfa la legge di Ohm, abbiamo visto che per la legge di Ampère (fasori!!) Definiamo una permettività COMPLESSA Possiamo mettere in evidenza jwe0

Onde piane in un mezzo con perdite Quindi operativamente: dovremo solo calcolare l’impedenza d’onda ed il resto utilizzando tale permettività complessa Notate però che ora anche il numero d’onda k è complesso [essendo k=w(me)1/2, ricordate?] Cosa significa? Riprendiamo l’onda piana che si propaga lungo z, e con campo E in x Se k è complesso significa solo che l’onda si propaga (parte reale) e si attenua al contempo (parte immaginaria),visto che la parte immaginaria di k contribuisce ad un esponenziale reale

Onde piane in un mezzo con perdite Cosa possiamo dire circa il vettore d’onda? Nel tempo abbiamo parlato di un vettore che individua la direzione di propagazione; ma ora che è complesso? L’onda piana in direzione generica abbiamo visto è Ovvero nel tempo (se E0 reale, altrimenti occorre un termine di fase)

Onde piane in un mezzo con perdite Quindi la permettività per un mezzo con perdite (nel dominio dei fasori) è una quantità complessa Se c’è una vera e propria corrente di conduzione che soddisfa la legge di Ohm, la parte immaginaria dipende dalla frequenza, che compare a denominatore Però nei materiali esistono anche altri meccanismi di dissipazione di potenza non imputabili direttamente a correnti di conduzione (es: ricordate la rotazione dei dipoli d’acqua in un forno a microonde?) Nei buoni dielettrici, in cui la corrente di conduzione è trascurabile, la permettività ha comunque una parte immaginaria (piccola rispetto alla parte reale) che descrive tali altri meccanismi di perdita, abbastanza indipendente dalla frequenza: il rapporto tra parte immaginaria e parte reale si definisce tand

Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM) Si definisce TEM un’onda in cui campo elettrico e campo magnetico non hanno componenti nella direzione di propagazione Un’onda piana è evidentemente anche un’onda TEM La legge di Faraday in forma integrale Sappiamo che una tensione è univocamente definita a prescindere dal percorso se e solo se il secondo membro è nullo Questo avviene se il flusso del campo magnetico non varia nel tempo (statico) o se il flusso è nullo

Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM) Ma immaginiamo un’onda TEM che si propaga lungo z, dove E è tutto lungo x e H lungo y x z Il flusso di B attraverso un piano z=costante è nullo (B,D,E,H non hanno componenti in z!) Quindi, la tensione è ben definita in ogni piano z= costante, anche se siamo in un caso elettrodinamico! Quello che avremo è che la tensione, in generale, varierà con z, cioè v=v(z)

Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM) I cavi multifilari supportano in generale propagazione di tipo TEM (esempio un cavo coassiale). Consideriamo una linea bifilare z z0 Circuitazione lungo il percorso tratteggiato: Flusso di B concatenato con il rettangolo: Dividiamo per Dz entrambi i membri, e calcoliamo il limite del rapporto incrementale per Dz che tende a zero Flusso di B PER UNITA’ DI LUNGHEZZA concatenato con il rettangolo:

Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM) Ma ricordiamo la definizione di induttanza quindi induttanza PER UNITA’ DI LUNGHEZZA Allora l’equazione per v diventa Possiamo seguire una strategia analoga, usando la condizione di continuità della carica in un tubo concentrico ad uno dei fili z z0

Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM) Il flusso della densità di corrente non nullo solo sulle basi, e pari alle correnti quindi D’altra parte il teorema di Gauss: Flusso di D Quindi Di nuovo: Dividiamo per Dz entrambi i membri, e calcoliamo il limite del rapporto incrementale per Dz che tende a zero Flusso di D per unità di lunghezza

Equazioni del telegrafista Ma avevamo definito la capacità come quindi Allora l’equazione per i diventa Riassumendo: Le due equazioni che descrivono l’andamento di i e v lungo una linea sono quindi Equazioni del telegrafista

Equazioni del telegrafista: fasori In termini di fasori Se deriviamo in z la prima e sostituiamo la seconda Ancora una volta un’equazione d’onda, dove b è il numero d’onda Analogamente Le soluzioni le conosciamo... Cioè onde progressive e regressive che si propagano con velocità

Equazioni del telegrafista Se sostituiamo le soluzioni per v (separatamente la soluzione progressiva e quella regressiva) troviamo un legame con i Impedenza caratteristica Note induttanza per unità di lunghezza e capacità per unità di lunghezza, ovvero b e Z0 sappiamo tutto di una linea Se volessimo recuperare gli andamenti nel tempo, al solito (considerando v+ e v- reali, cosa raramente vera; in generale ci sono termini di fase da aggiungere)

Equazioni del telegrafista Riassumendo: abbiamo “onde” di tensione e di corrente, in una direzione e nell’altra, che si propagano a velocità w/b; onde di tensione e di corrente sono legate da un rapporto costante, l’impedenza caratteristica Il concetto di “linea” è molto generale: le connessioni ideali dell’elettrotecnica sono un’approssimazione, valida solo per lunghezze molto inferiori alla lunghezza d’onda di v (ed i) Cosa succede quando la linea finisce su un resistore? vL iL v+ Condizioni al contorno su z=0 RL Zo, b z=0 z v-

Coefficiente di riflessione Definiamo coefficiente di riflessione Dal sistema precedente troviamo A meno che RL non sia negativo (circuito che guadagna o attivo) appare che il modulo del coefficiente di riflessione è sempre minore di uno! Se il coefficiente di riflessione è nullo, non abbiamo onde regressive (le onde viaggiano solo verso il carico e ne sono assorbite) e questo avviene se Condizione di adattamento

Coefficiente di riflessione D’altro canto vediamo che se la linea finisce su un corto circuito ideale (RL=0) avremo che il coefficiente di riflessione è -1, cioè l’onda torna indietro invertita in fase (v-=-v+) Nel tempo Che è un’onda stazionaria: in alcune z è sempre nulla (nodi) ed in altre è sempre max Vediamo un’animazione temporale (incluso il transitorio)

Coefficiente di riflessione Nel caso di circuito aperto (RL=¥) il coefficiente di riflessione è 1; di nuovo tutto torna indietro In generale, tranne che in condizione di adattamento, comunque onde progressive e regressive interferiranno producendo onde stazionarie; in tali casi il rapporto tra la tensione totale (sovrapposizione tra onde di tensione nelle due direzioni) e la corrente totale, ovvero l’impedenza misurata, varierà da punto a punto Cioè: se è vero che il rapporto tra tensione (totale!) e corrente (totale!) è RL sul carico, tale rapporto cambierà altrove, tranne che in condizioni di adattamento. Vediamolo

Impedenza di ingresso di un tratto di linea Calcoliamoci l’impedenza vista all’ingresso di un tratto di linea di lunghezza l chiuso su RL RL Zo, b z=0 z itot vtot z=-l Zin Dividiamo per v+ numeratore e denominatore, e ricordiamo la definizione di coefficiente di riflessione

Impedenza di ingresso di un tratto di linea Sostituiamo l’espressione per il coefficiente di riflessione e l’identità di Eulero; semplifichiamo un po’ Di li’ riotteniamo subito che se impedenza di carico ed impedenza caratteristica coincidono, vediamo sempre la stessa impedenza (l’impedenza caratteristica) in qualunque sezione Vediamo anche che ogni volta che il cos diventa + o -1 ed il seno 0, vediamo all’ingresso esattamente R. Questo capita se Cioè per tutti i multipli interi di mezza lunghezza d’onda

Impedenza di ingresso di un tratto di linea Vediamo alcuni casi particolari: Se chiudiamo su un corto Cioè un carico reattivo (puramente immaginario). Notate che con argomento p/2 la tangente diventa infinita: quindi il corto si trasforma in un circuito aperto! La lunghezza corrispondente è l/4. Ridiventa un corto a p, cioè ovviamente a l/2 (e così via) Se chiudiamo su un aperto (carico infinito) Cioè un comportamento esattamente duale Notate anche che il corto ha una impedenza immaginaria positiva (quindi induttiva) fino a l/4 e poi diventa negativa (capacitiva), e via dicendo. Il contrario per il circuito aperto Nel caso particolare di argomento p/2 (l/4) il coseno è nullo, e

Il cavo coassiale Avevamo calcolato la capacità di uno spezzone di coassiale Per cui, la capacità per unità di lunghezza Avevamo calcolato la l’induttanza di uno spezzone di coassiale

Il cavo coassiale Quindi, la velocità Cioè la velocità della luce nel mezzo tra gli elettrodi: è una proprietà generale delle onde TEM L’impedenza caratteristica