Decima Lezione Il campo magnetico di solenoidi, toroidi, bobine; il potenziale vettore; legge di induzione di Faraday

Riassunto della lezione precedente Alcune proprietà degli operatori teorema di Stokes Teorema di Helmholtz Energia elettrica e magnetica Il vettore H e l’interazione con la materia: polarizzazione magnetica e permeabilità magnetica Alcuni esercizi

Campo magnetico in un solenoide “lungo” Ipotesi: solenoide molto lungo: campo uniforme all’interno e nullo all’esterno Applichiamo il th di Ampère in forma integrale ad abcd Unico contributo non nullo sul lato ab Campo uniforme: circuitazione=Bh Corrente intercettata da abcd: Itot=inh, se n numero spire unità di lunghezza Uguagliando:

Campo magnetico in un toroide Se applichiamo Ampère ad una circonferenza interna all’anello, non ci sono correnti racchiuse: circuitazione nulla Se applichiamo Ampère ad una circonferenza esterna, la somma delle correnti concatenate è nulla: circuitazione nulla Applichiamo Ampère ad una circonferenza tra le spire:il campo magnetico lungo la circonferenza è uniforme, orientato come la circonferenza

Bobine di Helmholtz z h R I dl Obiettivo:creare un campo uniforme Struttura di due bobine di raggio a poste a distanza a Nella lezione precedente avevamo ricavato come esercizio il campo prodotto sull’asse da una spira circolare z h R I dl Se si hanno n spire di filo sufficientemente sottile

Bobine di Helmholtz Se ne mettiamo due a distanza a, il campo sull’asse è la somma dei campi; ponendo l’origine tra le due bobine Coppia di Helmholtz Singola bobina Coppia alimentata in antifase

Bobine di Helmholtz

Campo sull’asse della spira per grandi distanze Se h>>a Avevamo visto per il dipolo elettrico sull’asse (q=0) sull’asse (q=0)

Il potenziale vettore Abbiamo visto che Per cui è sempre possibile scrivere Dove A si definisce potenziale vettore Così come il potenziale scalare era definito a meno di una costante, il potenziale vettore non è unico Abbiamo molti gradi di libertà: se sostituiamo B non cambia, poiché il rotore del gradiente è nullo La magnetostatica è completamente determinata dalla condizione di divergenza nulla (conglobata nella definizione di A) e dalla legge di Ampère

Il potenziale vettore Inserendo la nostra scelta nella legge di Ampère Vale però l’identità (che utilizzeremo spesso) Possiamo sfruttare la nostra discrezionalità nella scelta di A imponendo che la divergenza sia “comoda”, per esempio nulla (Gauge di Coulomb); il primo termine sparisce e la legge di Ampère per il potenziale diventa Somiglia all’equazione di Poisson: di fatto corrisponde a 3 equazioni di Poisson, ma nulla di nuovo!

Il potenziale vettore cioè In più A è orientato come la corrente: semplificazione importante! Conosciamo (almeno in teoria) la soluzione di una equazione di Poisson per il potenziale elettrico, che è il potenziale di una distribuzione continua di cariche La soluzione generale per il potenziale vettore sarà analoga, dove invece di di r/e0 avremo m0J

Esempio Proviamo a ricavarci la legge di Biot-Savart con il potenziale vettore: in questo caso abbiamo solo una componente di corrente, poniamo lungo z, e la densità di corrente è (se il filo ha sezione a) Quindi dobbiamo risolvere “solo” La geometria è analoga al caso elettrostatico di un filo uniformemente carico, il cui potenziale fu determinato alla fine della 4a lezione Qui l era la carica per unità di lunghezza: se il filo ha sezione pa2 e densità di carica di volume r, l deve essere r pa2 Dovendo rimpiazzare r/ e0= l/(e0 pa2) con m0J, sostituiremo in quella espressione

Esempio Per cui B lo calcoliamo valutando il rotore; lo facciamo direttamente in coordinate cilindriche; sulle tabelle vediamo che L’unico termine non nullo è la derivata della componente z rispetto ad r

Le esperienze di Faraday Evidenze sperimentali (1831): Muovendo un magnete rispetto ad una spira (o viceversa) si genera una corrente. La direzione della corrente dipende dalla direzione del moto e dall’orientamento del magnete Michael Faraday 1791-1867 Facendo scorrere corrente in una spira, una spira posta vicino registra una corrente solo all’accensione e allo spegnimento

Legge di Faraday Legge di Faraday La variazione di flusso concatenato induce una forza elettromotrice (f.e.m): un campo elettrico Definendo la f.e.m. come Ovvero come una forza per unità di carica (E) integrata lungo il percorso del filo, si ottiene cioè Legge di Faraday Notate che la fem è formalmente definita come il potenziale (a meno di un segno); tuttavia ora il risultato dell’integrazione DIPENDE DAL PERCORSO l, che racchiude la superficie S

Legge di Lenz Se la spira è chiusa, il campo elettrico produce una corrente elettrica La corrente produce un campo di induzione magnetica La legge di Lenz stabilisce che il segno della corrente è tale che il campo magnetico indotto produce una forza si oppone al moto: Legge di Lenz=la natura non concede pasti gratis….

Qualche nota Vi sarete accorti che nella slide precedente abbiamo assunto la legge di Ohm così come scritta in forma integrale, intercambiando fem e ddp... In realtà in condizioni dinamiche il concetto di potenziale va rivisto (circuitazione di E non nulla…): chi ci assicura che la relazione di prima è corretta? Quello che sappiamo per certo è che vale la legge di Ohm nella forma Consideriamo il filo con sezione infinitesima, o l’integrale di linea richiederà attenzioni maggiori, così che la corrente su una sezione A sia semplicemente Allora calcolando la fem avremo A destra i segni vettoriali sono scomparsi visto che corrente e dl sono nello stesso verso cioè quel che volevamo verificare

Un magnete in moto rispetto ad una spira Il campo magnetico di un piccolo magnete permanente in moto in prossimità di una spira...

Legge di Faraday in forma differenziale Applichiamo il teorema di Stokes alla legge di Faraday in forma integrale Dovendo essere vero per qualunque superficie S Legge di Faraday in forma differenziale Possiamo ancora definire una tensione tra due punti? Si’, ma ora il risultato non coinciderà con la differenza di potenziale, dovendo dipendere dal percorso dell’integrale di linea

Alcune riflessioni…. Poniamo di ripetere l’esperimento della spira e della calamita in moto relativo Uno di voi è solidale con la calamita e descrive l’esperimento: “la spira si muove, i suoi elettroni si muovono nel mio campo magnetico, subiscono una forza di Lorentz e iniziano a percorrere la spira”: morale il suo campo magnetico spiega tutto Un altro di voi è solidale con la spira e descrive “la calamita si muove, il flusso del campo concatenato con la mia spira cambia, nasce un campo elettrico che imprime un moto agli elettroni della mia spira, altrimenti fermi”: morale deve introdurre il campo elettrico indotto dalla variazione del campo magnetico per spiegare il fenomeno

Alcune riflessioni…. Questo apparente rompicapo è una volta di più indizio che campo elettrico e campo magnetico sono facce di una stessa medaglia Campo elettrico e magnetico non sono singolarmente invarianti, ovvero indipendenti dallo stato di moto, ma è invariante il campo elettromagnetico Einstein scrisse: ”L’influenza del decisivo esperimento di Michelson e Morley [invarianza velocità della luce ndt] su miei sforzi è stata piuttosto indiretta. Li conobbi attraverso il decisivo lavoro di Lorentz sull’elettrodinamica dei corpi in movimento (1895), con cui avevo familiarità prima di sviluppare la teoria della relatività speciale […] Ciò che, più o meno direttamente, mi portò alla teoria della relatività fu la convinzione che le forze elettromotrice che agisce su un corpo in movimento in un campo magnetico altro non fosse che un campo elettrico

Esercizio Una spira piana di superficie S= 35 cm2 e resistenza R=2 W è immersa in un campo magnetico uniforme la cui direzione forma un angolo di p/6 radianti con la normale alla superficie della spira. L’induzione magnetica varia nel tempo secondo la legge B(t)=Bo cos(wt) con Bo=0.5 Wb/m2 e w=200 rad/s. Si calcoli l’intensità della corrente che percorre la spira ad un generico istante t. Calcoliamo il flusso di B attraverso la spira ed usiamo la legge di Faraday in forma integrale per valutare la fem indotta n I B Usiamo la legge di Ohm per calcolare la corrente

Esercizio Una spira quadrata di lato d= 50 cm , posta come mostrato in figura 1, è immersa in un campo di induzione magnetica B(t). Si calcoli la fem indotta ai capi della spira, considerando il sistema nel vuoto. Il flusso è dato da : Per la legge di Faraday la fem indotta è data dalla derivata temporale del flusso appena calcolato:

Esercizio Un foglio di carica uniforme con densità superficiale rs=1/(6p) nC/m2 è posto in x=0; un secondo foglio con carica uguale ma segno opposto è in x=20 m. Trovare Vab, Vbc e Vac se A(10m, 0, 0), B(3m, 0,0) e C(0,0,0). Applicando la legge di Gauss in forma integrale al parallelepipedo con area di base S, sappiamo che x S + - Ex Per cui: In generale avremo, vista l’uniformità di E ovvero