Corso di Antenne (TLC) Prof. Marco Farina DEB

Modalità esame Prova solo orale

Testi consigliati C. A. Balanis, Antenna Theory: Analysis and Design, John Wiley & Sons, 1997. E. C. Jordan, K. G. Balmain, Electromagnetic waves and radiating Systems, Prentice Hall Inc. Dispense lezioni

Lezione introduttiva: richiami + Tutto sui campi EM ed i loro effetti!

Relazioni energetiche in un campo elettromagnetico: teorema di Poynting Definiamo la quantità ExH, vettore di Poynting: perché? pensando all’onda piana pare una quantità interessante: è un vettore orientato nella direzione di propagazione. Dimensionalmente è una potenza per unità di area (E in V/m, H in A/m, EH è in VA/m2 cioè Watt/m2) Proviamo a trarre qualcosa dalle equazioni di Maxwell, ipotizzando solo di avere mezzi “senza memoria” (e,m non dipendono dal tempo), isotropi e lineari Distinguiamo le correnti in due classi: quelle impresse (per esempio da un generatore alternato) Ji e quelle indotte dal campo J

Relazioni energetiche in un campo elettromagnetico: teorema di Poynting Le equazioni del rotore sono in questo caso Calcoliamo la divergenza del vettore di Poynting ...Abbiamo usato un’altra identità Sostituiamo a secondo membro le eq di Maxwell

Relazioni energetiche in un campo elettromagnetico: teorema di Poynting Immaginiamo che le correnti indotte J fluiscano in un conduttore con conducibilità s: la legge di Ohm Inoltre, per mezzi lineari, isotropi, senza memoria Esprime la conservazione dell’energia densità di energia del campo elettromagnetico (?) densità di potenza dissipata per effetto termico densità di potenza fornita dal generatore

Relazioni energetiche in un campo elettromagnetico: teorema di Poynting Integriamo su un volume per ricavarne la forma integrale: applichiamo il teorema della divergenza Il primo termine è un flusso di energia nel volume per unità di tempo Allora, rileggendo il teorema di Poynting come conservazione dell’energia, leggiamo l’equazione di sopra dicendo che l’energia che forniamo nell’unità di tempo ad una certa regione deve essere uguale alla somma di Potenza dissipata per effetto Joule nei conduttori Potenza immagazzinata dal campo elettromagnetico in tale regione Potenza netta portata via attraverso la superficie di bordo S della regione V dalle onde elettromagnetiche

teorema di Poynting: come viaggia l’energia? In un conduttore ideale E ed H sono nulli: quindi P è nullo. Dove viaggia l’energia? Immaginiamo un esperimento: i superconduttore Conduttore reale z B Il campo elettrico e la corrente nel filo sono orientati lungo z: legge di Ohm l Il campo magnetico è dato dalla legge di Biot-Savart Il vettore di Poynting Cioè viaggia esternamente (nel dielettrico o nel vuoto) e penetra radialmente

teorema di Poynting: come viaggia l’energia? Tra l’altro facendone il flusso attraverso un cilindro concentrico, di raggio r: solo la superficie laterale contribuisce: Pari alla potenza dissipata per effetto Joule

Condizioni al contorno Abbiamo le equazioni differenziali. Quali sono le condizioni al contorno? Come si devono comportare i campi quando incontrano un materiale diverso? Le equazioni di Maxwell valgono ovunque: usiamo la loro forma integrale e vediamo che vincoli devono rispettare le soluzioni delle equazioni differenziali (valide nel “punto”)

Condizioni al contorno: continuità componente elettrica tangenziale Supponiamo di avere due mezzi, caratterizzati da permettività (e1, m1) e (e1, m1), rispettivamente Decomponiamo il campo nelle sue componenti tangenziali (Et) ed ortogonali (En) alla superficie di separazione Usiamo la legge di Faraday, applicata ad un percorso rettangolare intorno all’interfaccia Riduciamo l’altezza del rettangolo fino a renderla infinitesima: il contributo alla circuitazione di En diventa nullo, come il flusso FB per cui Quindi la componente tangenziale di E deve essere continua all’interfaccia

Condizioni al contorno: continuità componente magnetica tangenziale Densità di corrente J Facciamo lo stesso ragionamento per H Usiamo la legge di Ampère-Maxwell, applicata ad un percorso rettangolare intorno all’interfaccia Riduciamo l’altezza del rettangolo fino a renderla infinitesima: il contributo alla circuitazione di Hn diventa nullo, come il flusso di D, ed il flusso di J (se si ha una densità finita di corrente J...) La componente tangenziale di H deve essere continua all’interfaccia

Condizioni al contorno: continuità componente elettrica D normale Usiamo la legge di Gauss applicata ad un cilindretto Facciamo tendere a zero l’altezza del cilindretto, così che si annulli qualunque contributo tangenziale. Se DS è la superficie della base Quindi in assenza di cariche libere superficiali s, la componente ortogonale di D è continua, cioè

Condizioni al contorno: continuità componente elettrica B normale Per B possiamo fare lo stesso, con la semplificazione che non esistono cariche magnetiche La componente ortogonale di B è continua, cioè

Condizioni al contorno: cosa succede in prossimità di un conduttore ideale?? Il campo elettrico interno è nullo La dimostrazione relativa alla continuità delle componenti tangenziali non cambia: è vera anche qui Quindi: La componente tangenziale di E è nulla sia dentro che in prossimità del conduttore Cosa possiamo dire della componente normale? Non conviene ragionare in termini di D nel conduttore... Ma vale sicuramente che Quindi Dn fuori, in prossimità del conduttore ideale è pari alla densità di carica superficiale

Condizioni al contorno: cosa succede in prossimità di un conduttore ideale?? Densità di corrente J Il campo magnetico? La discussione su B normale non cambia: la componente di B normale è nulla nel conduttore e deve essere nulla anche nelle immediate vicinanze Per quanto riguarda la componente tangenziale, si era assunta una densità di corrente finita. In realtà ora il campo magnetico tangenziale non è generalmente nullo al di fuori del conduttore (è legato ad E normale dalle eq di Maxwell) mentre è sicuramente nullo nel conduttore. Come è possibile? Occorre pensare che J -legata alla densità di carica- non sia finita (del resto l’importante è che I, la corrente -legata alla carica-, sia finita) nel qual caso il flusso sarebbe rimasto finito anche per un’area che tende a zero; si definisce una corrente per unità di larghezza Js [A/m] che scorre su uno strato infinitesimo di spessore: del resto le cariche su un conduttore sono tutte in superficie….

Condizioni al contorno per un conduttore ideale Quindi B ed H normali sono nulli su un conduttore, mentre H tangenziale è pari alla corrente superficiale Le precedenti relazioni le possiamo riassumere in forma vettoriale (indicando con n la normale alla superficie di separazione) Campo elettrico tangenziale nullo Campo di induzione magnetica normale nullo Campo induzione elettrica normale pari alla densità superficiale di carica Campo magnetico tangenziale pari alla densità di corrente superficiale

Ma occorrono tutte? Unicità della soluzione Dobbiamo distinguere tra problemi “interni” (in una regione finita) ed “esterni” (tutto lo spazio: tipico delle antenne) Concentriamoci per il momento sui problemi interni: immaginiamo di avere due soluzioni delle equazioni di Maxwell E,H,J ed Eo,Ho,Jo, in condizioni di linearità Scriviamo il teorema di Poynting per il campo n S in un dato volume V contenuto in una superficie S, cioè

Ma occorrono tutte? Unicità della soluzione Ip. 1: la sorgente del primo campo (J) è identica alla sorgente del secondo In pratica i due campi (E,H) ed (E0,H0) sono generati dalla stessa sorgente, quindi la “sorgente differenza” è nulla sempre Ip. 2: le componenti tangenziali sul bordo del volume (S) o del campo elettrico o del campo magnetico, coincidono In pratica, abbiamo indicato con n la solita normale alla superficie, e chiediamo che le componenti tangenziali dei due campi (E,H) ed (E0,H0) coincidono sul bordo della regione S. Come conseguenza su tutto il bordo, la componente tangenziale di E1 o di H1 diventa zero, ed il flusso del vettore di Poynting sparisce

Ma occorrono tutte? Unicità della soluzione Quindi rimaniamo con Che afferma che che l’energia elettromagnetica immagazzinata dal campo E1 H1 (integrale a primo termine) può essere o stazionaria o decrescere: infatti il secondo termine, essendo l’integrando positivo o nullo, è negativo o nullo Se però in un qualunque unico istante (es t=0) i campi coincidono, cioè E=Eo ed H=Ho in tutto il volume V, l’energia immagazzinata da E1,H1 in quel momento è ovviamente nulla. Ma abbiamo appena detto che l’energia (quantità positiva) può solo decrescere o rimanere uguale; non potendo decrescere sotto zero, non può che restare E=Eo ed H=Ho per ogni t

Unicità della soluzione Quindi perché la soluzione delle equazioni di Maxwell sia unica per problemi spazialmente limitati occorre e basta Assegnare le condizioni iniziali in tutto il volume Assegnare o le componenti tangenziali di H o quelle di E su S per ogni istante Risultato notevole! Può spaventare il fatto che, almeno in un istante iniziale, occorre assegnare il campo ovunque; considerate però che con sorgenti sinusoidali, in regime permanente (dove le condizioni iniziali non servono più e osserviamo le soluzioni, anch’esse sinusoidali, da un tempo arbitrariamente lungo) quanto detto dimostra che basta assegnare il campo tangenziale su una superficie in E oppure in H per avere la soluzione univocamente determinata!!

Regime permanente armonico Immaginiamo un semplice circuito LR, con un generatore di corrente R i VR VL V? L Vogliamo calcolare la tensione misurata ai capi del generatore

Regime permanente armonico Legge di K. alle Maglie: La corrente che scorre è sempre i data (Legge di K. per le correnti), per cui: L R i VR VL V? Legge di Ohm Relazione per gli induttori quindi In generale, per un circuito lineare, a sorgenti armoniche corrisponderanno risposte armoniche con la stessa frequenza, con fasi diverse

Regime permanente armonico: i fasori Un espediente utile: l’uguaglianza di Eulero Allora potremo scrivere, per esempio oppure REGOLA 1: In pratica, invece delle funzioni armoniche, useremo la parte reale dell’esponenziale complesso Il vantaggio: integrazioni e differenziazioni banali, e le equazioni integrodifferenziali nel tempo che descrivono circuiti con memoria, divengono algebriche Di fatto, useremo nei conti tutto l’esponenziale, recuperando la parte reale solo alla fine

Regime permanente armonico: i fasori infatti Notiamo che in qualunque operazione ci ritroviamo exp(jwt) a fattore: perché non sottintenderlo? Questa sarà la nostra REGOLA 2: sottintendiamo l’esponenziale nel tempo (così il tempo non compare più da nessuna parte esplicitamente) Quel che rimane, lo chiamiamo Fasore ed è generalmente un numero complesso: per esempio Il fasore corrispondente a Acos(wt) è A Il fasore corrispondente a Asin(wt) è Quindi, quando rivogliamo la grandezza nel tempo, moltiplichiamo il fasore per exp(jwt) e prendiamo la parte reale del risultato. Vediamolo per il nostro semplicissimo esempio

Regime permanente armonico: i fasori In termini fasoriali la corrente che scorre nel circuito è semplicemente i0 e … il cappelletto solo per ricordare che sto usando il trucco dei fasori e che le quantità possono essere complesse. Quindi Se vogliamo recuperare l’espressione nel tempo? Semplice!

Equazioni di Maxwell in regime armonico permanente Basta rimpiazzare le derivate nel tempo con prodotti per jw L’equazione di Helmholtz Diventa (nota, non usiamo il cappelletto per semplificare le notazioni…) La quantità w/c si definisce numero d’onda, e si indica con k; si definisce anche un vettore d’onda, come un vettore di modulo k e direzione corrispondente al vettore di Poynting

Onde piane in regime armonico permanente Vediamo il caso dell’onda piana: immaginiamo di avere un campo elettrico tutto in x e che dipende solo dalla coordinata z x z L’equazione d’onda per il campo elettrico diventa semplicemente La soluzione è una combinazione di esponenziali in k Volendo recuperare l’espressione nel tempo, per esempio della componente progressiva (assumiamo E+ reale (E0) per semplificare)

Polarizzazione onde piane Fin qui abbiamo visto onde piane con una sola componente di campo E, e che quindi oscillano sempre in uno stesso piano: queste si dicono polarizzate linearmente (anche ovviamente se con due componenti di campo E, purché l’oscillazione avvenga in un piano) Un insieme di onde piane propagantesi nella stessa direzione, ma con orientazioni e fasi arbitrarie dei campi, generano un’onda non polarizzata Due onde piane, stessa freq, ma diverse ampiezze fasi ed orientazioni (ma con relazioni prefissate) producono un’ onda polarizzata ellitticamente

Polarizzazione onde piane Infatti, se per esempio abbiamo Notiamo che, mettendoci in un punto (es z=0) Che è l’equazione parametrica di una ellisse. Se Y è p/2 ed E1=E2 è proprio una circonferenza: polarizzazione circolare

Polarizzazione onde piane Infatti, nella polarizzazione circolare avremo

Polarizzazione onde piane In termini di fasori avremmo (pol. Ellittica) Nota: fin qui abbiamo parlato di c come velocità di fase dell’onda em nel vuoto o in aria; il discorso resta valido in generale con l’accorgimento di usare la giusta velocità

Polarizzazione onde piane Polarizzazione Lineare Polarizzazione Circolare

Radiazione: condizioni al contorno nel tempo Cosa succede quando la regione S in cui si risolvono le eq di Maxwell è all’infinito? Campi e variazioni, nonché le interazioni si propagano con velocità finita Quindi la condizione al contorno su un contorno infinito, nel tempo, è che il campo all’infinito sia sempre nullo

Radiazione: condizioni al contorno in frequenza In frequenza all’infinito vale la condizione di radiazione di Sommerfield Sostituisce le condizioni su S fissando un flusso di potenza reale attraverso S all’infinito Stabilisce che E ed H vadano a zero almeno come 1/r Stabilisce che E ed H all’infinito approssimino un’onda piana

Il potenziale vettore Abbiamo visto che Per cui è sempre possibile scrivere Dove A si definisce potenziale vettore Così come il potenziale scalare era definito a meno di una costante, il potenziale vettore non è unico Abbiamo molti gradi di libertà: se sostituiamo B non cambia, poiché il rotore del gradiente è nullo La magnetostatica è completamente determinata dalla condizione di divergenza nulla (conglobata nella definizione di A) e dalla legge di Ampère

Il potenziale vettore Inserendo la nostra scelta nella legge di Ampère Vale però l’identità (che utilizzeremo spesso) Possiamo sfruttare la nostra discrezionalità nella scelta di A imponendo che la divergenza sia “comoda”, per esempio nulla; il primo termine sparisce e la legge di Ampère per il potenziale diventa Somiglia all’equazione di Poisson : di fatto corrisponde a 3 equazioni di Poisson.

Il potenziale vettore cioè In più A è orientato come la corrente: semplificazione importante! Conosciamo (almeno in teoria) la soluzione di una equazione di Poisson per il potenziale elettrico, che è il potenziale di una distribuzione continua di cariche La soluzione generale per il potenziale vettore sarà analoga, dove invece di di r/e0 avremo m0J

Uso del potenziale vettore nel caso dinamico Abbiamo visto che essendo E’ possibile scrivere e che il potenziale vettore può essere definito a meno del gradiente di un campo scalare (potenziale) Sostituiamo nell’equazione di Faraday Quindi due grandezze con ugual rotore sono uguali a meno di un gradiente, per cui

Uso del potenziale vettore Ora usiamo tale espressione nella legge di Gauss Quindi Ora sostituiamo nella legge di Ampère/Maxwell D’altro canto sappiamo che e che la divergenza del potenziale vettore è un nostro grado di libertà. Quindi scegliamo Scelta (o Gauge) di Lorentz

Uso del potenziale vettore Con tale scelta, il potenziale vettore soddisfa ad un’equazione d’onda, come la conosciamo Ed anche l’eq per il potenziale scalare diventa Nota: la scelta di Lorentz non solo semplifica i conti, ma ha un significato fisico: esprime in modo diverso la continuità della carica

Uso del potenziale vettore La scelta di Lorentz, nel caso armonico, consente anche di ricavare sia H che E dal solo potenziale vettore; infatti avendo utilizzato la gauge per ottenere il potenziale scalare in funzione di quello vettoriale

Soluzione del potenziale vettore: statico Nel caso statico abbiamo già visto come fare; vediamo cosa succede con le formule attuali Come ci aspettavamo. Le sappiamo risolvere:

Soluzione del potenziale vettore: Dinamico r-r’ r dV Usiamo un approccio euristico: sappiamo che la differenza principale tra caso statico e dinamico è che le interazioni si propagano in tempo finito Proviamo a determinare le soluzioni considerando solo questo fatto: quindi sostituendo alle equazioni possiamo verificare che funziona. Avremo allora essendo v uno sulla radice di me, r il punto di osservazione ed r’ la variabile di integrazione

Soluzione del potenziale vettore: Dinamico sinusoidale Le funzioni del tempo divengono semplicemente va sottinteso per cui

Il dipolo Hertziano E’ il più semplice esempio di radiatore: ideato da Heinrich Rudolf Hertz ed utilizzato nel suo esperimento del 1887 Ricevitore 1857-1894 Trasmettitore

Il dipolo Hertziano In modo più schematico Ricevitore Trasmettitore

Il dipolo Hertziano h Supponiamo di avere una corrente filiforme orientata lungo z, di dimensione piccola rispetto alla lunghezza d’onda (lunghezza h), e costante nello spazio. Immaginiamo che sia sinusoidale nel tempo (usiamo i fasori) La continuità della carica impone che agli estremi vi siano due cariche uguali ed opposte, anch’esse variabili nel tempo Vista l’ipotesi di elemento “corto” l’integrale diventa semplicemente I0h, e l’unica componente non nulla è lungo z

Il dipolo Hertziano quindi abbiamo già tutto…l’unica difficoltà è passare alle coordinate sferiche non c’è componente angolare lungo j vista la simmetria cilindrica A questo punto basta calcolare i campi

Il dipolo Hertziano Quindi B (ed H) ha solo componente lungo j Considerazioni: in condizioni statiche k=0: il secondo termine, che rimane, è quello statico: ci potete riconoscere la formula di Laplace in cui Quindi: il termine statico decresce come 1/r2, quello dinamico come 1/r

Il dipolo Hertziano Calcoliamo il campo elettrico (un po’ di conti…) Vedete un termine che decresce come r3, che è quello del dipolo elettrostatico in cui I0/jw è proprio la carica (per continuità) A grande distanza dominano solo i termini in 1/r (quindi Er è trascurabile); quindi a grande distanza (kr>>1)

Il dipolo Hertziano a grande distanza come un’onda piana!

Il dipolo Hertziano I campi di un dipolo hertziano, posto all’incrocio dei piani

I grafici calcolati da Hertz!

Potenza Calcoliamo il vettore di Poynting complesso x y z rdq r 4/3

Potenza Reale: Attiva Immaginaria: Reattiva Non dipende dalla distanza Implica che la densità di pot. decresce come 1/r2 Viene ceduta e riacquistata dall’ambiente ciclicamente I termini che contribuiscono a tale potenza solo quelli 1/r Vi contribuiscono i termini rimanenti

Impedenza di radiazione Antenna come carico: Termine resistivo: tiene conto della potenza irradiata e di quella (eventualmente) dissipata Termine immaginario: potenza immagazzinata In assenza di perdite, confrontiamo la potenza dissipata dal resistore con quella irradiata: Rrad jX I