TRASPORTO DI MOMENTO DA PARTE DI UN’ONDA E.M. •Quantità di moto di un’onda e.m.; •La pressione di radiazione) •Momento della quantità di moto di un’onda e.m.; SORGENTI DEL CAMPO E.M. •Le onde e.m. generate da dipoli oscillanti; •Le onde e.m. nella materia (cenni per materiali omogenei ed isotropi) PROPAGAZIONE ONDOSA • Velocità di fase e velocità di gruppo;

Quantità di moto di un’onda elettromagnetica Sappiamo che il campo e.m. propagandosi trasporta energia. Vediamo adesso di mostrare che il campo e.m. è dotato di quantità di moto. Per fare questo prendiamo un’onda e.m. piana di equazioni: Cioè che si propaga in direzione x con campo E parallelo a y e campo B a z. Facciamo incidere l’onda su un piano posto parallelo a yz nell’origine x=0.

Sugli elettroni del materiale che costituisce il piano agiscono: una forza elettrica FE=-eE , che mette in moto gli elettroni lungo y; un forza magnetica Fx=-ev x B dovuta al moto degli elettroni. Si può dimostrare (con le leggi della dinamica) che il moto degli elettroni lungo y avviene con una velocità v di direzione parallela al campo E: v=bE (*) da cui la forza magnetica diventa:

(*) infatti, considerando il caso di un metallo, si è visto nella legge di Ohm che un elettrone sottoposto ad un campo elettrico costante, si muove con velocità costante v. Questo perché all’equilibrio, abbiamo una forza ‘viscosa’ che si oppone alla forza elettrica eE=cost·v v = (e/cost) ·E v=bE mobilità

La forza magnetica è sempre concorde all’asse x e agisce come una pressione sulla superficie del materiale. La forza magnetica Fx trasferisce una quantità di moto all’elettrone su cui opera, secondo la legge di Newton Contemporaneamente la forza elettrica FE fa lavoro sull’elettrone e gli trasferisce una energia per unità di tempo con una legge Ricordando che E=cB riusciamo a legare la quantità di moto trasferita all’elettrone alla energia trasferita nello stesso intervallo di tempo

Quindi la quantità di moto trasferita in un certo intervallo di tempo ad un elettrone in un materiale investito da una onda e.m. è pari alla energia e.m. assorbita dal materiale nello stesso intervallo di tempo diviso la velocità della luce Ovviamente l’energia assorbita viene dall’energia del campo e.m. e anche per la quantità di moto trasferita dall’onda all’elettrone dobbiamo concludere che era trasportata dal campo e.m. Se consideriamo tanti elettroni investiti dall’onda e ragioniamo in termini di una superficie unitaria e di un volume unitario di campo, otteniamo che le onde e.m. trasportano una quantità di moto per unità di volume pari alla densità di energia del campo e.m. diviso c

La pressione di radiazione Esperimento di Nichols e Hull (pressione ~10-6N/m2) Il fatto che le onde e.m. abbiano quantità di moto può essere verificato sperimentalmente misurando la forza (o meglio la pressione) su di una superficie investita da una onda elettromagnetica.

Calcolo della pressione di radiazione Calcoliamo la pressione esercitata da una onda e.m. piana che incide ortogonalmente su una superficie piana e viene assorbita completamente. Da quanto abbiamo visto l’onda trasporta e trasferisce quantità di moto alla superficie quindi dalla legge di Newton la superficie subisce una forza. Se prendiamo un’area A di superficie e consideriamo la quantità di moto trasferita nel tempo Dt che viene dal volume A(cDt) del campo e.m., abbiamo Quantità di moto x unità di volume Se la superficie fosse riflettente pressione=2w

L’esistenza della pressione di radiazione è stata verificata sperimentalmente, ed è responsabile di diversi fenomeni (ad es. la curvatura della coda di una cometa a causa della pressione di radiazione emessa dal Sole). Nel caso interazione Sole-Terra, l’energia incidente per unità di tempo e di superficie è dell’ordine di 103 W/m2. Dividendo per c otteniamo la densità di energia per unità di volume w~10-6 J/m3 La pressione di radiazione del Sole è così piccola da non influenzare il moto orbitale terrestre!

LE EQUAZIONI DI MAXWELL Sorgenti del campo elettromagnetico LE EQUAZIONI DI MAXWELL CI PERMETTONO DI CONCLUDERE CHE CAMPO ELETTRICO STATICO MAGNETICO ELETTROMAGNETICO SORGENTE CARICHE FISSE CARICHE IN MOTO UNIFORME CARICHE ACCELERATE

Radiazione da dipoli oscillanti DIPOLO ELETTRICO Prendiamo un dipolo elettrico statico p0, creerà un campo elettrico statico intorno a sé, come abbiamo visto. Se le cariche del dipolo vengono messe in scillazione con una legge p0coswt il campo elettrico sarà dipendente dal tempo. Ricordando che nel caso statico…... Ez

L’equazione di Ampere-Maxwell ci permette di dedurre che un campo E(t) crea un campo B ortogonale a E e ortogonale alla direzione di propagazione (radiale rispetto al dipolo). Il flusso di energia dipende dall’angolo q è max per q=p/2 è zero per q=0

DIPOLO MAGNETICO Una situazione analoga la possiamo trovare con un dipolo magnetico oscillante. Il dipolo magnetico crea un campo magnetico B(t) il flusso dipende dal tempo e quindi (Legge di Faraday-Henry) crea un campo elettrico E ortogonale a B e ortogonale alla direzione di propagazione dell’onda (direzione radiale rispetto al dipolo). Il flusso di energia dipende dall’angolo q è max per q=p/2 è zero per q=0

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Fenomeno della diffusione delle onde e.m. Interazione delle onde e.m. con gli atomi di un materiale: atomi visti come elettroni legati a un nucleo positivo. Fenomeno della diffusione delle onde e.m. nella materia. Quando un’onda e.m. incide sugli atomi di un materiale, il campo elettrico dell’onda interagisce con gli elettroni legati ai nuclei del materiale. Agisce come una forza -eE e quindi fa lavoro dissipando energia del campo che viene convertita in energia del moto degli elettroni. L’energia che viene assorbita dall’onda tende ad essere riemessa in tutte le direzioni con una frequenza che è, generalmente ma non sempre, la stessa dell’onda incidente.

Il processo di interazione del campo E dell’onda con gli elettroni della materia, e quindi la quantità di energia diffusa, dipende dalla frequenza della onda e.m. incidente. Ovviamente il fascio primario è impoverito di energia. Questo è una conseguenza delle frequenze proprie degli elettroni legati negli atomi. (Vedi un modello di elettroni legati ai nuclei con forza di richiamo elastica e sottoposti al campo E dell’onda e.m.) Con questo schema è possibile giustificare: il colore blu del cielo durante il giorno; il colore rosso dell’alba e del tramonto; gli effetti di polarizzazione delle onde e.m. diffuse in direzione perpendicolari al fascio primario in soluzioni con particelle sospese.

PROPAGAZIONE DELLE ONDE ELETTROMAGNETICHE NELLA MATERIA (cenni per materiali omogenei e isotropi) Quando un’onda e.m. attraversa un materiale il campo E dell’onda interagisce in ogni punto con le cariche microscopiche che costituiscono gli atomi o le molecole del materiale. Abbiamo tre tipi di situazione: 1) atomi neutri privi di momento di dipolo el.; 2) molecole dotate di mom. di dipolo elettrico; 3) catene di atomi leggermente ionici la cui distanza interatomica può variare. Quando il campo E(t) dell’onda interagisce con il caso (1) si forma un momento di dipolo el. variabile nel tempo; con il caso (2) i dipoli tendono ad oscillare seguendo la tendenza ad allinearsi con E(t) variabile; con il caso (3) i dipoli tendono a deformarsi aumentando o diminuendo la distanza tra le cariche di segno opposto, seguendo E(t).

Cosa succede all’onda elettromagnetica ? Tanto per cominciare varia la sua velocità. Nel vuoto In un mezzo Infatti l’onda incidente con campi Ei e Bi mette in oscillazione i dipoli microscopici che iniziano ad irradiare creando un’onda secondaria con campi ES e BS che si sovrappone all’onda incidente. L’effetto complessivo è la somma dei vettori E e B, principio di sovrapposizione onda incidente + onda secondaria dà origine ad un’onda con velocità Si definisce indice di rifrazione

La velocità di variazione dei campi dell’onda e.m. dipende dalla frequenza angolare w dell’onda dove T è il periodo di oscillazione; n=1/T è la frequenza; l è la lunghezza d’onda. I dipoli elettrici microscopici che vengono perturbati dal campo E(w) non è detto che riescano a seguire nello stesso modo la variazione di E a tutte le frequenze (per via di interazioni tra gli atomi del materiale). Il momento di dipolo per unità di volume del materiale dipende da w

Cosa succede alle caratteristiche dell’onda e.m. quando passa dal vuoto ad un materiale ? Un’onda e.m. è caratterizzata dalla sua frequenza w=2pn e dalla sua lunghezza d’onda l Per l’onda incidente nel vuoto abbiamo: ni li Per l’onda nel mezzo di costante dielettrica er=n2 abbiamo: nm lm Poiché la frequenza dipende solo dalla sorgente ni= nm Ricordando che l’indice di rifrazione dipende da w fenomeno della dispersione

Velocità di fase e velocità di gruppo delle onde e.m. Come conseguenza della dispersione, cioè della dipendenza della velocità di propagazione di onde e.m. piane sinusoidale in un mezzo dalla frequenza dell’onda: Possiamo sperimentare il seguente fenomeno: nel vuoto, creato un segnale e.m.di forma f(x) non sinusoidale lungo la direzione x abbiamo f(x,t)= integrale di Fourier (k,w)

se f(x,t) si propaga, avendo tutte le componenti k, w dello sviluppo la stessa velocità la forma del segnale non varia. In un mezzo tutte le componenti a diverse k, w si propagano con velocità diversa. Il segnale cambia forma nel tempo propagandosi. f(x,t0) f(x,t1) f(x,t2) x Possiamo introdurre il concetto di velocità di propagazione del segnale non sinusoidale come velocità di gruppo del segnale vg, cioè la velocità con cui trasla il baricentro del segnale che si deforma, si può dimostrare che: Mentre la velocità di propagazione del singolo segnale sinusoidale viene detta velocità di fase.

Velocità di fase e velocità di gruppo La velocità di propagazione di un’onda armonica, per quanto visto finora risulta v = w/k, tale velocità è detta velocità di fase. Tale velocità non è necessariamente la velocità che osserviamo quando analizziamo un moto ondulatorio ‘non armonico’ X X Onda armonica continua (contiene un asola frequenza e lunghezza d’onda) Impulso o pacchetto d’onda (contiene diverse frequenze e lunghezze d’onda)

Nel caso in cui la velocità di propagazione sia indipendente dalla frequenza (non c’è dispersione), tutte le componenti dell’impulso viaggiano con la stessa velocità, e la velocità dell’impulso, ossia quello del suo baricentro, è uguale alla velocità di fase dell’onda. In un mezzo dipersivo, ogni componente dell’impulso ha una propria velocità di propagazione, e la velocità dell’impulso non è uguale alla velocità di fase. Supponiamo che un moto ondulatorio sia scomponibile in due sole onde armoniche con ampiezze uguali A e frequenze w e w’ molto vicine tra loro f(x,t)= Asin[kx - wt] + Asin[k’x - w’t] = =2Acos [(k’-k)x – (w’-w)t] sin [(k’+k)x – (w’+w)t]= = 2Acos [(k’-k)x – (w’-w)t] sin (kx – wt) Modulazione di ampiezza

vg X L’ampiezza modulata 2Acos [(k’-k)x – (w’-w)t] corrisponde ad un moto ondulatorio che si propaga con una velocità detta velocità di gruppo Ogni massimo dell’onda (inviluppo) si propaga con vg , pertanto la velocità di gruppo è la velocità con cui un segnale viene trasmesso (N.B. E’ la velocità con cui si propaga la sua energia) Essendo la velocità di fase v=w/k, segue che