GEOMETRIA SOLIDA o STEREOMETRIA

POSTULATI Assiomi di appartenenza Per tre punti non allineati nello spazio passa uno e un solo piano Una retta passante per due punti di un piano giace interamente in quel piano Lo spazio contiene infiniti piani, infinite rette e infiniti punti. Assioma di partizione di un piano: Una retta giacente in un piano lo divide in due regioni tali che Ogni segmento che congiunge due punti appartenenti a una stessa regione non incontra la retta r e giace interamente in tale regione Ogni segmento che congiunge due punti appartenenti a regioni diverse incontra la retta in un punto. Le due regioni si chiamano SEMIPIANI D’ORIGINE r e si dicono OPPOSTI.

Prime deduzioni Se due piani hanno tre punti non allineati in comune allora ……………………………………………………………………… Per una retta e un punto esterno ad essa passa …………………………………………………………………….. Per due rette incidenti passa …………………………………………………………………….. Se due piani hanno in comune due punti A e B, allora …………………………………………………………….. Se due piani hanno in comune un punto, allora hanno in comune ……………………………………………

Assioma di partizione dello spazio Un piano  divide lo spazio in due regioni diverse tali che: Ogni segmento che congiunge due punti appartenenti a una stessa regione non incontra il piano  e giace interamente in tale regione Ogni segmento che congiunge due punti appartenenti a regioni diverse incontra il piano  in un punto. Le due regioni si chiamano SEMISPAZI che hanno come ORIGINE il piano  e si dicono OPPOSTI.

Retta – piano e retta - retta a - giace nel piano b – incidente in un sol punto il piano c – parallela al piano Nella figura a lato per le rette b ed a NON ESISTE ALCUN PIANO CHE LE CONTENGA ENTRAMBE, pertanto si dicono SGHEMBE

seconde deduzioni Se due piani hanno in comune due punti A e B, allora …………………………………………………………….. …………………………………………………………………………. Se due piani hanno in comune un punto, allora hanno in comune ……………………………………………………………………….

Piano – piano nello spazio Piani che non hanno punti in comune si dicono PARALLELI Si dice distanza di due piani paralleli il segmento da essi individuato su una qualsiasi retta perpendicolare ai piani Piani che hanno una retta in comune di dicono INCIDENTI e la retta si chiama INTERSEZIONE DEI DUE PIANI Per una retta nello spazio passano infiniti piani che costituiscono un FASCIO DI PIANI di cui la retta si dice SOSTEGNO o ASSE

Rette e piano perpendicolari Nello spazio, per un punto P di una retta r, si possono condurre infinite perpendicolari alla retta stessa, una per ognuno ………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….... Il luogo delle rette perpendicolari a una retta in un suo punto è un piano, o meglio, è il piano perpendicolare alla retta nel punto di intersezione che viene detto PIEDE della perpendicolare. Una retta che interseca un piano senza essergli perpendicolare si dice OBLIQUA.

Rette e piano perpendicolari Il luogo delle rette perpendicolari a una retta in un suo punto è un piano, o meglio, è il piano perpendicolare alla retta nel punto di intersezione Diremo che una retta r è perpendicolare ad un piano in un punto P se è perpendicolare a tutte Le rette del piano che passano per P. Il punto P viene detto PIEDE della perpendicolare. Una retta che interseca un piano senza essergli perpendicolare si dice OBLIQUA. TEOREMA: Dato un piano , per un punto P qualunque si può condurre UNA ed UNA SOLA retta perpendicolare ad un piano .

Proiezioni ortogonali su un piano Di un punto Di una retta Definizione di angolo formato tra la retta e un piano.

Angolo Diedro Si dice ANGOLO DIEDRO ciascuna delle due parti in cui due semipiani aventi la stessa origine dividono lo spazio, inclusi i semipiani stessi. La retta origine dei due semipiani si dice SPIGOLO del diedro, i due semipiani si dicono FACCE.

Dell’angolo diedro possiamo dire Diedro piatto, se le facce sono semipiani opposti Diedro giro, se le facce sono semipiani coincidenti e contiene tutti i punti dello spazio Diedro nullo, se le facce sono semipiani coincidenti e non contiene alcun punto dello spazio Diedro convesso o concavo Diedri consecutivi Diedri adiacenti Semipiano bisettore Diedro retto, la metà di un diedro piatto grazie al semipiano bisettore. Angoli opposti allo spigolo

Sezione normale o obliqua Si dice SEZIONE di un diedro l’intersezione tra il diedro e un piano incidente al suo SPIGOLO. Se il piano è PERPENDICOLARE allo spigolo si parla di sezione NORMALE, altrimenti di sezione si dice OBLIQUA

PIANI PERPENDICOLARI Due piani si dicono PERPENDICOLARI se, intersecandosi, formano quattro diedri congruenti e quindi RETTI.

ANGOLOIDE VERTICE Preso un poligono F e un punto P che non appartiene al piano di F, tracciamo tutte le semirette che partono da P e intersecano i lati del poligono F: si costruisce una superficie piramidale. Si dice angoloide la parte dello spazio delimitata dalla superficie piramidale che contiene il poligono F. Si dice angoloide: Regolare se le facce sono tutte uguali Convesso o concavo se il poligono F è convesso o concavo. spigolo faccia