LOGICA E MODELLI Logica e modelli nel ragionamento deduttivo A cura di Salvatore MENNITI

Logica La logica studia le proposizioni (o affermazioni), ossia le frasi logiche che assumono solo due valori di verità: Vero (1) oppure Falso (0).

Ragionamento Deduttivo Una coppia di enunciati funge da premessa per un terzo che è la conclusione. Tutti i corvi sono neri Questo uccello non è nero Questo uccello non è un corvo 1° premessa 2° premessa Conclusione In un ragionamento deduttivo, si passa dal generale al particolare

Ragionamento Deduttivo Una conclusione si dice logicamente valida, quando viene ricavata da un argomento in cui, se le premesse sono vere, allora la conclusione è necessariamente vera. Tutti i triangoli hanno tre lati Questo poligono non ha tre lati. Questo poligono non è un triangolo.

Logica sillogistica Un sillogismo consiste di enunciati semplici, costituiti da: un quantificatore (per ogni, esiste) un soggetto un predicato Una coppia di enunciati funge da premessa, per un terzo che è la conclusione.

Logica sillogistica Esempio: Tutti gli uomini sono mortali Tutti i greci sono uomini Tutti i greci sono mortali.

Logica sillogistica Un sillogismo è considerato valido se un qualsiasi ragionamento di quella forma è sempre valido. Quindi il sillogismo: Alcuni uomini sono italiani Qualche uomo è biondo Qualche italiano è biondo, non è valido, nonostante le proposizioni enunciate singolarmente siano vere.

Logica sillogistica Infatti il corrispondente sillogismo diverso, ma della stessa forma: Alcuni esseri viventi sono uomini Alcuni esseri viventi sono elefanti Quindi alcuni uomini sono elefanti. non conclude correttamente.

Logica enunciativa Un limite alluso della logica sillogistica è dato dal fatto che gli enunciati scientifici sono difficilmente riconducibili alla semplice struttura soggetto-predicato. Inoltre, non usano in genere un solo quantificatore ed hanno a che fare con relazioni complesse fra oggetti. La logica enunciativa (o proposizionale) rappresenta un ulteriore tentativo di formalizzare una teoria del ragionamento deduttivo, ovviando agli inconvenienti propri dellapproccio sillogistico.

Nella logica enunciativa sono presi in considerazione enunciati (o proposizioni) semplici, che sono messi in relazione tramite connettivi per costruire enunciati complessi (non, e, o, se…allora, se e solo se).

Funzioni di verità 1) Negazione: se A è una proposizione, nonA denota la negazione di A, con la tavola di verità: A nonA Condizione: se A è Vera, nonA è falsa; se A è Falsa, nonA è Vera.

2) Congiunzione: se A, B sono proposizioni, la proposizione A B è la loro congiunzione, con la seguente tavola di verità: A B A B Condizione: A B è Vera se e solo se sia A che B sono Vere.

3) Disgiunzione: se A, B sono proposizioni, la proposizione A B è la loro disgiunzione, con la seguente tavola di verità: A B A B Condizione: A B è Vera se o A è Vera, o B è Vera o entrambe sono Vere. A B è Falsa se e solo se sia A che B sono False.

4) Implicazione (o condizionale): se A, B sono proposizioni, la proposizione A B (A implica B, se A allora B) è il condizionale (A: antecedente, B: conseguente), con la tavola di verità: A B A B Condizione: A B è Falsa sse A è Vera e B è Falsa[

(5) Equivalenza (o bicondizionale): se A, B sono proposizioni, l'equivalenza A B (A se e solo se B) è una proposizione, con la seguente tavola di verità: A B A B Condizione: A B è Vera se e solo se A e B sono entrambe Vere, o entrambe False.

Modus Ponens A B due premesse A ____________________ Buna conclusione

Esempi: Modus Ponens Se Giorgio è un deputato, vive a Roma. Giorgio è un deputato Allora Giorgio vive a Roma. Se non piove, allora esco. Non piove. Allora Esco. Se è sabato o domenica, vado a teatro. E' sabato o domenica. Allora Vado a teatro.

Modus Tollens A B due premesse ~ B ___________________________ ~ A una conclusione

Esempi Modus Tollens Esempi Modus Tollens Se Marco ha perso il treno, è rimasto a casa. Marco non è rimasto a casa. Allora Marco non ha perso il treno. Se fa freddo, metto il cappotto. Non metto il cappotto. Allora Non fa freddo. Se ho studiato poco, non passo l'esame. Passo l'esame. Allora Non ho studiato poco.

Per eseguire una dimostrazione per assurdo di A B è equivalente provare: non B non A

A B A B nonB nonA nonB nonA

A B A B nonB nonA Dunque è tautologia (vale sempre 1)

Ci sono esempi di tautologie (valore di verità sempre 1) o di contraddizioni (valore di verità sempre 0) A nonA A nonA A nonA Dunque: A nonA è tautologia A nonA è contraddizione.

Nella logica vale il principio del terzo escluso: Una frase logica che non sia vera è falsa e viceversa. I valori di verità 0, 1 sono detti bit (b) e rappresentano lunità di informazione, nonché le cifre delsistema di numerazione binario. Un Byte (B) è lunità di memoria e corrisponde a: 1 B=8 b Una stringa è una sequenza di bit, lunga al massimo 255 bit. Ex: è un esempio di Byte (stringa di lunghezza 8 bit) è una stringa di lunghezza 5.

I multipli del Byte, nel S.I. sono: 1 KB = 1024 B ~ 10 3 B (1 Kilobyte) 1 MB = B ~ 10 6 B (1 Megabyte) 1 GB = B ~ 10 9 B (1 Gigabyte) 1 TB = B ~ B (1 Terabyte) 1 PB = B ~ B (1 Petabyte) 1 EB = B ~ B (1 Exabyte) 1 ZB = B ~ B (1 Zettabyte) 1 YB = B ~ B (1 Yottabyte)