A cura Prof. Salvatore MENNITI Concetto di FUNZIONE A cura Prof. Salvatore MENNITI

Definizione di Funzione Una funzione f è una relazione tra due insiemi A e B che, ad ogni elemento x di A (dominio o C.E.), associa uno e un solo elemento y di B (codominio o insieme dei valori). Di solito si scrive y = f(x) per indicare la legge tra xA ed yB.

Funzioni: Dominio e Codominio A B f Dominio o C.E.: insieme A Codominio: insieme B, detto anche “insieme dei valori” f : A  B

Esempi Sono funzioni o applicazioni: f(x) = x + 1, dove f :Z  Z Data una nazione, associare la sua capitale Le seguenti corrispondenze invece, non sono funzioni: Data una persona, associarne i suoi parenti Data una nazione, associarne le sue città.

Funzione come particolare relazione Si dice grafico di una funzione f : A  B e si denota con G(f), il sottoinsieme del prodotto cartesiano A x B definito come segue:

Esempio Prendiamo la seguente funzione f:N  N: f(x) = 3x+1 Essa può essere descritta come il seguente insieme di coppie ordinate: (0,1), (1,4), (2,7), (3,10)……..

Problemi A che funzione f: NN corrisponde l’insieme di coppie seguente? (0,4), (1,6), (2,8), (3,10), … I seguenti insiemi di coppie corrispondono a una funzione o no? (0,1), (1,2), (2,6), (2,9)

Rango di una funzione Chiamiamo rango o immagine di A, l’insieme dei valori di una funzione. A B Rango Dominio Codominio

Definizione: Funzione iniettiva Definizione. Una funzione f : AB si dice iniettiva sse a elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio, ovvero: per ogni x1, x2 D, x1 x2 segue f(x1) f(x2 )

Definizione: Funzione suriettiva Definizione. Una funzione f : AB si dice suriettiva sse il suo rango coincide con l’intero codominio B, ossia: f(A) = B

Definizione: Funzione biettiva Definizione. Una funzione suriettiva e iniettiva, si dice biettiva o biunivoca.

f-1(y) = x se e solo se f (x) = y Definizione: Funzione inversa Data una funzione biettiva f : AB, si dice funzione inversa di f (e si scrive f-1) la funzione f-1 : BA tale che: f-1(y) = x se e solo se f (x) = y Provare che una funzione non biettiva in genere non può avere una funzione inversa.

Definizione: Funzione identità Dato un qualsiasi insieme A, la funzione f : AA si dice funzione identità sse: f(x) = x La funzione identità di indica con iA

Funzione composta Definizione. Date due funzioni f : A  B e g : B C (ovvero, il codominio della prima è dominio della seconda), si può definire una funzione h : A  C tale che, per ogni x  A, h(x) = g(f(x)). Tale funzione h è detta funzione composta di f e g. La funzione composta di f e g si indica anche con la notazione f  g

Osservazione Data una funzione biettiva f : A  B, essa può sempre essere composta con a sua inversa f-1 e si ottiene quanto segue: f-1  f = iA ed f  f-1 = iB