Modulazioni Numeriche Laboratorio di El&Tel Modulazioni Numeriche Mauro Biagi

Modulazione numerica in banda base Criterio di Nyquist Outline Modulazione numerica in banda base Criterio di Nyquist Modulazione numerica in banda traslata Simulatore Modulazioni Numeriche 24/04/12

Modulazione e demodulazione numerica:schema segnale numerico segnale analogico modulatore numerico ...0010111001... mezzo trasmissivo segnale numerico demodulatore numerico ...0010011001... segnale analogico affetto da errori affetto da distorsioni e rumore Modulazioni Numeriche 27/03/2017

Modulazione Numerica: banda base vs. b. traslata banda traslata utilizza segnali analogici con trasformata di Fourier contenuta in un intervallo di frequenza non contiguo all’origine Mezzi trasmissivi in banda traslata (es.: trasmissioni radio) banda base utilizza segnali analogici con trasformata di Fourier contenuta in un intervallo di frequenza contiguo all’origine Mezzi trasmissivi in banda base (es.: linea bifilare) X(f) X(f) f f 4 Modulazioni Numeriche 27/03/2017

Modulazione numerica: schema di b.traslata segnale analogico in banda traslata modulatore numerico in banda traslata segnale numerico mezzo trasmissivo demodulatore numerico (banda traslata) segnale numerico segnale analogico in banda traslata Modulazioni Numeriche 24/04/12

Rappresentazione dei segnali numerici (1/7) Un segnale numerico è rappresentato da un segnale fisico analogico: Segnali con fronti ripidi di salita e di discesa: banda troppo larga, impiego inefficiente della banda passante del mezzo trasmissivo Tecniche di MODULAZIONE IN BANDA BASE Tensione elettrica sul filo, dalla tastiera alla CPU Potenza luminosa entrante in una fibra ottica + 5 V P0 0 1 0 0 0 1 0 1 … t 0 1 0 0 0 1 0 1 … - 5 V t Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 6

Rappresentazione dei segnali numerici (2/7) asse dei tempi 0 T 2T 5T t ... 0 1 0 0 0 1 0 1 … segnale numerico b(n) (sequenza di simboli) sequenza di ampiezze a(n) (valori associati ai simboli secondo una corrispondenza biunivoca: Es. +5 -> 0 ; -5 -> 1 ) ...+5 -5 +5 +5 +5 -5 +5 -5 … a(0)g(t) t 1 impulsi  di forma g(t) di ampiezza a(n) trasmessi negli istanti nT a(1)g(t-T) a(2)g(t-2T) a(3)g(t-3T) +5 -5 Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 7

Rappresentazione dei segnali numerici (3/7) Sia {b(n)} una qualsiasi sequenza numerico avente: alfabeto di ordine α, cioè costituito da α simboli arbitrari rappresentabili, senza perdita di generalità, con i numeri naturali {0, 1, 2, ..., α–1} intervallo di tempo tra simboli consecutivi : T velocità di emissione dei simboli: fs=1/T Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 8

Rappresentazione dei segnali numerici (4/7) Esso è rappresentabile mediante il segnale analogico dove g(t) è un segnale impulsivo, in molti casi limitato all’intervallo (-T/2 , +T/2), detto impulso sagomatore i valori a(n) sono estratti da un insieme di α ampiezze di impulso (numeri reali arbitrari), biunivocamente associati agli α simboli dell’alfabeto [ a0 , a1 , a2 , ... , aα-1 ] Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 9

Rappresentazione dei segnali numerici (5/7) Un segnale numerico {b(n)} è univocamente associato ad una sequenza di valori reali mediante una corrispondenza biunivoca fra simboli e ampiezze {a(n)}. b(n) a(n) simboli ampiezze di impulso 0 a0 1 a1 ... ... α -1 aα-1 Criteri di scelta dei valori di ampiezza: ugualmente spaziate e simmetriche rispetto allo 0. Esempi: α = 2 α = 3 α= 4 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1/3 -1/3 a a a Senza perdita di generalità,nel caso di a=2 assumeremo a0 =1, a1=-1. Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 10

Rappresentazione dei segnali numerici (6/7) onda PAM PAM : Pulse Amplitude Modulation, (Modulazione di Ampiezza di Impulso) simboli diversi -> differenti valori della ampiezza degli impulsi larghezza di banda dell’onda PAM larghezza di banda del segnale g(t) -> Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 11

Rappresentazione dei segnali numerici (7/7) Esempi di segnali PAM Ordine dell’alfabeto a Ampiezze di impulso ai (i=0,1,...,a-1) Forma di impulso g(t) segnale PAM x(t) 2 [+1 , -1] 3 [+1, 0, -1] 4 [+1, +1/3, -1/3, -1] -T/2 0 +T/2 1 0 T 2T 0 0 1 0 0 T 2T 0 0 1 2 0 T 2T 0 1 0 3 Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 12

Efficienza spettrale Obiettivi: trasmettere un segnale numerico facendo uso di un canale avente banda passante (fisica) limitata tra 0 ed un valore massimo fm; ottenere elevata efficienza di banda, definita come: Gli esempi di segnali PAM esaminati, occupano una banda troppo estesa in relazione alla velocità di simbolo fs, a causa delle rapide transizioni ideali (discontinuità matematiche) o approssimate (fronti di salita e di discesa di durata finita) nella forma d’impulso g(t). Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 13

Schema di un modulatore PAM Segnale dalla sorgente (rappres. PAM ideale) Filtro formatore di impulso con risposta impulsiva g(t) Segnale PAM ideale Segnale PAM a banda limitata (in uscita dal modulatore) 0 T 2T 0 0 1 0 0 0 1 0 0 t t Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 14

Canale (lin e perm) con rumore additivo gaussiano lineare e permanente C(f) = FT [c(t)] passa-basso C(f) = 0 per |f | > fm y(t) = x(t) * c(t) + z(t) = y(t) + n(t) segnale in uscita dal canale n(t) Segnale PAM a banda limitata (in uscita dal modulatore) rumore additivo gaussiano n(t) con spettro di densità di potenza uniforme Wn(f) = N0 (Watt/Hz) “rumore Gaussiano bianco” 0 T 2T 0 0 1 0 Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 15

Demodulatore PAM Campionamento negli istanti t = kT Filtro di ingresso al demodulatore GR(f) Decisione criterio di decisione â(k) sequenza stimata delle ampiezze trasmesse z(t) segnale in uscita dal canale w(t) = y(t) * gR(t) + h(t) = r(t) + h(t) w(kT) rumore filtrato componente utile Esempio: w(kT) +1,21 +0,66 -1,35 +1,17 a(k) +1 +1 -1 +1 b(k) 0 0 1 0 Il criterio qui applicato è il seguente: w(kT) > 0 -> a(k) = +1 ; w(kT) < 0 -> a(k) = -1 Nel segnale numerico ricevuto possono comparire errori dovuti a decisione errata. ^ ^ ^ Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 16

Schema riassuntivo MODULATORE DEMODULATORE sequenza â(k) Segnale dalla sorgente Decisione w(kT) Campionamento negli istanti t = kT Filtro formatore di impulso G(f) w(t) = y(t) * gR(t) + h(t) Filtro di ingresso al demodulatore GR(f) n(t) CANALE Canale lineare e permanente C(f) + z(t) = y(t) + n(t) = = x(t)*c(t) + n(t) y(t) Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 17

Ricezione del segnale Il segnale utile r(t) è ancora un segnale PAM w(t) = y(t)*gR(t) + n(t)*gR(t) = r(t) + h(t) rumore (filtrato) segnale utile Il segnale utile r(t) è ancora un segnale PAM con forma di impulso h(t) con risposta impulsiva della cascata di tre filtri: formatore di impulso, canale, filtro di ingresso al demodulatore Per le funzioni di trasferimento: H(f) = G(f) C(f) GR(f) Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 18

Ricezione del segnale Obiettivo: ricavare una “stima” {â(k)} della sequenza di ampiezze trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione {w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, …} Ipotesi: assenza di rumore n(t)=0-> η(t)=0 Interferenza intersimbolica (ISI) , n≠k coincide con a(k) a meno della costante (guadagno) h(0) componente dipendente dalle ampiezze trasmesse prima e dopo l’ampiezza k-esima e dalla funzione h(t) (ISI) Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 19

Interferenza Intersimbolica: criterio di Nyquist Ponendo le condizioni seguenti, dette condizioni di Nyquist: si ha sempre w(kT) = a(k) Il termine di ISI si annulla e la sequenza demodulata coincide con quella trasmessa (in assenza di rumore). Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 20

Criterio di Nyquist: forme d’onda (1/2) Le condizioni di Nyquist risultano soddisfatte, in particolare, quando la forma di impulso in ricezione, h(t), è limitata nel tempo tra i valori +/- T/2. Esempio: Il segnale ricevuto all’uscita del filtro di ricezione è costituito da una sequenza di impulsi separati tra loro. -T -T/2 +T/2 +T +2T 1 w(t) -T -T/2 +T/2 +T +2T 1 h(t) Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 21

Criterio di Nyquist: forme d’onda (2/2) PROBLEMA Un impulso h(t) di durata limitata nel tempo ha trasformata di Fourier H(f), illimitata in frequenza (banda infinita). Il canale ha banda limitata (C(f) è limitata in frequenza) e,quindi, H(f) = G(f) C(f) GR(f) deve necessariamente essere limitata in frequenza ossia nulla per . Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 22

Criterio di Nyquist: dominio della frequenza Se h(t) soddisfa le condizioni di Nyquist nel dominio del tempo la sua trasformata di Fourier H(f) soddisfa la seguente condizione di Nyquist nel dominio della frequenza f H(f) -1/2T 0 +1/2T -2/T -1/T 0 +1/T +2/T H(f-1/T) H(f-2/T) H(f+1/T) costante Esempio: T Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 23

Banda minima per criterio di Nyquist Dalle condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza si deduce che non è possibile avere forme di impulso h(t) senza interferenza intersimbolo se H(f) occupa una banda minore di: Banda di Nyquist f -1/2T 0 +1/2T H(f) La somma delle repliche traslate di una H(f) di frequenza massima minore di fN non può mai dare luogo a una costante. Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 24

Forma d’onda di Nyquist (passa basso) Una particolare forma di impulso h0(t) limitato in banda che soddisfa le condizioni di Nyquist è quella la cui trasformata di Fourier H0(f) è la funzione di trasferimento di un filtro passa-basso ideale (moltiplicata per il fattore costante T): h0(t) t 0 T 2T 3T 4T 5T 6T H0(f) f T -1/2T 0 +1/2T Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 25

Forma d’onda di Nyquist: a banda limitata Esempio: Segnale PAM privo di ISI nel caso di forma di impulso h0(t) h0(t) t r(t) T +1 -1 f H0(f) -1/2T 0 +1/2T Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 26

Forme d’onda a coseno rialzato (1/3) g fattore di roll-off, 0 < γ < 1 0 fN 2fN H(f) T g = 0.3 g = 0.6 g = 1 g = 0 Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 27

Forme d’onda a coseno rialzato (2/3) All’aumentare del fattore di roll-off g da 0 (filtro passa-basso ideale) a 1 Le oscillazioni della h(t) ai due lati del picco dell’impulso si smorzano più rapidamente. g = 0.6 g =0 0 T 2T 3T 4T h(t) t 1 -4T -3T -2T -T γ=1 γ= 0.3 Minore criticità nel campionamento in ricezione. La banda occupata aumenta da fN a fN(1 + γ) Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 28

Forme d’onda a coseno rialzato (3/3) Esempio: Segnali PAM privo di ISI per forma di impulso h (t) a coseno rialzato, ( γ = 0 e γ = 1 ) h(t) T +1 t r(t) -1 g = 1 g = 0 Valori di g di interesse operativo: 0,2 < γ < 0,6 Baccarelli, Cordeschi, Patriarca, Polli Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 29

Ricezione in presenza di ISI Se la forma dell’impulso h(t) non rispetta le condizioni di Nyquist, i campioni del segnale ricevuto sono affetti da interferenza intersimbolo (anche in assenza di rumori di canale). Esempio: Impulso h(t) che non soddisfa le condizioni di Nyquist [in neretto i valori non nulli di h(kT), per k ≠ 0] Corrispondente segnale PAM [i valori campionati sono diversi dai valori di ampiezza trasmessi ≠1] T +1 -1 T Baccarelli, Cordeschi, Patriarca, Polli Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 30

PAM multilivello I simboli sono associati ad a ampiezze diverse (segnale PAM multilivello ad a livelli) sorgente binaria conversione di alfabeto 2-> a modulatore PAM ad a livelli canale in banda base (freq. max. fm) velocità di simbolo binario fb velocità di simbolo Minima banda di canale per trasmissione priva di interferenza intersimbolo (condizione di Nyquist). Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 31

Vantaggi e svantaggi del M-PAM All’aumentare del numero di livelli a del segnale PAM utilizzato abbiamo che: Aumento dell’efficienza spettrale Velocità di trasmissione dei simboli binari fb più alta, a parità di banda fm occupata dal segnale PAM,ovvero riduzione della banda fm occupata dal segnale PAM a parità di frequenza di simbolo binario fb. Aumento della probabilità di errore in presenza di interferenza intersimbolo e/o rumore, a causa della minore differenza tra valori adiacenti di ampiezza di impulso. Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 32

Demodulazione PAM in presenza di rumore Obiettivo: ricavare una stima {â(k)} della sequenza di ampiezze trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione {w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, …} Ipotesi: rumore additivo Gaussiano bianco (Segnale all’ingresso del campionatore di ricezione) Supponendo che la forma di impulso in ricezione, h(t), sia priva di interferenza intersimbolo, e con h(0) =1, agli istanti di campionamento kT si ha Variabile aleatoria Gaussiana con valore atteso nullo e varianza sh2 Variabile con a valori possibili

Criterio di decisione (1/4) w(kT)=a(k)+h(kT) Problema: Misurato w(kT) w* all’ uscita del campionatore di ricezione, di possiamo calcolare una “buona” decisione (stima) a(k) del simbolo trasmesso sulla base di w* ? Criterio della Massima Verosimiglianza (MLD) Misurato w(kT) w*, si decide a favore della più verosimile tra le ampiezze {a0 .. aα-1} assumibili dal simbolo a(k), ossia a favore di quell’ampiezza a alla quale corrisponde la più grande del seguente insieme di probabilità condizionate {p[w* a(k)= a0 ],…, p[w* a(k)= aa-1]}. In formule,la decisione MLD a(k) sul simbolo a(k) è quindi definita come segue: a(k) argmax{p[w* a(k)= ai]}

Criterio di decisione (2/4) w(kT)=a(k)+h(kT), Poiché la componente di rumore η(kT) è Gaussiana e a media nulla, si può provare che la decisione MLD a(k) precedentemente definita è equivalente a scegliere come decisione a(k) quello tra i possibili α valori {a0… aa-1} assumibili da a(k) che è più vicino (ossia, dista di meno) dal valore misurato w(kT) w*. Quindi, per la decisione MLD a(k) vale la seguente proprietà: a(k)=argmin{(w*- ai) } IL Decisore MLD è un decisore a minima distanza Euclidea

Criterio di decisione (3/4) w(kT)=a(k)+h(kT) Supponiamo che a(k) possa assumere i due valori a(k)= 1 (caso di modulazione PAM binario). Allora il decisore a minima distanza Euclidea si riduce (ossia, è equivalente) ad un decisore “a soglia” che decide a(k)=+1 quando w(kT) 0 e decide a(k)=-1 quando w(kT)<0, in accordo alla relazione (2-PAM) a(k)= Ovviamente, non sempre la decisione a(k) è esatta. Quindi, definiamo come probabilità d’errore Pe del decisore MLD la quantità: Pe P(a(k) a(k)). Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 36

Criterio di decisione (4/4) a(k) w(kT) p [w(kT) | a(k) = +1]= ph [h=w(kT)-1] +1 p [w(kT) | a(k) = -1]= ph [h=w(kT)+1] -1 a(k) = -1 h(kT) > +1 w(kT) = a(kT) + h(kT) > 0 , â(kT) = +1  a(kT) “errore” w(k) > 0 Probabilità di errore (area tratteggiata in figura) Densità di probabilità gaussiana Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 37

Sistemi di Modulazione Numerica in banda traslata

Modulazione QAM (analogica) Modulazione QAM (Quadrature Amplitude Modulation; modulazione di ampiezza con portanti in quadratura) è un tipo di modulazione analogica di ampiezza definito dallo schema seguente: x(t) cos(2πf0t) x(t) cos(2πf0t) (portante in fase) s(t) + sfasatore π/2 segnale modulato QAM : s(t) = x(t) cos(2πf0t) + + y(t) cos(2πf0t + π/2) somma di due segnali che occupano la stessa banda: f0 ±fm cos(2πf0t + π/2) (portante in quadratura) oscillatore frequenza f0 y(t) y(t) cos(2πf0t + π/2) 2 segnali modulanti, in banda base [- fm,fm]

Demodulazione del segnale QAM in assenza di rumore (1/2) passa-basso ideale [- fm,fm] 2s(t) cos(2πf0t) x x(t) 2cos(2πf0t) sfasatoreπ/2 Segnale QAM s(t) ricostruzione portante f0 2cos(2πf0t+π/2) passa-basso ideale [- fm,fm] 2s(t) cos(2πf0t + π/2) y(t) x Modulazioni Numeriche 24/04/12

Demodulazione del segnale QAM (2/2) Segnale all’ingresso del demodulatore: Segnale all’uscita del moltiplicatore (relativo al segnale x(t)): Termine proporzionale al segnale modulante x(t) Termini che occupano la banda 2f0 = fm (eliminati dal filtraggio) termine nullo Modulazioni Numeriche 24/04/12

Modulazione QAM numerica Si ottiene utilizzando due modulatori PAM numerici, i cui segnali di uscita x(t) e y(t) costituiscono i due segnali modulanti di un modulatore QAM analogico: conversione di alfabeto 2 -> α = 2u PAM ad a livelli modulatore QAM analogico velocità di simbolo: conversione serie/parallelo segnali binari fb/2 segnale binario (velocità di simbolo binario fb) s(t)=x(t)cos(2πf0t)+ y(t)cos(2πf0t+π/2) segnale modulato QAM conversione di alfabeto 2 -> α = 2u PAM ad a livelli Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 42

Costellazione di Segnale (Signal Set) (1/6) Sia (x(t),y(t)) il punto del piano avente come coordinate i valori assunti dai due segnali PAM. Al variare di t il punto seguirà un percorso curvilineo nel piano. Negli istanti caratteristici di campionamento t = kT ciascuna delle due coordinate di (x(kT),y(kT)) assume una delle a ampiezze di impulso possibili. Risulta così individuato un insieme di α2 punti, detto costellazione di segnale (signal set) relativa al segnale QAM. Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 43

Costellazione di Segnale (Signal Set) (2/6) y Esempio 1: a = 22 = 4 livelli, con ampiezze di impulso +1, +1/3, -1/3, -1. La costellazione è costituita da un insieme di 16 punti disposti a forma di reticolo regolare a maglie quadrate. -1 -1/3 0 +1/3 +1 -1 -1/3 +1/3 +1 x modulazione 16-QAM Modulazioni Numeriche 24/04/12

Costellazione di Segnale (Signal Set) (3/6) Esempio 2: a = 21 = 2 livelli. Esempio 3: a = 23 = 8 livelli. Modulazione 4-QAM ( 4-PSK, QPSK ) Modulazione 64-QAM -1 0 +1 -1 +1 y -1 0 +1 -1 +1 y x x Modulazioni Numeriche 24/04/12

Costellazione di Segnale (Signal Set) (4/6) Gli a2 = 22u punti della costellazione QAM sono in corrispondenza biunivoca con le 22u parole binarie distinte formate da 2u bit. Ogni T secondi vengono trasmessi 2u bit del segnale di ingresso. u bit una ampiezza di impulso PAM (α = 2u livelli) x(kT) u bit una ampiezza di impulso PAM (α = 2u livelli) y(kT) un punto della costellazione (x(kT),y(kT)) Modulazioni Numeriche 24/04/12 Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 46

Costellazione di Segnale (Signal Set) (5/6) Esempio 4: codifica di costellazione: parola binaria ax ay 00000 -1,5 d +2,5 d 00001 -0,5 d +2,5 d 00010 +0,5 d +2,5 d 00011 +1,5 d +2,5 d 00100 -2,5 d +1,5 d 00101 -1,5 d +1,5 d ... ... ... 11110 +0,5 d -2.5 d 11111 +1,5 d -2,5 d Modulazione32-QAM y x d 00000 00001 00010 00011 00100 00101 11110 11111 Modulazioni Numeriche 24/04/12

Costellazione di Segnale (Signal Set) (6/6) Modulazione QAM numerica con signal set a 8 punti disposti su una circonferenza di raggio 1, equidistanziati. Il nome 8-PSK (analogamente al 4-PSK) deriva dal fatto che le posizioni dei punti, in coordinate polari (r,j) sono differenziate soltanto in base alla fase j (r = 1 = cost). Modulazione 8-PSK 000 001 011 010 110 111 101 100 Una possibile codifica di costellazione è: parola di ingresso ax ay 000 001 011 010 110 111 101 100 1 Modulazioni Numeriche 24/04/12

Schema per la trasmissione di segnale numerico in banda traslata al demodulatore canale lin. e perm. passa-banda ideale (banda f0  fm) filtro di ingresso al demodulatore passa-banda ideale (banda f0  fm) s(t) + n(t) rumore gaussiano bianco con spettro di densità di potenza Wn(f) = N0 costante segnale ricevuto: z(t) = s(t) + h(t) CANALE DI TRASMISSIONE segnale modulato: s(t) = x(t) cos(2πf0t) + y(t) cos(2πf0t + π/2) rumore gaussiano filtrato banda: [f0 ± fm]U [-f0 ± fm] banda: [-fm,fm] Modulazioni Numeriche 24/04/12

Componenti del rumore gaussiano Per il rumore gaussiano limitato in banda, n(t) , di spettro di densità di potenza N0 vale la seguente decomposizione: h(t) =hx(t) cos(2pf0t) + hy(t) cos(2pf0t + p/2) hx(t) e hy(t) due processi aleatori Gaussiani statisticamente indipendenti tra loro detti componenti analogiche di bassa frequenza di n(t) , aventi uguale spettro di densità di potenza, uniforme nella banda [-fm,fm] (banda base); uguale potenza sh2, uguale a sua volta alla potenza di h(t). Wh(f) f N0 - (f0 + fm) - f0 - (f0 - fm) 0 (f0 - fm) f0 (f0 - fm) ll rumore gaussiano h(t) è interpretabile come segnale modulato QAM, in cui hx(t) e hy(t) sono i segnali modulanti. Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 50

Demodulazione in presenza di rumore gaussiano Il segnale ricevuto ha l’espressione: z(t) = s(t) + h(t) = [x(t) + hx(t)] cos(2pf0t) + [y(t) + hy (t)] cos(2pf0t + p/2) All’uscita dei due demodulatori sono presenti i segnali: dx(t) = x(t) + hx(t), dy(t) = y(t) + hy(t) Negli istanti di campionamento t=kT (e in assenza di ISI) si ha dx(kT) = ax(k) +h x(kT), dy(kT) = ay(k) + hy(kT) Sul piano della costellazione di segnale il punto ricevuto R=( dx(kT) , dy(kT)) differisce in generale dal punto trasmesso T=(ax(k) , ay(k) ) Modulazioni Numeriche 24/04/12

Decisione in presenza di rumore gaussiano Maximum Likelihood Decision Criterion( MLD) Ricevuto il punto R, si decide in favore del “più verosimile” punto trasmesso T ovvero quello a cui corrisponde la massima probabilità condizionata Max {p [R | Ti], i=0, .. a2-1 }. Ancora una volta si può dimostrare che ciò corrisponde ad assumere come trasmesso quel punto della costellazione che ha la minima distanza di Euclide dal punto ricevuto R. y x R O T T vettore rappresentativo del punto trasmesso T R vettore rappresentativo del punto ricevuto R TR vettore rappresentativo del rumore Modulazioni Numeriche 24/04/12

Regioni di decisione L’applicazione del criterio di decisione MLD individua nel piano del signal set delle regioni di decisione associate ai punti della costellazione. La generica regione di decisione associata a un punto T è costituita da tutti i punti del piano più vicini a T che a tutti gli altri punti del signal set. Esempio: Modulazione QAM y x P Q Punto Q Punto P (regione illimitata) Modulazioni Numeriche 24/04/12 Pagina 53

Regioni di decisione e probabilità di errore Si ha una decisione errata (corrispondente a uno o più bit errati nel segnale binario demodulato) quando il vettore di rumore è tale da far cadere il punto ricevuto R al di fuori della regione di decisione relativa al punto trasmesso T. y x T R Esempio: Punto trasmesso: T Vettore rumore: TR Punto ricevuto R Regione a cui appartiene R: Punto ipotizzato come trasmesso: T (decisione errata) La probabilità di decisione errata diminuisce con l’ampliamento delle regioni di decisione (maggiore potenza trasmessa e/o minore potenza di rumore). Modulazioni Numeriche 24/04/12

Cosa vedremo in laboratorio? Modulazioni Numeriche 24/04/12

Agilent Vector Signal Analyzer Software per PC che consente di emulare diversi sistemi In linea di principio consente l’interazione con dispositivi hardware (ma solo di certi produttori) Richiede schede di acquisizione o software in grado di convertire i formati “proprietari” dei dispositivi hardware in formati “leggibili” Presenta dei “preset” di visualizzazione in grado di analizzare diverse “features” dei segnali. Modulazioni Numeriche 24/04/12

Diagramma di costellazione Spettro dell’errore Diagramma ad occhio Schema Q-PSK Diagramma di costellazione Spettro dell’errore Diagramma ad occhio Spettro del segnale Modulazioni Numeriche 24/04/12

Ricezione in presenza di un basso livello di rumore Modulazioni Numeriche 24/04/12

canale dispersivo in tempo Un canale dispersivo in tempo introduce una perdita significativa della qualità del segnale. Quando la risposta impulsiva è molto lunga si ha il fenomeno dell’ISI e di fatto il numero di errori introdotti è elevato Modulazioni Numeriche 24/04/12

Canale dispersivo in tempo Modulazioni Numeriche 24/04/12

Tono interferente sinusoidale Sotto l’ipotesi di canale ideale (h(k)=1), si considera cosa accade se si presenta un segnale (dovuto ad un servizio diverso di TLC) con una portante a 2.000025 GHz (spostato di 25 KHz rispetto alla frequenza centrale 2GHz). Si suppone inoltre che la potenza del tono interferente sia notevolmente più elevata del segnale “utile) Modulazioni Numeriche 24/04/12

Tono interferente sinusoidale Modulazioni Numeriche 24/04/12

Segnale di Jam modulato in frequenza Al fine di valutare cosa accade in presenza di un segnale (volontariamente generato) di disturbo (jam) si considera un segnale modulato in frequenza con variazione lineare (chirp) che generi quindi problemi di corretta decisione sul simbolo ricevuto. Modulazioni Numeriche 24/04/12

Segnale di Jam modulato in frequenza Modulazioni Numeriche 24/04/12

Generazione di segnali Per la generazione di segnali ci avvaliamo di Matlab ed esportiamo i valori (fase e quadratura) contenuti in una matrice Mx2 in un file di testo con tabulazione Modulazioni Numeriche 24/04/12